А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин - Элементы теории функции и функционального анализа (1134953), страница 89
Текст из файла (страница 89)
1Ч). Приняв 5, за пространство основных функций, рассмотрим соответствукпцее пространство обобщенных функций 5" . Определим теперь в пространстве 5' преобразование Фурье. Для этого вспомним прежде всего, что пространство 5 переводится преобразованием Фурье (понимаемым в обычном смысле) в себя: если Ф е 5 „то Р[р[ Е 5 „, причем Р есть взаимно однозначное отображение 5 снова на все 5 . Исходя из этого, введем следующее определение.
Преобразованием Фурье обобеценной функции е" Е 5" наэиваегася линейный функционал д е 5', определяеммй1 формулой (д,ер) = 2к(~,у), где ф = ЕЦ. (1) Эту формулу можно переписать и так: (Е~, ~р) = 2к(~, у) = 2кЦ, Г 1ф), т.е. преобразование Фурье функционала 1 б 5, есть функционал, который на каждом элементе ф 6 5 ,принимает значение, равное (умноженному на 2я) значению исходного функционала 1 на элементе у = Е 1ф, где Р ' . †. обратное преобразование Фурье. Поскольку ф = У[у] пробегает все 5 -, когда р пробегает 5 равенство (1) действительно определяет функционал на всем 5 Линейность и непрерывность этого функционала проверяются непосредственно.
Среди элементов 5," содержатся все абсолютно интегрируемые функции. Для них только что сформулированное определение преобразования Фурье совпадает с обычным. Действитцпьно, если У 6 5о Ф й 5о„д = Г[1[ и ф = Р[р], то по теореме Планшереля получаем 2к(/ у) — (д ф) (2) причем при заданной 1 существует лишь одна, с точностью до эквивалентности, функция д, удовлетворяющая этому равенству при 470 ря.
ГНЬ Ряди. Преобрааоеаяия Фурье всех уо Е Я . С помощью соответствующего предельного перехода нетрудно показать, что равенство (2) имеет место и для любой У б еч(-оо, оо). Таким образом, преобразование Фурье обобщенных функций представляет собой распределение классического преобразования на более широкий класс объектов. Примеры. 1. Пусть Дх) = с = сопз1. Тогда 2л(~, у) = 2л / сфх) Ых = 2лс7)7(О), 7(~ = Р'[~о), т.е.
преобразование Фурье константы равно этой константе, умно- жешюй на 2л. и на б-функци70. 2. Пусть Дх) = е"*. Тогда 2л(/,у7) =2л ~ е ' *у7(х)дх = 2лФ( — а), т. е, преобразование Фурье функции е"* есть сдвинутая б-функция Б(х + а), умноженная на 2л. 3. Пусть Дх) = хз. Тогда из равенства у1 ~(Л) = — )' х~,р(х)е '~* е7х, положив в нем Л = О и умножив его на 27г, получаем 2л(х~, у(х)) = — 2л7ро(О), т.е. преобразование Фурье функции х есть вторая производная от б-функции, умноженная на — 2л. Сделаем несколько заключительных замечаний. Мы определили преобразование Фурье для обобщенных функций нэд Я . Но можно было бы взять и любое другое основное пространство, например, пространство К бесконечно дифференцируемых финитных функций.
Для каждой функции у7 Е К преобразование Фурье (в обычном смысле) существует и, как можно проверить, представляет собой целую аналитическую функцию экспоненциального роста. Точнее говоря, преобразование Фурье есть линейный оператор, переводящий пространство К в пространство У, элементами которого служат целые аналитические функции Ф, для каждой из которых выполнены неравенства (е(ор7'(з)( < С е ~ ~, й — 1,2,..., где т = Ьп з, а Со н а -- постоЯнные, зависнщие от фУнкции 7)7. Поскольку в пространстве К было введено понятие сходимости, отображением Г, переводящим К в Я, инлуцируется некоторое понятие 1т1 ) В. Прсеброаоеание ч.урьс обобсчсннмя 4ункций сходимости в У.
'последовательность (у)н) сходится в Я к ед, если соотношение )о„-+ у выполнено для соответствующих прообразов. Впрочем, это понятие сходимости нетрудно сформулировать и не пользуясь пространством К '). Пусть теперь ) - — произвольный элемент из К*. Поставим ему в соответствие линейный функционал д на Я, положив (д, )д) = 2х(~, ут), где у) = Г(цт].
— [ Пространство преобразований фурьо основных функций Эта схема сводится к двум пространствам, ко~да за основное пространстно принимаетс:я Я „поскольку оно переводится преобразованием Фурье само в себя. Понятые преобразования Фурье для обобщенных функций нашло широкое применение в теории дифференциальных уравнений с частными производными. Читатель может ознакомиться с этими вопросами, например, по книге Г. Е. Шилова [52]. )Именно, уы — > О в Я, если прн фиксированных С"т (О = 1, 2, ... ) и и выполняются неравенства )атй (а)! ч С'~е В~, и тЕ -т О равномерно на каждом конечном интервале действительной оси.
Этот функционал д мы назовем преобразованием Фурье функционала /. Таким образом, преобразование Фурье обобщенной функции ) над основным пространством К есть обобщенная функция над Я, т, е, над тем пространством, в которое К переводится преобрэзованиеле Фурье, понимаемым в обычном смысле. То же самос построение проходит и для обобщенных функций над какими-либо иными пространствами основных функций. При этом каждый раз будет возникать схема, включающая в себя четыре пространствю некоторое исходное пространство основных функций, совокупность преобразований Фурье этих функций (т. е. второе пространство основных функций) и два сопряженных прострацства.
ГЛАВА 1Х ЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ~ 1. Основные определения. Некоторые задачи, приводящие к интегральным уравнениям 1. Типы интегральных уравнений. Иншегравьным уравнением называется уравнение, которое содержит неизвестную функцию под знаком интеграла.
Таково, например, уравнение ь р(в) = ~ К(в,») р(») й+ У(в), а где 1 и К -- известные функции, а у — - искомая. Переменные в и» пробегают здесь некоторый фиксированный отрезок (а, 6). Характерная особенность уравнения (1) — — его линейность: неизвестная функция у входит в него линейно. Ряд задач приводит и к нелинейным интегральным уравнениям, например, к уравнениям вида у(в) = » К(в»)д('Р(»)») ~»» а гдо К и д — заданные функции. Мы, однако, во всем дальнейшем ограничимся линейными уравнениями. Отдельные интегральные уравнения рассматривались еще в начале девятнадцатого столетия.
Так, еще в 1823 г. Абель рассмотрел уравнение 1(в) = / й, 0 с о с 1, »(О) = О, о носящее теперь его имя, Здесь » -- заданная функция, а ув искомая. Абель показал, что решение этого уравнения имеет вид г »и» д я / (»,)1 — а о Однако общая теория линейных интегральных уравнений была построена лишь на рубеже Х1Х и ХХ столетий, в основном в работах Вольтерра, Фредгольма и Гильберта. 473 1 к Основные оссоеделенил Уравнение (1) называется уравнением Фредгольма второго рода (ср.
п. 4 з 4 гл. П), а уравнение Ь / К(ь, С)Ьо(С) сСС = С(з) е (2) (в котором неизвестная функция со содержится только под знаком интеграла) — уравнением Фредгольма первого рода. Упомянутое выше уравнение Абеля отяосится к так называемым уравнениям Вольтерра; общий вид этих уравнений таков: ~ К(з, С)ш(С) сСС = 1(з) о (3) (уравнение Вольтерра первого роди) или е со(з) = ) К(з, С) со(С) дС + 1'(з) (4) (уравнспие Вольтерра атпорого рода). Ясно, что уравнение Воль- терра можно рассматривать как уравнение Фрсдгольма, в котором функция К удовлетворяет условию К(з,С) =О при С > з. Однако уравнения вольтеррова типа цолесообразно выделить в особый класс, поскольку они обладают рядом существенных свойств, отсутствующих у произвольных фредгольмовых уравнений.
Если в уравнениях (1), (2) или (3) функция 7' ранна нулю, то такое уравнение называется однородным. В противном случае уравнение называется неоднороднылс. 2. 11римеры задач, приводящих к интегральным уравнениям. В дальнейших параграфах этой главы мы рассмотрим основные свойства линейных интегральных уравнений, по сначала мы опишем несколько задач, приводящих к таким уравнениям. 1.
Равновесие нагрулсенноСС спьруны. Рассмотрим струну, т.е. упругую материальную нить длины С, которая может гвободно изгибаться, но оказывает сопротивление растяжению, пропорпиональное величине этого растяжения. Пусть концы струны закреплены в точках х = О и х = (. Тогда в положении равновесия струна совпадает с отрезком оси х, О < х < !. Предположим теперь, что в точке х = б к струне приложена вертикальная сила Р = РС. Под действием этой силы струна отклонится от положения равновесия и примет, очевидно, форму ломаной, изображенной ва рис. 23.
!'л. !Х. Х!анеоные ннн1егральные урааненнл Рис. 23 Найдем величину д отклонения струны в точке С под действием силы Ре, приложенной к этой точке. Если сила Ре мала по сравнению с натяжением ненагруженной струны То, то горизонтальную проекцию натяжения нагруженной струны можно по-прежнему считать равной Та Тогда из условия равновесия струны получаем равенство: д В т-+Ров 4 1 †откуда (! — 4И > Т~! Пусть теперь и(х) --- прогиб струны в некоторой точке х под действием силы Ре. Тогда и(х) = РеС(х,~), где — при 0(х(~, х(! — 5) С(х, с) = (! - *)1 „ри ь «! а Из этих формул сразу видно, в частности, что С(х,с) = С(5,х).
Предположим теперь, что па струну действует сила, распределенная по ней непрерывно, с плотностью р((). Если эта сила мала, то деформация зависит от силы линейно, а форма нагруженной струны описывается функцией н(х) = / С(х,б)р(с) бб. (5) о Итак, если задана нагрузка, действующая на струну, то формула (5) позволяет найти форму, которую примет струна под действием атой нагрузки. Рассмотрим теперь обратную задачу: найти то распределение нагрузки р, при котором струна примет звдинную форму и. Мы получили для нахождения функции р по заданной и уравнеяие, которое с точностью до обозначений есть уравнение (2), т.е.
интегральное уравнение Фредгольма первого рода. 2. Свободные и вынужденные колебания струны. Предположим теперь, что струна совершает какие-то колебания. Пусть и(х, !)— 476 1 К Освоение определения положение в момент 1 той точки струны, которая имеет абсциссу х, и пусть р — линейная плотность струны ~ ). На элемент струны дли- ны с)х дойствует сила инерции, равная д~и(б, 1) откуда р(с) = —,' р. д и(х,С) д1 Подставив это выражение вместо р(Я) в формулу (5), мы получим (6) Предположим, что струна совершает гармонические колебания с не- которой фиксированной частотой ог н амплитудой и(х), зависящей от х. Иначе говоря, пусть и(х, с) = и(х) згпоЛ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
