А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин - Элементы теории функции и функционального анализа (1134953), страница 93
Текст из файла (страница 93)
единственная возможная предельная точка для последовательности 1)гп). Сама точка р = О может быть собственным значением конечной нли бесконечной кратности, а может и не быть точкой множества собственных значений. Как было показано в и. 5 2 2 для уравнения р = ЛВр+1, где  — интегральный оператор вольтеррова типа, всегда имеет место первый случай альтернативы Фредгольма (разрешимость при любом 1 е Ьз). Иначе говоря, спектр интегрального оператора типа Вольтерра состоит из одной точки )г = О. Вместе с тем в конце п. 4 2 2 мы назвали абстрактным оператором Вольтерра компактный оператор, спектр которого сводится к точке О.
Поэтому можно сказать, что интегральный оператор Вольтерра является и абстрактным оператором Вольтерра, и вся эта терминология оказывается оправданной. 2. Отыскание решения в виде ряда по степеням Л. Детерминанты Фредгольма.
Формально решение уравнения (1 — ЛА)ьз = 1 г) и = 0 обязательно прннвянежит спектру А, поскольку А г не может быть ограничен в бесконечномерном Н (см. следствие к теореме 2 в и, 2 1 б гл. 1Ч). Гл. гХ. Лннеднне нннгегрееенне Враенення можно записать в веще р = (1 — ЛА)-' 1. (2) Эта формула действительно определяет решение, если ()ЛА(! < 1, т.е. )Л! < 1, поскольку в этом случае оператор (1 — ЛА) ' суще- (!А!! ' ствует, определен на всем Н и ограничен (см.
и. 7 3 б гл. юг). При этом оператор (! — ЛА) ' можно представить как сумму степенного ряда (1 — ЛА) ' = 1+ ЛА + ЛзАз + ° + Л"А" +..., сходимость которого (по норме) обеспечивается условием !Л! < < 11'!)А!!. Следовательно, решение (2) нашего уравнения (1) можно записать так: р=1+ЛА1+Л'А'1+" +Л" н1+... (3) Этот же результат получится, если искать решение уравнения (1) в виде степеннбго ряда гол = гео + Л + + Л 'рн + (где ог„от Л уже не зависят). Подставив этот ряд вместо р в правую и левую части уравнения Ьг = ЛАЬо + 1 и приравняв затем коэффи- циенты при одинаковых степенях Л в обеих частях равенства, мы получим ьоо = ~, ~рь = АУ, ..., ~р = Арн-ь = А"У, А р = ~ К(е, ь) р(ь) г(ь, Вьг = ~ СКе, а) р(ь) г(1, а е ь ь ь ь у 1г )ц( 1)(2~е,1Ь 2 а а У У !К(з,ь)!зе(е е(Ь = Уст < оо, а а т.е.
ряд (3). Покажем, что если А — интегральный оператор Гильберта— Шмидта, т, е, оператор, определяемый квэдратично интегрируемым ядром К(е, ~), то оператор (1 — ЛА) ' при достаточно малых значениях Л может быть записан как сумма 1+ ЛГ(Л) единичного оператора 1 и некоторого интегрального оператора ЛГ(Л) ГильбертаШмидта с квадратично интегрируемым ядром, зависящим от параметра Л. Выясним сначала, каким образом записываются ядра операторов Аг, А и т. д.
Рассмотрим для этого более общий вопрос: пусть даны два интегральных оператора "г 3. Иьтаеерааьиие рраеиеааа, еадержааЬие аарамеаьр 493 Найдем ядро оператора АВ. Имеем ь ь АВ~р = ~ (К(з, и) )' Я(и, фри ей~ Ни = а а ь ь = / ( ~ К(з, и)Я(и, г) е1и~~~рЯ еье. а а Возможность изменения здесь порядка интегрирования вытекает из теоремы Фубини, поскольку подынтегрвльная функция К(з, иЯ(и, г)~г(г) суммируема по совокупности переменных и н 1 как произведение двух функций К(з, и)у(1) и Я(и, 1), квадрат каждой из которых суммируем. Положим )г(з,ь) = ~ К(з,и)Я(и,г)еЮи; (4) а а в силу неравенства Коши-Буняковского имеем )Л(з, ь)! < / ~К(з,и)) Юи / )Ьд(и,ь)) ди, а а откуда ь ь ~л(з г~~ ез гьг < а а Итак, произведение двух интегральных операторов типа Гильберта- Шмидта есть оператор того же типа, с ядром, определяемым фор- мулой (4).
В частности, положив А = В, получаем, что Аг есть интегральный оператор с ядром Кг(з,г) = / К(ь,и)К(и,т)е1и, а которое удовлетворяет условию ь ь ь ь / ~ ~Кг(з,ь)!'сйеВ < ~(' / )К(зД~~еЬсй = й~, а а а а откуда йАг(( < йг, где ь ь ~г ( у ~К( 1))г,~,)г а а Аналогично получаем, что каждый из операторов А" определяется ядром ь Ка(з, й) = / К„, (з, и)К(и, ь) еХи, и = 2, 3,..., а 494 гл. 1Х. Линепные интегральные уравнении удовлетворяющим условию ь ь / / 1Ка(е, г)! депе < к а а (о) Ядра К„(ез г) называются игперироеанными ядрами.
При [Л! < 1/Ь ряд К(ьч г) + ЛКт(е,г)+ . + Л" ~К„(е,г) + .. сходится в силу оценки (6) в пространстве Ьз([а, Ь[ х [а, Ь1) к неко- торой функции Г(е,ь; Л), квадрат которой суммируем по е и 1 цри каждом )Л( < 1/7с. Интегральный оператор Г(Л), для которого функ- ция Г(з,1; Л) служит ядром, есть сумма сходящегося ряда А + ЛА~ + + Л" 'А" + .. (6) компактных операторов и, следовательно, он компактен. Домножив зту сумму на Л и прибавив к ней единичный оператор 1, мы и получим оператор (1 — ЛА) '. Итак, действительно, при (Л( < 1/й оператор (1 — ЛА) ' есть сумма единичного оператора 1 и компактного оператора ЛГ(Л) с ядром ЛГ(з,ь; Л) = ~~г Л"К„(з,ь). Условие ~Л~ < 1/Ь достаточно для сходимости ряда (6), но вовсе не необходимо.
В некоторых случаях этот ряц может оказаться сходящимся даже при всех значениях Л. Например, если А — оператор вольтеррова типа с ядром, удовлетворяющим условию /К(з,ь)) < М, то, как показывает прямой подсчет, для итерированных ядер К„(з,ь) справедлива оценка: М" (Ь вЂ” а)" Жа(зг~)! ег ( 1)~ откуда следует сходимость ряда (6) при любом Л. Однако, вообще говоря, степенной ряд (6) имеет некоторый конечный радиус сходимости. В то же время уравнение ер = ЛАгр+/ имеет решение при всех Л, кроме конечного или счетного числа значений, именно таких, что 1/Л есть собственное значение оператора А. Фредгольм показал, что для интегрального оператора А, определяемого ограниченным и непрерывным ядром К(е,г), решение 1 3, Иьпиегралвиые ярввисипл, свгервк:апиж перв мегпр уравнения !р = ЛАао+ / может быть найдено слсдуюпаим спооКюм.
Введем обозначение ' К( „1,) ... К(я„!и) К(я„,11) ... К(яп, 1„) и определим функции Р(Л) и Р(я, !; Л), называемые, соответственно, дегперммнанпьоям Фредгольма и минором Фредгольма, формулами: и!г! = г — л/к(а) га + к //«(Г' г) гага+ .. а а +( 1).Л" / .К~6 "с '1д~ ( + гй! . йр' Р(я,гд Л) = = к ( ) — г / к (', г ) Л, г ~ / / к (", Г' г ) вг е, .~...
(„,1 Тогда для интегрального уравнения г/г(я) = Л / К(я, !)аг(!) г/1 + /(я) и резольвентное ядро дается формулой О(я,.1; Л) Г(я,11Л) = Л Р Л) и решение записывается в виде Р(я 1 Л) !/'(я) = У(я) + Л /' Р( !) /(!) Г11 (9) а для всех значений Л, таких, что 1/Л пе есть собственное значение интегрального оператора А, отвечающего ядру К(я,1).
При этом Р(Л) и Р(я, 1; Л) представляют собой целые аналитические функции параметра Л и Р(Л) = О в том и только том случае, если 1/Л есть собственное значение интегрального оператора А. Как показал в 1921 г. Т. Карлеман, формулы (7), (8) и (9), полученные Фредгольмом в предположении непрерывности ядра К(я, 1), остаются в силе и для любого ядра с интегрируемым квадратом. Мы не будем приводить здесь выводы формулы (9) и формул (7), (8)'). !) См. Саг!егпап Т. 7пг ТЬеопе г!ег !п!еяга!6!е!сьппкеп // МагЬ. ЕеиесЬг.— 1921. № 9.
— Б. 196 — 217, а также оптг!Ыек Р. ТЬе Ртеи!га!гп аЬеогу ог ш!еага1 о!па!попе // Вп1ге Ма!Ь. 3опгпаГ. — 1941. № 6. — Р. 107 — 130. Вывод формул (7), (3) и (9) см. в книгах [35] и (46). ГЛАВА Х ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ В тех вопросах функционального анализа, которыми мы занимались в предыдущих главах, основную роль играли понятия линейного функционала и линейного оператора. Однако некоторые задачи, возникающие в функциональном анализе, носят существенно нелинейный характер; онн приводят к необходимости развивать наряду с «линейным» и «нелинейный» функциональный анализ, т.е.
изучать нелинейные функционалы и нелинейные операторы в бесконечномерных пространствах. К нелинейному функциональному анализу относится, по существу, такая классическая область математики, как варнационное исчисление, основы которого были заложены еще в ХРП вЂ” ХАРЧИ вв. в работах Бернулли, Эйлера, Лагранжа. Однако в целом нелинейный функциональный анализ представляет собой сравнительно новую область математики, пока еще далекую от своего завершения. В этой главе мы изложим некоторые первоначальные понятия, относящиеся к нелинейному функциональному анализу, в основном к теории дифференцирования, и некоторые применения этих понятий.
з 1.Дифференцирование в линейных пространствах 1. Сильный дифферен1тиал (дифференциал Фреше). Пусть Х и У вЂ” два нормированных пространства и г' — отображение, действующее из Х в У и определенное на некотором открытом подмножестве О пространства Х. Мы назовем это отображение дифференцируемым в данной точке х е О, если существует такой ограниченный линейный оператор 1„е ь(Л, У), что для любого е > О можно найти б > О, при котором из неравенства йЬв < б следует неравенство То же самое сокращенно записывают так: (2) Р(х + Ь) — Е(х) — 1„Ь = О(Ь).
Из (1) следует, что дифференцируемое в точке х отображение непрерывно в этой точке. Выражение Ь,Ь (представляющее собой, 1 и дифференцированно в винсенне пространствах 497 очевидно, при каждом Ь е Х элемент пространства у) называется сильным дифференциавом (или дифференциалом Фреисе) отображения Е в точке х. Сам линейный оператор Ь, называется производной, точнее, сильной производной отображения Е в точке х. Мы будем обозначать эту производную символом Е'(х). Если отображение Г дифференцируемо в точке х, то соответствующая производная определяется единственным образом.
В самом деле, равенство ОЬ|Ь вЂ” ЕтЬ)( = о(Ь) для операторов Ь; Е Е(Х,1') (1 = 1, 2) возможно, лишь если Ь| — — Т.э. Установим теперь некоторые элементарные факты, непосредственно вытекающие из определения производной. 1. Если Г(х) = уо = сопят, то Р'(х) = О (т. е, Р'(х) в этолс случае есть нулевой от1ератор). 2. Производная непрерывного линейного отображения Т. есть само это отпоб ажение: (3) Е'(х) = Т. Действительно, по определению имеем Цх+ Ь) — Цх) = Т.(Ь).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
