А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин - Элементы теории функции и функционального анализа (1134953), страница 96
Текст из файла (страница 96)
Дох аз атель ство будем вести по индукции. При и = 1 равенство (21) тривиально. Возьмем теперь произвольное фиксированное и и предположим, что равенство, получающееся из (21) заменой и па и — 1, уже доказано для всех отображений, удовлетворяющих зов Гл. Х.
Звгменсли дифференциального исчисления условиям теоремы, в которых и заменено на и — 1. Тогда для отображения Р' имеем р" (х+ Ь) = Г'(х) + рн(х)Л+,-',Гн'(х)(Л,Л) + ". . + 1 , Е~"~(х)(Л,..., Ь) + иг1(х, Ь), (22) где Цы1(х,Л)Ц = оЦ)ЛЦ" '). Интегрируя обе части равенства (22) по отрезку [х, х+ Л) и пользуясь формулой Ньютона-Лейбница (15), мы получим 1 1 Т'( + Ь) — Е(х) = / Г'(х+1Л)Ьгй = /~ Р(х) + ьг"'(х)Ь+ е е + —,1 Г (х)(Л,Л) + С Р~ г(Л,...,Л))ЛсН+А„, (23) 1 где Н„= (' ыг(х,1Ь)Лгй.
о Из (23) получаем Г(х+ Л) — Е(х) = Р'(х)Ь+ + ~1 Рл(х)(Ь, Ь) + + 1,РОО(Ь,..., Ь) + Ва,. причем ЦВнЦ < ~ ))игг(х,гЛ)Ц . ЦЛЦг11 = о(ЦЛЦ"). е Тем самым наше утверждение доказано. Формулу (21) называют формулой Тейлора для отобрезгссний. Ц 2. Теорема о неявной функции и некоторые ее применения 1. Теорема о неявной функции.
Одна из важнейших теорем классического анализа, имеющая разнообразные применения, — это теорема о неявной функции. Мы сейчас покажем, что эта теорема переносится без больших изменений с числовых функций на отображения произвольных банаховых пространств. Теорема 1. Пусть Х,У,Š— бвнаковы лространствсь П— окрестность точки (хе,уе) Е Х х У и Р— отображение У в Я, обладающее следующими свойствами: 1.
Е непрерывно в точке (хе, уе). 2. Р(хе,гуо) = О. 1 2. Твврвмв в неявной функции 3. частная производная к„'(х, у) существует в с1 и непрерывна н точке (хо, уо), а оператор р'„'(хо, уо) имеет ограниченный обратный. Тогда уравнение г'(х, у) = О разрешимо н некоторой окрестности точки (хо, уо). Точнее зто означает следующее: существуют такие е > О, б > О и такое отобрюкеине У =Лх), (1) определенное при Цх — хоЦ < б и непрерывное н точке хо, что каждая пара (х,у), для которой Цх — хоЦ < б и у = 2'(х), удоаоетноряет аннению ур Р(х,у) = О, (2) и обратно„каждая эгара (х,у), удовлетворяющая уравнению (2) и условиям Цх — хоЦ < б, Цу — уоЦ < е, удовлетворяет и (1). Доказательство.
Обозначим через У1,) С 1' совокупность тех у, для которых (х, у) Е У при данном х. Будем считать, что Цх — хоЦ настолько мало, что Уо б б1,), и РассмотРим опРеделенное на ()1я) отображение А1,) .. А1.)у = у — [Ро(хо,уо)] 'Е(х,у). (3) Ясно, что уравнение А)х)у у равносильно уравнению Р(х, у) = О. Для доказательства существования решения уравнения (3) применим принцип сжимающих отображений. С втой целью покажем, что для каждого достаточно малого с > О найдется такое б > О, что при Цх — хоЦ < б отображение А1,) является сжимающим и переводит шар Цу — уоЦ < е в себя. Начнем с того, что вычислим и оценим по норме производную отображения А) ).
Имеем в силу формул (3)-(5) Ц 1: А),)(у) = 1 — [Ео(хо,уо)] ' Г„'(х,у) = = [Е„'(хо, Уо)] '[Р,',(хо, Уо) — Ез(х, У)]. В силу непрерывности производной р'„' в точке (хо, уо) можно выб ать е и б так что Р ЦА1.)(у) Ц < а < 1. Это неравенство вследствие формулы конечных приращений означает,что отображение А(х) пространства У при любом х, удовлетворяювцем неравенству Цх — хоЦ < б на шаре Цу — уоЦ < с является сжимающим.
Оценим тепеРь ЦА)я)Уо — УоЦ. Имеем: ЦА(,)уо — уоЦ ~ 1Ц[Ро(хо уо)] Ц Щх,уо)Ц = = Ц[го(хо уо)] Ц ЦР(х,уо) — с(хо,уо)Ц. 17 †13 5!а Гл. Х. Нлеменоем дофферекцоольного исчисление В силу непрерывности отображения Е в точке (ха,ра) последнее выражение можно сделать за счот выбора Ь сколь угодно малым. Пусть б > О настолько малб, что !!А1 1ра — ра!) < с(1 — д) при ()ха — х)) < б. Пронерим„что при таком выборе б отображение АОО переводит замкнутый шар йр — рай < с в себя.
Действительно, если Пх — хай' < д и йр — рай ~ (с, то нз формулы конечных приращений получим ~!А1 )р — ра1~ < ~!А( ) ра — ра1~ + !|А1 1р — А1 )ра!! < < с(1 — Р) + впР ЦА~1,)(Ра+0(Р— Ра))!1. ~!Р— Ра!! < а<в<1 < е(1 — р) + ер = с. Итак, при йх — ха'й < 6 отображение АОО переводит замкнутый шар йр — рай < с в себя и является на этом шаре сжимающим. Значит, в этом шаре существует единственная неподвижная точка р' = 1(х), т.е. точка, для которой р* = р — (Г,'(х„раУ-'Г(х, р ), т.е.
в силу условия 3 теоремы Е(х,р*) = О. Отображение / и есть искомое. Действительно, справедливость уравнения (2) уже проверена. Равенство у(ха) = ра вытекает из единственности неподвижной точки для отображения Аыор а непрерывность построенной функции у следует из того, что в приведенных выше рассуждениях величина с может бьггь взята сколь угодно малой. Замечание. Нетрудно показать, что если в теореме 1 предположить отображение г' непрерывным в окрестности Ое (а не только в точке (ха,ра)), то соответствующее отображение / будет непрерывно в некоторой окрестности точки ха. Нижеследующая теорема устанавливает условия, при которых функпия, определяемая уравнением нида Г(х,р) =- О, диффсренПируема. Те о ре м а 2. Пусть выполнены условия теоремы 1, и пусттч кроме того, в Ог существует частная производнвл Е', непрерывная в то чке (ха ра).
Тогда отображение ~ днффсренцнруемо в точке ха и у (ха) = †(го(ха ра)) г (ха ра)- 51! 1 2. Тооромо о неявной взуннчии Доказательство. Обозначим выражение, стоящее в (4) справа, через Л. Оно представляет собой линейный оператор, действующий из Х в 1', Доказать, что этот оператор служит производной отображения г' в точке ха, это значит доказать существование для каждого г > 0 такого а > О, что при любом х таком, что Цх — хац < а, выполнено неравенство (б) Цв'(х) — в"(ха) — Л(х — ха) Ц < гЦх — хаЦ.
Полагая 1(х) =. у, и заменив 1(ха) па уа, а оператор Л вЂ” - его выра- жением (4), имеем У(х) — ((ха ) — Л (х — ха ) = = У Уа+ [Р (ха Уа)Г Р (ха УаНх ха) = = [Р„'(ха: Уа)Г (Р,(ха, Уа)(х — ха) + Р„'(ха, УаНУ вЂ” Уа)). Но Р(х, у) = Р(ха, уа) = О, поэтому с помвннькв формулы конечных приращений получаем такую оценку; Цвг(х) — ((ха) — Л(х — ха)ц ~ (Ц[Р„(ха,уа)] Цх к П(Р(х, у) — Р(ха, уа) — Р'(ха уаНх — ха) — Р'„'(ха, уа)(у — уа)) Ц < < [[[Ру(ха,уа)] Ц[ зпР ]]г (ха + У(х — ха),Уа+ Уг(У Уа)) а<в,в,<1 — Р„'(ха,уа)П Пх — хаП+ + зпр ПР„'(ха + У(х — ха), уа + д~ (у — уа))- а<в,в,<1 — Рв(ха: Уа) П . ЦУ вЂ” Уац| < Ч[Пх — ха П + ЦУ вЂ” Уа Ц], где величина и может быть сделана сколь угодно малой в силу непрерывности производных ~Г и Р'„', если величина 6 достаточно мала.
Таким образом, мы получили, что Щх) — У(ха) — Л(х — ха) П < Цпц]х — хаЦ+ ЦПх) — ~(ха)ц] < < в[][х — хаЦ + ЦЛ(х — ха) Ц + Щх) — ((ха) — Л(х — ха)]Ц. Отсюда при достаточно малом у получаем Ц.((х) — ((ха) — Л(х - х.)Ц < у(1 — уг'(1+ ЦЛП)цх - х.Ц, и для доказательства неравенства (б) остается лишь выбрать й так, что п(1 — и) '(1+ ЦЛЦ) < г. Теорема доказана. Рассмотрим теперь некоторые применения теоремы о неявной функции.
512 Гл. Х. Элелгеигли дифференциального исеигсленил 2. Теорема о зависимости решения дифференциального уравнения от начальных данных. Рассмотрим задачу Коши для дифференциального уравнения егх/гй = у(2,х), х(го) = хе, (6) где у(г,х) и х — элементы некоторого банахова пространства Е. Задача (6) равносильна интегральному уравнению х(~) — хе — / 2 (т, х(т) ) с(т = О.
Запигпем это уравнение как Е(хе,х(~)) = О. Таким образом, Г— это оператор, отображающий прямую сумму пространства Е и пространства Сфе,1г] непрерывно дифференцируемых функций со значениями в Е в пространство С~-(ге,8г], Если функция у(~,х) непрерывна и имеет непрерывную по (г, х) производную, то выражение х(г) — ) ((т, х(т)) йт го определяет дифференцируемое отображение пространства Ся]се, ~г] в себя. Следовательно, и Е(хе, х(й)) есть дифференцируемый по х(г) оператор, а так как хе входит в г'(хе,х(г)) вдцитивно, то Г есть дифференцируемая функции на Е х Ср]~е, ~г].
Дифференциал этой функции по х имеет вид Р,'Б = ЬЯ вЂ” / ~,'(т,х(т))й(т) Йт. Правая часть этого равенства определяет оператор, отображающий Са1(ге, 2г] в себя. Этот оператор обратим. Действительно, для любой фУнкиии У(~) Е Сй(2е Гг] УРавнение Е.'Ь(С) = у(~), или п(г) — / /'(т, х(т))Ь(т) ггт = й(г), Со равносильно дифференциальному уравнению гйг(2) — — У.'И хИ))бИ) = у'Я (9) с начальным условием Й(то) = у(го) Уравнение (9) — это линейное уравнение с непрерывными коэффициентами, поэтому в силу известных теорем (см. ]24]) существует 5 я Тевуема в неявной фуннчнн 513 единственное решение этого уравнения, определенное на всем отрезке (ев, $~) и удовлетворяющее указанному выше начальному усло вию, а это и означает обратимость оператора Е,'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
