А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин - Элементы теории функции и функционального анализа (1134953), страница 97
Текст из файла (страница 97)
Полученный результат означает, что к уравнению Р(хе,х(~)) =О применима теорема о неявной функции. В силу этой теоремы решение х = х(Ф) данного уравнения, которое может рассматриваться как функция переменного начального значения хв. х = х(е,хо), дифференцируемым образом зависит от хв. В частности, принимая за Е конечномерное пространство, мы получаем обычную теорему о непрерывной дифференцируемой зависимости решения системы дифференциальных уравнений от начальных условий.
Аналогичным образом с помощью теоремы о неявной функции может быть получено утверждение о дифференцируемой зависимости решения дифференциального уравнения — „' = ДГ,х,а) от параметра а, если его правая часть дифференцируемым образом зависит от а. 3. Касательные многообразия. Теорема Люстериика. В качестве еще одного применения теоремы о неявной функции рассмотрим следующий вопрос. Пусть Р(х), где х = (хы хз), — дифференцируемая функция на плоскости. Уравнение г'(х) = О определяет на плоскости некоторую кривую С. Пусть хо — точка, принадлежащая этой кривой.
Касательная к кривой С в данной точке может быть определена либо как совокупность векторов вида хо + И, где 6 — вектор, перпендикулярный вектору гн(хв) (т.е. градиенту функции г' в точке хз), либо как совокупность точек хе + Ы, расстояние которых до кривой С есть бесконечно малая выше первого порядка относительно е. Содержание теоремы Люстерника состоит в том, что эквивалентность двух определений касательной имеет место и для многообразий в произвольных банаховык пространствах. Введем некоторые понятия н обозначения, необходимые для точной формулировки соответствующей теоремы.
Пусть Х и ее — банаховы пространства и à — отображение пространства Х в Ъ'. Пусть далее Ме — совокупность точек из Х, удовлетворяющих уравнению Е(х) = О, и хе Е Мв. Предположим, что отображение Е непрерывно дифференцируемо в некоторой окрестности С точки хв. Мы назовем отображение г регулярнььм в точке хе, если линейный оператор Р(хо) отображает пространство Х на все е'. 514 Гл. Х. иыементн дифференциального иечггеаениа Обозначим через Ти совокупность элементов Ь Е Х, удовлетво.ряющих условию Е'(хо)Ь = О, т.е.
Те = Кета'(хо). Ясно, что Та есть подпространство в Х. Сдвиг этого надпространства на вектор хо, т, е, многообразие хв + То, обозначим через Т, и назовем линейным многообразием, касательным к множеству Ме в точке хо. Имеет место следующая теорема. Теорема 3 (Л. А. Люстерник). При указанных выше условиях относительно Г элемент хв + Ь принадлежит касательному многообразию Т, в том и толыго том случае, если расстояние элемента хв+ 4Ь от множества Мв есть величина вьпве первого порядка малости относительно й Эта теорема играет очень важную роль в задачах оптимального управления. Она служит инструментом, с помощью которого известное правило множителей Лагранжа нахождения условного экстремума может быть распространено на широкий круг экстремальных задач в банаховых пространствах.
Сколько-нибудь полное изложение этих вопросов выходит за рамки настоящей книги (о них см., например, в книге: А.Д. Иоффе, В. М. Тихомиров. Теория экстремальных задач. — Мл Наука, 1974). Мы ограничимся тем, что проведем доказательство теоремы Люстерника для так называемого «разложимого» случая, в котором теорема Люстерника почти непосредственно вытекает из теоремы о неявной функции. Именно, предположим, что пространство, на котором определено отображение Р, может быть разложено в прямую сумму Х = То й Т4 подпространства Те — — Кег Е'(хе) и некоторого пространства Т4. (Заметим, что в банаховом пространстве, отличном от гильбертова, не всякое надпространство имеет Прямое дополнение.
Более того, можно показать, что если в пространстве Х всякое линейное надпространство имеет прямое дополнение, то Х -- гильбертово пространство.) При этом предположении теорема 3 может быть сформулирована слелующим более точным образом. Теорема 4. Если Х=Т ЕТ и отображение Г: Х -+ г удовлетворяет указанным выше условиям, то существует такое гомеоморфное отображение окрестности точки хе в Мв на окрестность этой же точки в Т,„, что расстояние "1 2.
Теарама а иеяаиай Функции 515 между соответствующими друг другу точками есть величина высшего порядка малости тю сравнению с ик расстояниями до точки хо. Доказательство. Обозначим через А оператор Г'(хо), рассматриваемый только на подпространстве Тг, т.е. Аб = Р'(хо)С при 4 Е ТГ. Покажем, что А отображает Тг на все 1'. Действительно, по условию каждый элемент из Х имеет вид х = Ь + ~, Ь й 7"о, ( Е 7'г.
Поэтому Еа(хо)х = Е'(хоНЬ + 4) = Р'(хо)б = Аб, (10) так как Р'(хо)Ь = О. Но по условию Е'(хо) отображает Х на все т, а это и означает, что Аб пробегает все У, когда б пробегает 75. Далее отоб ажение р А: Тг -~ 'г' взаимно однозначно, так как, если АС1 = Аоз, т. е. Тд(хо) (Сг — бз) = О, то 41 — бз й То. откуда С1 — сз = О. Итак, оператор А обратим и по теореме Бенаха обратный оператор А ' линеен и ограни ген.
Представив каждый элемент х е Х в виде х =- то + Ь + б, Ь е То, б Е Тг, перепишем уравнение г'(х) = О, определяющее многообразие М, так: Ф(Ь,~) = Р(хо+ И+ ~) = О. Частный дифференциал этой функции в точке (0,0), отвечающий приращению аьС второго аргумента, имеет вид Ф~~ (О, 0) таС' = 7и(хо) йс = А аас'. Оператор А = Ф'(0,0) имеет обратный, поэтому в силу теоремы о неявной функции уравнение Ф(Ь, с) = 0 в некоторой окрестности точки (О, 0) равносильно уравнению вида 4 = Ф(Ь), где Ф(Ь) - — дифферепцируемое отображение, удовлетворяющее условию Ф(0) = О.
Мы получили, что каждая точка х Е ЛХо, достаточно близкая к точке хо, имеет вид х=хо+Ь+Ф(Ь), ЬЕТо, Ф(Ь) ЕТг. Тем самым нос гроено отображение хо+ Ь еу хо+ Ь+Ф(Ь) Гл. Х. Элементн дифференииальнсгс исчислении 516 некоторой окрестности точки хэ в Тхо на окрестность той же точки в Ме. Это отображение взаимно однозначно и непрерывно. Остается показать, что расстояние между соответствующими друг другу точками, т. е, величина ()гУг(Уг))(, имеет высший порядок малости по сравнению с 06)(. Дифференцируя равенство Ф(Уг, г)г(Уг)) = О, имеем: Ф),(0, 0)Уг + Ф~(0, 0)гУг'(0)Уг = Ф),(0, 0) Уг + Аг)г'(0)Уг = О, откуда гр'(0)Уг = — А 'ФЦО,О)Уг = — А 'ге(хе)Уг = О.
Поэтому в равенстве гУг(Уг) = ф(0) + г(г'(0)Уг + о((Щ) первые два слагаемых справа равны нулю, т. е. что и требовалось. Теорема доказана. '5 3. Экстремальные задачи Один из самых старых и наиболее разработанных разделов нелинейного функционального анализа — нахождение экстремумов функционалов. Изучение таких задач составляет содержание так называемого вариационного исчисления. Бальшинствометодов, существующих в вариационном исчислении, связано со специальным видом тех функционалов, экстремальные значения которых ищутся. Однако некоторые общие приемы и результаты могут быть сформулированы и для более или менее произвольных функционалов.
Не ставя себе здесь задачи сколько-нибудь полного изложения вариационных методов, мы ограничимся кратким рассмотрением элементов общей теории, лежащих в основе вариационного исчисления. 1. Необходимые условия экстремума. Пусть г' — некоторый действительный функционал, определенный на банаховом пространстве Х.
Говорят, что функционал Р достигаепг в точке хе минимума, если для всех х, достаточно близких к хе, выполнено неравенство Г(х) — Р(хо) > О. Аналогично определяется максимум функционала. Если в данной точке хо функционал г' достигает минимума или максимума, то мы будем говорить, что в этой точке функционал Р имеегп экстремум. 1 3. Нпеепремалипие задачи 517 К отысканию экстремумов тех или иных функционалов могут быть сведены многие физические и механические задачи.
Для функций и переменных хорошо известно следующее необходимое условие экстремума: если функция 1 днфференпнруема в точке хе = (хе„..., хо) и имеет в этой точке экстремум, то в втой точке «11 = О или, что равносильно, Это условие легко переносится на функционалы на произвольном нормированном пространстве. Т е о р е м а 1. Для того чтобы днфференцпруемый функционал Г догжигал в точке, хо экстремума, необходимо, чтобы его дифференциал в этой точке равнялся нулю при всех Ь; Р'(хе)Ь = О. Иначе говоря, необходимо, чтобы Р" (хе) = О. До к аз атель ство. По определению днфференцируемости имеем Р(хе + Ь) — Е(хе) = Г'(хе)Ь+ о(Ь).
(1) Если Г'(хе)Ь дь О для некоторого Ь, то при достаточно малых действительных Л знак всего выражения гч(хе)(ЛЬ) + о(ЛЬ) совпадает со знаком его главного члена Г'(хе)(ЛЬ). Но Г'(хе) — - линейный функционал, поэтому гч(хв)(ЛЬ) = Лг'(хе)Ь. Следовательно, если Г'(хе)Ь ф О, то выражение (1) может принимать при сколь угодно малых Ь как положительные, так и отрицательные значения, т.е.
экстремума в точке хе быть не может. Рассмотрим некоторые примеры. 1. П сть у ь Г(х) = У У(1, х(1)) еЕй, (2) а где д —, непрерывно дифференцируемая функция. Этот функционал, рассматриваемый в пространстве С[а, 6] непрерывных функций на отрезке [а, Ь], дифференцируем. Действительно, ь Г(х+ Ь) — Р(х) = ~[д"(1,х(1) + Ь(Ф)) — д(1,х(1))]Ж = а = / Д(1, х(1))Ь(Г) ей + о(Ь), а откуда е(Г = ~ ~'(Г,х(1))Ь(1) Ж. а 518 ГЛ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
