А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин - Элементы теории функции и функционального анализа (1134953), страница 101
Текст из файла (страница 101)
в) Если Х = Е(У, У) — алгебра ограниченных операторов, то обратимые элементы суть обратилгые операторы, спектр н резольвента в этом случае совпэдают со спектром и (с точностью до знака) резольвеитой оператора, которые были введены в п. 7 з 5 гл. Ж. Собственно говоря, в этом параграфе мы в общем виде исследуем то понятия, которые вводились ранее для банаховоИ алгебры ограниченных лииейнык операторов. 2.Свойства спектра. Теорема 1. 1'.
Для любого линейного функционала 1(х) нз сопряженного пространства Х' функция 7(х(Л)) = Р (Л) аналитична иа С1п(х) и Е(Л) -+ О при )Л! -4 оо. 2'. Спектр о(х) злемепча х баиалооой алгебры Х есть непустое компактное множегтво в С Имеет место неръвгш:тво: г(х) ( 'Вхй. Доказательству теоремы 1 предпошлем несколько лемм. Лемма 1 (ср, с теоремой б З б гл. юг). Пусть элемент х пз банаховой алгебры Х имеет норму, огонь шукг единицы. Тогда зле иеит г, -х обратим и (е — х) =- е+х+ +х" +...
Действительно, положив о„= е+ х -4- . + х", имеем: ео„— о члй = 'ех" +-. +х'+ э' ( ~ Охй'~' = — -+ О. Итак, последовательность о„фундаментальна. Так как Х полно, то она сходится к некоторому элементу о б Л. При этом о(е — х) = 1пп о (е — х) = 1пп (е — х" ) = е. Аналогично доказывается, что (е — х)о = е. 1 2. Сиани!р и разохьоеип!а Следствие.
Для всякого х б Х (е — 1х) ' -о е прп 1 — ! О. Действительно, (е — 1х):— 11!и (е+ 1х+ . + (1т)") = е+ О(1). Л ем м а 2 (ср. с теоремой 4 э 5 гл. 1Ч). Пусть ха — обратимый элемент н [[Ьх!! < [[х,! '!! Тогда х! = хо + и!х — обратимый элтемент, ири этом =(с+ха Ьх) хо — ! -! †! -! Действительно, х!=хо+!1х=хо(е+ха 'Ьх)=хо(е — х) [[х[]=]! хо гаях[[<1 Применив лемму 1, мы находам, что х, ' = (е — х) 'х ', что и требовалось. Следствие 1. Множество обратимых элементов бапаховой алгебры открыто (в нормированной топологии банвховой алгебры). Множество необратимых элементов замкнуто.
Следствие 2. Реэольвеита х(Л) есаь непрерывная «[>ункция ог Л на С '1 и(х), Действительно, в силу следствия нэ леммы 1 х(Ло+ ЬЛ) = (Лае — х -1- ЬЛе) ' = (е -1- !ЛЛх(Ло)) !х(Ла) — ! х(Ло) о»- о Лемм а 3 (ср. с п. 7 2 5 гл. 1Ч). Пусть Л, р б С '»и(х). Тогда а) Влх В„х = В„х Влх; б) Влх — Вгх = (р — Л)В»х ° В!.х (тождестио Гольберга). Доказательство, а) Влх В х = (Ле — х) (ре — х) = [(ре — х)(Ле — х)] = [(Ле — х)(ре — х)] ' = Вих Влх.
б) В силу а) и определения В» и В„нмеел! Влх = (ре — х)Влх Вих, В„х = (Лс — х)Влх ° В„х, откуда Влх — В„х = (ре — Ле)В»х. В„х = (р — Л)Влх . В„х, что и требо- валось. Следствие. Если Ло б С»а(х), то х (Ла) = — ха(Ло). Имеем в силу б) и следствия 2 леммы 2: х (Ло) = 11ьч = — !ьп! х(Л) х(Ло) = — х (Ла) х(Л) — х(Ло) . г л ла Л вЂ” Ло л-!л, Теперь докажем теорему 1. Дополнение. Юанахааы аллабры 536 1'. Пусть /(х) — линейный непрерывный функционал на х, т.е. 1(х) 6 Х .
Положим Р(л) = /(х(Л)) = у(йхх). Имеем в силу следствия из леммы 3 для Ле к о(х): ~'(Л) — Г(ла) 1, (х(Л) — х(ла) ) х-~ха Л вЂ” Ла л-~ла 1 Л вЂ” Ла (*(л) — *(л,) )) Таким образом, доказана анелогичность Е(Л), Далее, при )Л) > ЦхЦ в силу леммы 1 мы получим: 1Г(л)~ (~ ЦДх*Цх(ЛНх = ЦДх Ц(ле — х) 'Ц = = Ц~~~"' ~!( — -*) !/ < ~~ О. 2'. а) Непустота спектра п(х). Пусть о(х) = О. Тогда в силу 1' для всякого элемента / е Х' г(Л) — целая функция, стремящаяся к нулю при /Л/ -+ оо. Значит, Г(Л) гя О, т. е. 1((ле — х) ') = О для любого 1 О Х, а значит, в силу следствия 4 из теоремы Хана-Банаха (и. 3 $ 1 гл.
1Н), (Ле — х) ' = О, чего пе может быть. б) Компактность спектра п(х), Если )Л( > ЦхЦ, то в силу леммы 1 элемент Ле — х = Л(е — И обратим, откуда следует ограниченл) ность о(х), а заодно и неравенство (2). Замкнутость о(х) следует сразу из леммы 2; если Ла регулярно, то окрестность (ЬЛ) < Цх(лаЦ ' состоит из регулярных точек, так как (Ла + Ьл)е — х = Лое — х + Ьл е. Отметим два следствия из теоремы 1, Следствие 1. Банахова алгебра нзл полем С, являющаяся полем, изометрически изоморфпа С. Действительно, пусть Х есп. «банахово поле» и х — произвольный элемент из Х.
Найдем то Л, для которого элемент Ле — х необратим и, значит, есть нуль. Мы получим, что х = Ле. Легко понять, что соответствие х ++ Л есть изоморфизм Х и С Так квк Це)( = 1, то ()х)( = (Л!. Мы получили изометрию Х и С. Следствие 2. Спектр любого нулевого оператора 4 из б(Х,Х) не пуст. Это утверждение без доказательства уже формулировалось ранее (см. гл. ТЧ, Ц б,п. 7) 3. Теорема о спектральном радиусе.
Теорема 2. Имеет место следующая формула для спектрального радиуса; г(х) = 11ш Ях~~". (3) 1 3. Некагпарма аспамагащальпмг разплыпа1пм Действительно, пусть !" — — любой элемент из Х*. В силу теоремы 1 функция Г(Л) = 1(х(Л)) аналитична на С '! о(х). В частности, г'(Л) аналитична в области )Л~ ) !!х!!. В этой области в силу леммы 1 а:(Л) = (Ле — х) ' = — (е — -) 1/ х1 ' ч х п=п откуда причем это разложение, верное вследствие леммы 1 при )Л( ) )Щ, должно иметь место прн !Л! > г(х) в силу теоремы единственности для аналитических функций и, значит, Мы получили, что множество векторов х" /Лп ь' является слабо ограниченным, а значит, оно ограничено сильно.
(Этот результат, называемый иногда принципом равномерной ограниченности, или теоремой БанахаШ1твйнгауз, был доказан в з 3 гл. 1Ч:подробнее об этом см. в монографии (2Ц, гл. П.) Таким образом, существует число с(Л), зависящее ог Л, такое, что откуда !пп /!х"!!~~" < )Л( для всех (Л: (Л) > г(х)), т.е. 1пп !!х"!!'~" < г(х). -~ ап С другой стороны, если Л Е о(х), то Л" Е и(х"), так как элемент Л"е — х", очевидно, делится на Ле — х, В силу теоремы 1, если р Е а(х), то )р! < !)х!!. полагая р = л", полагаем, что из л е а(х) следует, тго )л! ~< Я((х")!: откуда г(х) < !!щ Ях" ((.
Теорема доказана. '3 3. Некоторые вспомогательные результаты В этом коротком параграфе сосредоточен ряд вспомогательных утверждений, при доказательстве иоторых используются стандартные технические приемы. 1. Теорема о фактор-алгебре. Пусть Х вЂ” коммутативная банакова алгебра г единицей, 1 — идеал в Х. Доглолнеииг. Ь«и«хаем «лгебры Отметим, вгьнервых, 'що 1 состоит лишь из необратимых элементов, нбо если г б ! обратим, то для любого х б Х мы получим, чта (хг )г = х б 1, т.е.
! тривналеи, а этот случай мы исхлючаем. Во— 1 вторых, в силу леммы 1 Ц 2 расстояние ат единицы е до любого необратимого элемента, а значит, и до любого идеала, не меньше единипы. Рассмотрим теперь фактор-пространство Х/1 (см. Ц 1 гл. И1) и определим там операцию умножения, назвав произведением двух классов б и г1 из Х/Х тот класс л, который содержит элемент х. у, где х и у — представители классов ! и г1. (Проверьтс, чта результат не изменится, сшги х и у заменить любыми другими представителями тех же классов Х и г), и что введенная операция «умножение» удовлетворяет аксиомам 1-5 Ц 1.) Таким образалг, Х/1 становится коммутативнай алгеброй.
Назовем ее фактор-алгеброй Х по идеалу 1. Введем в Х/1 норму, как и в п. 3 Ц 3 гл. В В ))Ц = ш! Цх + у)), где х — представитель С. Имеет место Те о р ем а 1. Если Х вЂ” есть банахоеа алгебра, а 1- - замкнутый идеал в ней, то фактор-алгебра Х/1 также является банаховой алгеброй с единицей. В п. 3 Ц 3 гл. Н1 было показано, что фактор-пространство баиахова пространства по люболгу его замкнутому надпространству ивляется банаховым пространством. Таким образом, нвм остается лишь проверитхь что выполняются аксиомы б и 7 из п.
1 Ц 1: а) Цбг1Ц = 1пГЦху+гЦ ( ш1 Ц(х+и)(у+о)Ц »( ( лп( Цх+ иЦ )п1 Цу+еЦ = ))ЦЦ Цг1Ц. б) Е=е+Х, т.е. Егже +1=е+1, значит, Е =Е, откуда ЦЬЦ=ЦЕ ))( ( ЦЕЦг. Но элемент Е не эквивалентен нулю, так как окрестность точки е, как мы отметили выше, не содержит необратимых элементов, из которых состоит !. Значит, 1 ( ))Е)). Но, с другой стороны, ))ЕЦ = ш( Це + у)), т.е. ег ЦЕ|) » (1. Итак, ))Е)) = 1. Теорема доказана. 2. Трн леммы. Нам далее понадобятся три леммы: теоретико-множественная, алгебраическая н топологическая.
Лемма 1. Всякий нетривиальный идеал! содержится в максимальном идеале. Доказательство этап леммы основано на лемме Цорна, сформулированной в и. 7 Ц 5 гл. 1. Действительно, пусть,7 — миожесгво всех нетрнвиальных идеалов, содержащих 1. Оно частично упорядочено по вложению: Хг ( Хг, если Хл С !г, Для всякого линейно упорядоченного множества (1 ) из .7 объединение () 1 есть нетривиальный идеал, служащий верхней гранью для (1 ). Значит, в силу лемлгы Цорна 1 подчинен максимальному элементу в,7, т.
е. лгаксилгвльному идеалу. 939 З 4. Освоение л~ееремм Следствие. Если Х ве егть поле, то в нем имеется максимальный идеал. Более того, каждый необратимый элемент, отлн гний ог нуля, содержится в некотором максимальном идеале, Действительно, возьмем любой необратимый элемент хе ф 0 и рассмотрим совокупность хе Х. Это есть, конечна, идеал. Ои содержит хе и ие содержит е — единицы Х, с е.
пе является тривиальным идеалом, следовательно, в силу леммы 1 содержится в максимальном идеале. Лемма 2. Для того чтобы идеал 1 содержался в некотором нетрквяалыгом идеале 1' С Х, необходимо и достаточна, чтобы алгебра Х/1 имела нетривиальный идеал, Д~~~~~~ неабхадвмаст4. Пусть 1с1'сх, 1Ф1', ХФ1'.
Выделим среди классов 1 б Х)1 те б' = х'+1, для которых х' б 1'. Легко проверить, что полу читсн нетривиальный идеал в Х/1. Достаточность получается анвлагпчно. Ле им а 3. Вамыканле петртигллыюго идеала 1 есть нетривиальный идеал. Нетривиазп ность следует из того, что 1 состоит ли~пь из необратимых элементов, остальное следует из непрерывности алгебраических операций. Следствие. Максимальный идеал замкнут. 9 4. Оснанные теоремы В этом параграфе Х вЂ” коммутативная бапахова алгебра с единицей. 1.
Линейные непрерывные мультипликатнвные функпионалзн н максимальные идеалы. Определение. 1. Линейный непрерывный функпнанал г" на банаховой алгебре Х называется мдлыннпликоглиеиьм, если для любых х ву Совокупность всех нетривиальных линейных непрерывных мультиплика- тианых функционалов мы обозначим через А4. Заметим, что линейный непрерывный мультипликативный функционал мы моглп бы определить как непрерывный гам огиорфизм Х в С. Если 7 б М, та (2) !У(х)~ ~ <йхв, Липопнгниг. Бонохоон опгебрн 540 ибо если для некоторого хо,по норме равного единице, 1/(хоИ = Л ) 1, то !/(хо)l = Л" -+ со, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
