А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин - Элементы теории функции и функционального анализа (1134953), страница 88
Текст из файла (страница 88)
Тогда интеграл д(б) = / ((х)е "*е(х = / 1(х)е '"*е "дк оказывается сходящимся для некоторых комплексных а = Л+1р, в частности, он сходится на прямой д = -у. На этой прямой он служит преобразованием Фурье функции 1(х)е т*. Наиболее важный для приложений случай„в котором ваши предположения об интегрируемости функции 1(х)е ' выполнены,— это тот, когда 1 удовлетворяет следующим условиям: )Дх)( < Сетая при я > О, 1(х) = О прн я < О ( ув и С - -. постоянные).
Интеграл д(з) = / 1(х)е "*Их = / 1(х)е о*ах — аа о (2) ((х)ела = 2~- / д(з)е'"* ИЛ, откуда ар+ее у(х) = ~- / д(а)е'а' Ив, в = Л+ це. (3) Поскольку функция у(к)ер* при р < — 7в убывает как экспонента (в силу (1)), ее преобразование Фурье д, а значит, и д(ь)е'**, есть функция, аналитическая в полуплоскости 1п1 в < — ув. существует при всех з = Л+ 1р, таких, что д < -Тб, т.е. в полу- плоскости, ограниченной прямой 1гпа = — ув, и представляет собой преобразование Фурье функции г(х)еяе. Эта последняя может быть получена из д с помощью формулы обращения (мы считаем, что у удовлетворяет условинм, при которых эта формула применима) з б. Преебризоееиие Лапаева 463 Сделаем теперь в форлгулах (2) и (3) замену переменных, положив Р = гз и обозначив у(к) через Ф(р). Получим Ф(Р) = ~ )'( )е "к г)х, (2') о — я-г-гев -итси У(х) = 2) ~ Ф(Р) "*,р = 2т( ~ Ф(Р)е *г(Р.
(3') г)р — и — сев — я — гее Функция Ф опргщелена и аналитична в полуплоскости )сер > 'уо', она называется иреоб)газоеаниам Латьеаса функции у (удовлетворяющей условиям (1)). Преобразование Лапласа по своим свойствам мало отличается от преобразования Фурье. Однако класс функций, для которых определено преобразование Лапласа, существенно отличен от класса Ьг( — оо, оо) функций, для которых существует преобразование Фурье. 2.
Применение преобразования Лапласа к решению дифференциальных уравнений (операторный метод). Преобразование Лапласа можно применить для отыскания решений дифференциальных уравнений. Пусть дано линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами (и) + (и- ) + + еь(Х) (4) и пусть ищется его решение, удовлетворяющее нача.льным условиям у(О) =уо, у'(О) =уг,, у(" г)(0) =у -г (5) Применим к уравнению (4) преобразование Лапласа' ), т.е.
умножим его на е ии и проинтегрируем от 0 до оо. Пусть у (р) = ~ у(х)е нес(х о -- преобразование Лапласа функции у. Интегрируя по частям, мы найдем преобразование Лапласа производной у'. )" у'(х)е я'Нх = у(х)е р*~ +р / у(х)е я*с(х =рт(Р) — уо. о о Применяя эту формулу последовательно, найдем /' у(п)(х)о — Ре,(Х о — Р(Р г (Р) Уи — з Руп — з Р уо) — Уи-г и-1 = Р г (Р) У -г Руп — з ''' Р Уо = Р к (Р) ~~' Р Уе.
к=о г) Нетрудно показать законность его применения к уравнению (4), е«ли )6(к)) растет не слишком быстро. !л. рщ!Ь тлди. тгреоброзооония Фурье Пусть, наконец, 13(р) = / Ь(х)е о*дх. о В итоге преобразование Лапласа переводит дифференциальное уравнение (4) (с учетом начальных условий (б)) в алгебраическое уравнение д(р) + 11(р))'(р) = ~(р) где  — преобразование Лапласа функций Ь, Ч вЂ” многочлен от р степени п — 1, зависящий от коэффициентов уравнения и от начальных данных. Наконец, Л=~ ао ьр, ао — — 1, ь а=а — характеристический многочлен уравнения (4). Из полученного уравнения находим 11(р) — ©и) Л(р) Решение у получается отсюда по формуле обращения (, ) ! ! 1!(р) о (р),ро = 2о! ! 1!(р) Этот интеграл обычно вычисляется с помощью вычетов.
Для решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами известен так называемый операторный м ет од. Он состоит в том, что в таком уравнении р!"! + а!у!" '! + . + аор = Ь(х) левая часть рассматривается как результат применения к неизвест- ной функции у оператора / !Х л» !-1 А~ — ~ = — „+а! +. +ао, ~Ы (6) а решение уравнения — как применение к его правой части уравнения оператора, обратного к оператору (6).
Результат применения такого оператора к некоторым простейшим функциям -- тригонометрическим, показательным, степенным и их комбинациям — нетрудно найти с помощью непосредственных вычислений. Это дает возможность автоматически выписывать решение линейного уравнения с постоянными коэффициентами, если его правая часть представляет собой комбинации таких функций. вбб 7. Преобраэоаанае Фурье- Стилтьееа Ясно, что операторный метод можно истолковать как применение в неявной форме преобразования Лапласа (устанавливающего определенное соответствие леежду алгеброй дифференциальных операторов вида (б) и алгеброй многочленов), что как раз и можно рассматривать как обоснование этого метода, часто фигурирующего в технической литературе в виде некоторого «рецепта».
з 7. Преобразование Фурье-Стилтьеса 1. Определение преобразования Фурье-Стилтьеса. Вернемся снова к преобразованию Фурье в пространстве Ьэ ( — со, ос): д(Л) = (' е ' *1(х)е(х. Эту формулу можно переписать в виде интеграла Римана-Стилтьеса аа д(Л) = / е «"*<Ы(х), где Р(х) = /' У(1)11 (2) — — абсолютно непрерывная функция с ограниченным изменением на всей числовой оси (равным 17 ~ ((х))Ых). Однако равенсгво (1) имеет смысл не только для функций вида (2), но и для любых функций с ограниченным изменением на всей прямой. Интеграл д(Л) = ~ е ' * е(Р(х), где г" — произвольная функция с ограниченным изменением на прямой, мы будем называть преобразованием Фурье — Стилщьеса функции Р. Для преобразования Фурье-Стилтьеса сохраняется ряд свойств, установленных нами ранее для обычного преобразования Фурье, например, следующее: функция д, определенная интегралом (1), непрерывна и ограничена на всей прямой.
Действительно, (д(Лэ) — д(Лз)! < < (' /е '"|е — е ыэа/е~Р(х) + / ~е 'Л1е — е эгхэа ~еИ'(х). -Гэ ~е~>М Гя. ИП. Ряды. Преовреооеоыия Хврье Вгорое слаеаемое справа можно сделать сколь угодно малым (сразу при лн1бых Л1 и Л2), взяв М достаточно большим, а первое при фиксированном Х стремится к нулю при Л1 — Л2 -+ О. Однако не все свойства преобразования Фурье переносятся на преобразование Фурье-Стилтьеса.
Так, оно не стремится, вообще говоря, к нулю при <Л< -> оо. Пусть, например, 0 при х(0, Г(х) = 1 при х>0. Тогда д(Л) = / е ы'ИГ(х) = 1. Аналогично, преобразование Фурье-Стилтьеса функции, равной О при х < хе и 1 при х > хе, есть е "'л, т. е. периодическая функция от Л. Если Г --- функция скачков, для которой точки я=О, х1, х2, служат точками разрыва, а числа ...,а мое,ам ...,аи, ..., ~ )аи<чоо, и — величинами скачков в этих точках, то е ' *е1Г(х) = ~~ о„е '" -ео и есть периодическая функция с периодом 2я.
Если же Г имеет скачки а„в точках х„, образующих произвольную последовательность чисел (вообще говоря, несоизмеримых), то ее преобразование Фурье— ил мее ви Ст тьеса и т д а е аие Функции такого типа относятся к так называемым почта периодическим функциям. 2. Применения нреобразовання Фурье — Стнлтьеса в теории вероятностей. Для суммируемых на ( — оо,со) функций мы ввели в 2 4 понятие свертки: У(х) = (У1 одз)(х) = / д1(х — с)22(ь)Ж. (3) Положим ою я Г(Х) — / д (ь) Г(ь Г2(Х) — / У1 (1) ыь Г2(Х) — / 22(ь) иь. Э 7.
Г!рсобраэоеенис Фурье-Стиятьесе Проинтегрировав равенство (3), перепишем его следующим образом: э' (я) / У()) иь ~ д) ! 13 () 1)У2(ч) Жь = / ( ~ 1)()-О ()~БЯМ= ~ Р;(т-ОдрэЯ (изменение порядка интегрирования здесь возможно в силу теоремы Фубини н абсолютной интегрируемости функции 7). Полученное нами соотношение г(т) = 1 р~(я — ь) э(ь) сопоставляет функциям Г1 и гэ функцию г. Но интеграл, стоящий здесь справа, существует как интеграл Дебета-Стилтьеса но только для абсолютно непрерывных функций, но и для любых двух функций с ограниченным изменениел~ на всей прямой.
Назовем выражение Р(*) = ~ г (я — Опгэ(с), где Е~ и гз -- произвольные функции с ограниченным изменением на прямой, свертком эшит двух функций и обозначим его Г~ э гэ. Покажем, что выражение (4) представляет собой функцию, определенную при всех значениях х и имеющую ограниченное изменение на всей прямой ). Действительно, Рэ — фу.нкция с ограниченным изменением, следовательно, она измерима по Борелю, а потому интеграл (4) существует при всех х.
Далее, Р'(яэ) — г (хэ)) = ~ / (г1(я! С) Рэ(хэ С)) оЕ2(С)) ч < У )Г (я — 6 — К (*э — ~)!д( Р' (4)), откуда УЩ ( У[Е1)УЩ, т.е. Г - —. функция с ограниченным изменением. э) В «инге В. и. гяиеемие «иитеграэ стилтьеса» (Госте«еэяат, 1936) яана элементарная «опстру«ния, поэноляяяяая придать смысл формуле (4) беэ использования меры. Гя. Чпб Ряды. 11реобрвховаии» Фурье Теорема 1. Если Е есть свертка функций с ограниченным изменением Е1 и Уз, а д, д1 н дь — — нх преобразования Фурье— Стилтьеса го д(Л) = д,(Л)дз(Л). Доказательство. Пусть Е = Е1 *Еь и Π— ХО ~ Х1 ° ° ° ~ Хи — и — некоторое разбиение отрезка (а, Ь]. Тогда при каждом Л п 1нп ~~1 е ьххь(Г(хь) — Е(хь 1)) = мах ах*-ье Ь=1 е ь11х' Ы(Е1(хь — С) — Г1 (хь 1 — С))е 1"г ЙЕзя, Ь=1 ь /е ' *ЙГ(х) = а 1пп мах Ьхь-во 1 т.
е. ь ь-г ('е '"*ЙЕ(х) = (е ( / е ' хйЕ1(х))е ььг.е(гз(б). и — оо а-Г Переходя здесь к пределу при а -ь -оо и 6 — ь +ос, получаем / е 1"*еЮ(х) = / е 1«'ь(К(х) /' е 1"Ь11Ез(С), т. е. д(А) = д,(л)д,(л). Теорема о том, что преобразование Фурье-Стилтьеса переводит свертку функций в умножение, широко используется в теории вероятностей (метод характеристических функций). Если с н 11 — две независимые случайные величины, а Е1 н Ез — их функции распределения, то величине с + г1 отвечает функция рас- пределения Упражнения.
1. Доказать, что преобразование Фурье-Ствлтьеса обладает свойством единственности: если функция Е непрерывна слева, а ее преобразование Фурье-Стнлтьеса есть тождественный нуль, то Е(х) = сопза 2. Доказать,что операция свертки функций с ограниченным изменением коммутатнвна и ассоциативна. Необходимость рассматривать суммы независимых случайных слагаемых возникает в теории вероятностей очень часто. Переход от функций распределения к их преобразованиям Фурье-Стилтьеса, — так называемым характеристическим функциям, — позволяет заменить операцию свертки более простой и удобной операцией умножения.
ббз 1 8. Преоброоооонне Фурье обобоЕенннх функций з 8. Преобразование Фурье обобщенных функций Мы уже говорили, что применение преобразования Фурье, понимаемого в обычном смысле, в дифференциальных уравнениях и других вопросах сильно ограничивается тем, что это преобразование определено лишь для функций, абсолютна интегрируемых на всей прямой. Применимость преобразования Фурье можно существенно расширить, введя понятие преобразования Фурье для обобщенных функций. Изложим основные идеи такого построения. 1'ассмотрим снова пространство 5 функций, бесконечно дифференцируемых на всей прямой и убывающих на бесконечности вместе со своими производными быстрее, чем любая степень 1/[х[ (см. З 4, гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
