Ю.С. Очан - Сборник задач по математическому анализу (1134952), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Поэтому для всякой 2) последовательности (х„) точек из Е, сходящейся к х, последовательность чисел () (х»)) фундаментальна и, в силу полноты числовой прямой, имеет предел 1!ш !' (х„). Этот предел не зависит от вы» + бора последовательности точек множества Е, сходящейся к х: если бы для каких-либо двух сходящихся к х последовательностей (х» ) и (х» ) мы имели 1! ш ) (х») М 1! ш !" (х»), то последовательность » +ю» + (х„), где х,», =х», х,» =х», также сходилась бы к х, однако последовательность (7" (х„)) не имела бы предела. Положив теперь р (х) =1!ш1(х„), где (х ) — какая-нибудь » -~- последовательность точек из Е, сходящаяся к точке х, мы получим функцию ч~, определенную на множестве Е.
На множестве Е она совпадает с функцией ~, так как если х ч Е, то можно положить х» = х для всех й. Докажем, что функция «р равномерно непрерывна на Е. Зададим произвольное а > О и возьмем 6 > О такое, что из х, у ч Е, р (х, у) < 6 следует: ! 7 (х) — 7(у)!< —, Пусть х' и х" — произ- 2 вольные точки из Е такие, что р (х', х ) <6 и (х»), (х») какие-нибудь последовательности точек из Е, сходящиеся соответственно к х' и х".
Выберем й столь большим, чтобы выполнялись следующие неравенства: 19В р(х,', х'„) < 6, )~(х„') — <р(х')( < — ', (~(х,') — ~р(х")(< ~ (неравенству р (х„', х") < б можно удовлетворить, если взять х' сК(х', и), х' с$'(х", и), где и= — (б — р(х', х")); действитель- 2 ио, при этом р(х„', х') <р(х', х')+р(х', х")+р(х", х") < 2т)+ + р(х', х") = 6). Тогда получим: ~ ~р (х') — ~р (х") ) < ~ ~р (х') — ~ (хд) ! + ! ) (х') — ~ (х~) ! -(- + ()(х') — ср(х")) < — + — + — е.
4 2 4 Таким образом, для любых точек х', х" из Е таких, что р (х', х") < < б, имеем: )~р (х') — <р (х")~ < а. В силу произвольности числа е > О, это означает, что ~р равномерно непрерывна на Е. Тем более она непрерывна на Е. Условием непрерывности функция ~р определена на Е однозначно. Действительно, пусть ф — какая-либо непрерывная на Е функция, совпадающая с ~ на множестве Е. Тогда для любой точки х с Е и любой последовательности (хэ) точек из Е, сходящейся к х, имеем: ф(х) =!ип ф(х„) =!пп ~(хх) = ~р(х). ь +ю ь + 650. Продолжим сначала функцию ~ с сохранением непрерывности иа замкнутое множество Е, как это сделано в предыдущей задаче. Чтобы продолжить полученную функцию ~р на всю прямую, достаточно продолжить ее линейно на всех смежных интервалах множества Е: если смежный интервал уа, р[ конечен, то для точек х с ]а, р[ полагаем ~у (х) = ~р (а) + — (~р (р) — ср (я)); если же р — сс смежный интервал бесконечен, т.
е. имеет вид ) — со, а[ или ~а, +со[, то на нем можно положить функцию постоянной, Ч~ (х) —= = ~р (а). Построенная таким образом функция ~р определена на всей числовой прямой. Покажем, что она непрерывна во всех точках прямой. Ясно, что ф непрерывна на всех смежных интервалах множества Е. Пусть теперь х с Е.
В силу непрерывности ср на Е, для каждого е > О найдется такое б > О, что при х с 1хэ — б, хь + б [[) Е имеем: ~ ср (х) — ~р (х,)1 < е. Если интервал 3х„х, + 6[ не содержит точек множества Е, то на отрезке [х„х + 63 функция линейна, а потому непрерывна справа в точке х,. Если же интервал Зх„х, + 6[ содержит точки из Е, то положим х, = зцр аахм х,+ 6 [ [) Е).
Так как Е замкнуто, то х, Е Е. Покажем, что )~р(х) — ~р(х,)~ <а для всех х Е3х„, х,[. Если х с Е, то это следует из того, что ахи, х,[ с: )х,— 6, х + 6[. Если же х лежит в каком-нибудь смежном интервале !а, 1)[ множества Е, то ф (х) заключено между числами ф (а) и ф (р) (в силу линейности ф на )а, р[). Атак как !а, К с:Дх„х! [ ~)х, — 6, х, + 6[ и а с Е, рс Е, то ф(хл) — а (ф(а) «р(хл)+е и ф(хл) — е <ф(р) < <ф(х,)+ е. Поэтому и ф(х,) — е <ф(х) (ф(х,) + е, т. е. 1р (х) — ф(х,)! < е.
Следовательно, функция ф непрерывна спра- ва в точке х,. Точно так же доказывается ее непрерывность слева в этой точке. Таким образом, ф (х) непрерывна во всех точках числовой прямой и совпадает с г (х) на множестве Е. 551. П р и и е р. Функция а(п — непрерывна и ограничена 1 л на )О, 1[, однако ее нельзя продолжить с сохранением непрерыв- ности даже на отрезок [О, Ц, так как она не имеет предела при х — ~ +О. 552. Действительно, если бы такая функция Г могла быть про- должена с сохранением непрерывности на всю числовую прямую, то продолженная функция была бы непрерывна на Е. Но Е замк- нуто и ограничено и, следовательно, компактно (см. задачу 330). Поэтому, согласно задаче 540, продолженная функция была бы равномерно непрерывна на Е, а значит, ина Е. Но на Е она сов- падает с г; поэтому г была бы равномерно непрерывна на Е, что противоречит условию.
553. Возьмем такое 6 ) О, чтобы для всевозможных х', х' таких, что 1х' — х'1 < 6, было !!'(х') †г (х')1 < 1; такое 6 най- дется в силу равномерной непрерывности функции г. Пусть х— произвольное число. Разобьем отрезок [О, х) (при х ) 0) или [х 0) (при х < 0) точками ! 2 л — 1 — х, — х ... — х, л л п где л подобрано так, что — ~х! < 6( — (х(. Тогда 1 1 п л — 1 !/(х) — ~ (О) / ( ~ ~ (х) — ~ (": х) ( + ~ ~ (": х) — 1(": х) ~ -1- ... ... + /~ ~ — х) — Г( — х)!+1~( — х) — 1(0)/.
Так как, в силу выбора числа 6, каждая разность в правой части неравенства меньше чем 1, то ! ! (х) — г (ОИ < и, откуда )~(х)~ <17(0)~+и; далее, так как ! !х!) 6, то л — 1 л ( — + 1; поэтому 1х1 )Е(х)!< !Р(О)!.! — ' ! х ! + 1 = =- А !х!+ В, где А = —, В= !1(0) !+ 1. 8' 554. Пусть Š— множество тех непрерывных функций х (1) на 10, Ц, для которых х (0)=1 и 0<»(1) <! при (ЕГО, Ц.
Это множество замкнуто и ограничено в пространстве С 1"О, Ц. Функция 1(х), заданная на 1 этом множестве равенством 1 7(х)=,, непрерывна на Е, Рис, 29 (х(0 и о Вместе с тем оиа не является равномерно непрерывной на Е, так как не существует 6 > 0 такого, что из р (х„х,) < 6 (х, ч Е, х, с Е) вытекает: !~(х,) — 1(х,)! <!. В самом деле, допустим, что такое 6 > 0 существует; не ограничивая общности, можно считать 6 < 0,4.
Беря в качестве х, (1) и хз (1) функции, графики которых даны на рисунке 29, будем иметь: 6 1 ! 2 р(х„хз) = — < 6, но !1(х,) — 1(х)! = 2 88 = — 1~ 1, + 2 2 8 вопреки выбору 6. Итак, 1(х) не является равномерно непрерывной на Е. 555. Для любых х, с С10, Ц, ха с С[0, Ц имеем: !7 (»Д — ) (хз)! = !~», (1) Ж вЂ” ) хз (1) й ! < ! !х (1) — х, (1)!сУ < о о ! < ~ р (хм хз) Ж = р (х„х,), а откуда и следует равномерная непрерывность 1(х) (для любого з > 0 в качестве 6 можно взять 6 = е). 555. Пусть Š— множество всех точек пространства 1„у которых одна из координат равна единице, а все остальные — нулю (т. е. точек вида (О, ..., О, 1, О, ...).
Зто множество ограничено. Зададим на Е функцию 1', положив 1 (х„) = па, где х„— точка из Е, у которой 1 стоит на и-м месте. Зта функция равномерно непрерывна на множестве Е, но не ограничена на нем. 557. Представим Е в виде объединения счетного семейства замкнутык множеств: Е =Е () Е и Е () " и Е () ".' всегда можно считать, что Р, с: Р, с: Р, с: ... (в противном случае мы заменили бы Р, на Р, [) Р„Р, на Р, () Р» [) Р» и т.
д; тогда новая последовательность замкнутых множеств возрастает; объединением же этих множеств по-прежнему является множество Е). Построим теперь на»с! последовательность функций (Я, определенных условиями: 1 — в рациональных точках, принадлежащих множеству Р» ю' 2 — в иррациональных точках множества Р». ю» ) О в точках, не принадлежащих Р».
~»(х) = Функция ~» (х) разрывна во всех точках множества Р» и непрерывна на СР» (действительно, около иаждой точки х, 6 СР» можно описать окрестность У (х,), которая входит в СР», всюду в этой окрестности функция постоянна и, значит, непрерывна). Положим теперь (см. задачу 499). Поэтому, в силу результата задачи 498, имеем: щ у, Ц = !» [у» + Х 6, Б > а у», Е3 — [Х б, Ц > уе» ' »е» ! 2 1~ —— ) О.
10» 9 10» Следовательно, функция ~ (х) разрывна в точке $. Итак, ~ (х) непрерывна всюду на множестве Е и раэрывна всюду на СЕ. 558. Доказательство сводится к непосредственной проверке формул. 202 ~(х) = ~ ~»(х). Этот ряд равномерно сходится на М!, так как )/» (х)( ~( — для !а» всех и и всех х б Я!. В любой точке $ 6 СЕ каждая функция 1» (х) О непрерывна; поэтому из равномерной сходимости ряда ~1 (х) вы»=! текает непрерывность функции ~ (х) в этой точке. Пусть теперь $ 6 Е. В этом случае найдется такой номер й, что $ б Р», но $6 Р», (здесь мы полагаем Р = м().
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
