Ю.С. Очан - Сборник задач по математическому анализу (1134952)
Текст из файла
"'""" ВБНРНИК ЗАИАЧ МАТЕМАТИЧ(СКОМУ АНАНЙЗУ ОБЩАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ФУНКЦИИ ПОЙ РЕДАКЦНЕЙ И. ф. БОКШТЕЙНА опущено инистерством просвещения СССР в качестве учебного пособия для студентов физико-математических Факультетов педагогических институтов МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 1 ББК 22,16 0-94 Рецензенты: кафедра математического анализа МГЗПИ (зав. кафедрой кандидат физико-математических наук Мардконич А. Г.), доктор физико-математических наук, профессор Бавртгн И. И. (МОПИ им. Крупской) Очан Ю. С. 0-94 Сборник задач по математическому анализу: Общая теория множеств и фуг(кпи(п Учеб. пособие для студентов физ.- мат.
фак. пед. ин-тов /Под ред. М. Ф. Бокштейна — М.: Просвещение, 1981.— 271 с. Сборник состоит из двух частей; теория множеств и теория функний. В нем пред. ставлены тексты задач, а также унззания к ич решению и ответы; кроме того, перед каждым разделом приводится необходимый теорстичесний мзтериал. 60602 — 862 Π— 26 — 81 4309020400 103(03) — 81 ф Издательство ПРЕДИСЛОВИЕ Уже давно ощущается настоятельная необходимость появления хорошего сборника задач потеории множеств и функций, предназначенного для наших педагогических институтов.
Длительное время заслуженной популярностью пользовался задачник по теории функций действительной переменной, выпущенный издательством «Просвещение» в 1965 г*. Изменения в программах пединститутов, связанные с прогрессом науки и изменением взгляда на положение теории функций действительной переменной внутри математического анализа, привели к необходимости создании нового задачника, более современного.
Настоящий сборник является результатом предпринятой автором коренной переработки названной выше книги, в которой после его смерти принимали участие его друзья-математики, а также его дочь Н. Ю. Очан. Многие задачи и примеры, помещенные в настоящем пособии, носят учебный характер. Однако наряду с элементарными задачами сборник содержит также ряд задач повышенной трудности; решение таких задач требует от учащегося известной изобретательности и некоторых навыков математического исследования. Эти более труд. ные задачи (или циклы задач, объединенные общей темой) могут служить материалом для спецсеминаров и кружков; их можно предлагать также в качестве тем для курсовых работ.
Несколько слов о построении книги. Ввиду того что в различных учебниках употребляется различная терминология и различные обозначения, перед каждой главой автор дает сводку основных определений и обозначений, а также формулировку тех теорем, которые предполагаются известными и на которые следует опираться при решении задач. Книга разбита на две части. Вся теория множеств, начиная с общей теории (операции над множествами, вопросы взаимно однозначного соответствия и мощности) и кончая теорией меры Лебега, заключена в первой части.
Вторая часть посвящена теории функций, начиная с общих вопросов, связанных с отображениями множеств, и кончая теорией интеграла Лебега в евклидовом пространстве. М, ф. Бокштейн * О ч а н Ю. С. Сборник задач и теорем по теории функций действительного переменного. М., Просвещенно, 196б. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ Глава!. ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ Если а является элещентом множества А (нли а входит в А, принадлежит А), то пишут а Е А, а если а не является элементом множества А, то а Е А (или а т А).
Элементы множества А мы будем иногда называть точками этого множества. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством и обозначается Я. Если все элементы множества А являются также элементами множества В, то говорят, что А включается и В нли А содсржшпся в В; говорят также, что В включает нли содержит А. Это рбозиачают так: А с: В илн В:ь А. Если А~ В и Вс: А, то говорят, что А равно В илн А совпадает с В, пишут; А = В. Если А не равно В, то пишут; А ~ В.
Если А~В, то говорят, что А является подмножеством множества В. Если при этом А = В, то говорят, что А является собственным яодмножесгявом множества В. Действия над множествами Е Обьвдинвнивм множеств А н В называется множество, составленное из тех и только тех элементов, которые входят хотя бы в одно из данных множеств.
Объединение множеств А и В обозначается А В В. Объединением семейства множеств (Аа),А (где индекс а пробегает некоторое непустое множество индексов А) называется множество, составленное из всех элементов, входящих хотя бы в одно нз множеств Аа (а Е А). Объединение семейства множеств (Аа )„,А обозначается О Аа. аЕА 2. Пересечением (нли общей частью) множеств А н В называется множество, составленное нз всех тех элементов, которые входят как в А, так и в В. Пересечеаие множеств А и В обозначается А () В.
Два множества называются непересекающимися, если их пересечение пусто. Лересвчением (илн общей частью) семейства множеств (А )аея называется множество, составленное нз всех элементов, входящих одновременно во все множества Аа(а Е А). Пересечение множеств Аа обозначается П Аа. аЕА )(ля объединения и пересечения справедливы переместительный и сочета. тельный законы: А Ц В = В () А, А П В = В П А; А () (В () С) = (А () В) () С, А П (В П С) = (А () В) П С, Кроме того, справедливы распределительные законы: А П (0Ва) = 0 (А П Ва), А () (ПВа) = П(А () Ва) атА аЕА ася а:А (распределнтельность пересечения относительно объединения и объединения относителыю пересечения). З, Разностью множеств А и В называется множество, элементами ноторого являются те и только те элементы множества А, которые не входят в В.
Разность множеств А и В обозначается А Х, В 4. Симлсвтричвскал разность А Ь В множеств А и В определяется равенством А Ь В = (А Х. В) () (В '~ А). Ясно, чтоА ЛВ=ВЬА. б. Произведением множеств А и В называется множество всевозможных пар (х, у) таких, что х Е А, у Е В. Произведение множеств А и В обозначается АХ В. Если, в частности, А — множество чисел на оси Ох, а  — на оси Оу, то А Х В вЂ” множество всевозможных пар чисел (х, у), где х Е А, у Е В. Так как пару чисел можно рассматривать как точку на плоскости Оху, то А Х В можно считать множеством всех точен (х, у) плоскости Оху таких, что х Е А, у Е В.
По аналогии с произведением двух множеств можно говорить о произведе. нии трех и большего числа множеств. В частности, если А — множество на осн Ох,  — на оси Оу, С вЂ” на оси Ог, то А Х В Х С вЂ” множество всех таких точек (х, у, г) пространства Охуг, что х Е А, у Е В, г Е С. 6. Верхним пределом последовательности множеств Ег, Ег,... называется множество 1пп Е„, определяемое равенством +» + 1ппЕ„= П У Ет.
л=1 т=л Нижним пределом этой последовательности называется множество 1пп Е, оп еделяемое равенством р +сс +с 1ппЕ„= 11 П Е л=! т=л У. Пространство. Если все множества, фигурирующие в некоторой за. даче, являются подмножествами некоторого множества Х, то Х называется лроалралством. Разность Х ч, Е (где Е с: Х) называется дополнением л множеству Е (относительно пространства Х) и обозначается СхЕ или, короче, СЕ: СЕ Х чс Е. 8. Закон двойственности. Для любого семейства множеств (А„) „ каждое из которых является подмножеством пространства Х, справедливы следусощне равенства: С ( () Асс) П САа, С (П Асс) = () САа ° аГА сс:Л аЕА агл В частности, для двух множеств А и В законы двойственности запишутся так! с (А (1 в) = сА П св, с (А П в) = сА () св.
Задачи 1. Доказать равносильность следующих трех соотношений: А с: В, А П В = А, А () В = В (т. е. доказать, что из выполнения любого из них вытекает спра. ведливость остальных двух). 2. Доказать, что А '~ В = А Д СВ. 3. Доказать включения: а) (А Д С) О (В П Р) ~ (А () В) П (С () Р); б) (В 'х С) Х (В ' ч А) с: А ч~ С; в) А 'х С с (А Х; В) () (В "~ С). 4.
Доказать равенства: а) А ~ (В ~ С) = (А '~ В) 0 (А П С); б) (А~В)~С =(А~С)~,(В~С); в) (А ~ В) 0 (В ~, С) 0 (С ~ А) 0 (А П В П С) = А 0 ОВОС; г) (А ~, В) П С = (А П С) ~ (В П С) = (А П С) ~ В' д) (А 0 В) ~ С = (А ~ С) 0 (В ~, С); е) (А П В) ~ С = (А ~ С) П (В ~ С). 5. Вытекает ли из А ", В = С, что А = В 0 С? 6. Вытекает ли из А = В 0 С, что А ~ В = С? 7. Верны ли равенства: а) А '~ (В 0 С) = (А ', В) '~, С; б) А 0 (В ", С) = (А 0 В) ", С; в) (А ~, В) 0 С= (А 0 С) '~ В? Если нет, то в какую сторону имеет место включение? 8.
Доказать равносильность включений А ', В ~ С и АсВ0 С. 9. Доказать, что равенство А ', (В ' С) = (А ~ В) 0 С верно, если А ~ С, и неверно, если С '~, А чь И. 1О. Доказать включение 0А ",0Вьс 0 (Аь",В„). Показать на примере, что в общем случае здесь нет равенства. и +О +ю 11. Доказать, что: а) если В„= 0 Аь то 0 А„= 0 В„; с=! =~ и=~ л + +а б) если С„= П А» то П А, = П Сл и=~ 12.
Доказать, что АЬВ = (А 0 В) ~, (А П В). 13. Пусть А — заданное множество. Доказать, что множество Х пусто тогда и только тогда, когда АЬХ = А. 14. Доказать равенства: а) АЬ(ВЬР) =(АЬВ) ЬР; б) АП П (ВЬР) =(А П В) Ь (А П Р); в) АЬА = Ы. 15. Доказать включения: а) АЬВ с: (АЬС) 0 (ВЬС); б) (А 0 0 В) ЬЕ с= (АЬЕ) 0 (ВЬЕ); в) (А 0 В) Ь (С 0 Р) с: (АЬС) 0 0 (ВЬР).
Показать на примере, что в общем случае здесь нет равенства. 16. Доказать равенства: а) С (А'~В) = СА 0 В; б) С (С (СА 0 0 В) 0 (А 0 СВ)) = В ~, А; в) (А П В) 0 (А П СВ) 0 (СА П ПВ)=А0В. 17. Используя закон двойственности, упростить выражение С (С (Х 0 )') П (СХ 0 СУ)). 18. Доказать, что 1)щ Е„состоит из тех и только тех точек, которые входят во все множества последовательности множеств (Е„), начиная с некоторого номера. Доказать, что!пп Е„состоит нз тех н только тех точек, которые входят в бесконечное число членов зтой последовательности.
19. Доказать, что если последовательность множеств (Е„) монотонно убывает (т. е. Е„~ Е„+х при любом и) или монотонно возрастает (т. е. Е„с: Е +г при любом а), то 1!пг Е„= !гпт Е„. 2(). Доказать, что для любой последовательности множеств имеют место включения П Е„с )пп Е„с !!пт Е„с Ц Е„. Пол ч строить пример такой последовательности множеств, для которой ни один из этих знаков включения не может быть заменен знаком равенства. 21.
Доказать, что для любых множеств Е, Р, 6 справедливы равенства: а) Е х(Р 0 6) =(Е х Р) () (Е х 6); б) (Р () 6) х Е =(Р х Е) () (6 х Е); в) Ех(Р!) 6)=(ЕхР) П(Ех6); г) (РП 6)хЕ=(РхЕ) П(6ХЕ) 22. Справедливы ли равенства: а) (А х В) Г) (С х О) = (А П С) х (В П О); б) (А х В) О (С х О) = (А О С) х (В () О)? 23. Доказать, что (А ", В) х С = (А х С) 'Х (В х С). 24. Доказать, что (Р Х Я) '~, (А Х В) = ((Р Х, А) Х Я) () () (Р х Я~,В)). 25.
Г!усть множества А и С непусты. Доказать, что, для того чтобы Л ~ В, С с: О, необходимо и достаточно, чтобы было А х х С с: В х О. Остается ли в силе это утверждение, если А илн С пусто? 26. Доказать, что если Л с: Р, В с 6, то А х В =(А х ()) Г) (В х Р). Глава В. ВЗАИМНО ОДНОЗНАЧНОЕ СООТВЕТСТВИЕ Если каждому элементу а множества А по некоторому закону поставлен в соответствие один и только один элемент Ь множества В, причем различным элементам множества А отвечают различные элементы множества В, и если при этом соответствий использованы все элементы множества В, то говорят, что между множествами А и В установлено взаимно однозначное соответствие.
Так, например, можно установить взаимно однозначное соответствие между множеством всех рациональных чисел и множеством всех натуральных чисел. Если между некоторым множеством Е и множеством )У всех натуральных чисел установлено взаимно однозначное соответствие, то говорят, что элементы множества Е занумерованы с помощью натуральных чисел. Целью задач настоящей главы является установление взаимно однозначного соответствия между двумя заданными ыножествами (т. е. построение функции, определенной на одном из заданных множеств и взаимно однозначно отображаю- и(ей это множество на другое заданное множество). Среди множеств, с которыми мы будем иметь дело, особенно важными являются числовые множества, т. е. множества, элементами которых являются действительные числа.
Характеристики
Тип файла DJVU
Этот формат был создан для хранения отсканированных страниц книг в большом количестве. DJVU отлично справился с поставленной задачей, но увеличение места на всех устройствах позволили использовать вместо этого формата всё тот же PDF, хоть PDF занимает заметно больше места.
Даже здесь на студизбе мы конвертируем все файлы DJVU в PDF, чтобы Вам не пришлось думать о том, какой программой открыть ту или иную книгу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
