Ю.С. Очан - Сборник задач по математическому анализу (1134952), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Важны следующие примеры числовых множеств (промежутков): !) множество всех действительных чисел (числовая прямая 1 — еч, +гюО; 2) множество всех чисел х, удовлетворяющих неравенству х ) >а (луч (а, +«о~) или неравенству х ) а (луч ]а, +со!); аналогично определяются лучи 1 — чо, а) и ] — ео, а[ (здесь а — заданное число); 3) множество всех чисел х, удовлетворяющих неравенствам а ( х ( Ь, где а и Ь вЂ” заданные числа, причем а ( Ь (замкнутый промежуток, или отрезок [а, Ь]); 4) множество всех чисел х, удовлетворяющих неравенствам а ( х ( Ь (открытый промежуток, или интервал ]а, Ь[); 5) множесмво всех чисел, удовлетворяющих неравенствам а ( х ( Ь или неравенствам а ( х ( Ь (полуоткрголый промежуток [а, Ь[ или ]а, Ь]).
Числовое множество Е называется ограниченным сверху, если существует такое число Ь, что для всех х с Е выполняется неравенство х ( Ь. Число Ь, удовлетворяющее этому условию, называется верхней границей мнржества Е. Наименьшая из верхних границ непустого ограниченного сверху множества называется верхней гранью этого множества. Каждое непустое множество, ограниченное сверху, имеет верхнюю грань, притом единственную. Верхняя грань множества Е обозначается символом зпр Е. Если множество Е не является ог. раниченным сверху, то, по определению, полагают ьир Е = +со.
Числаюе множество Е называется ограниченным снизу, если существует такое число а, что х ) а для всех х с Е. Число а, удовлетворяющее этому условию, называется нижней границей множества. Наибольшая нз нижних границ множества называется нижней гранью множества и обозначается !п1 Е. Каждое иепустое множество, ограниченное снизу, имеет нижнюю грань, притом единственную.
Если множество не ограничено снизу, то полагают, по определению, !п( Е = — со. Числовое множество Е, которое ограничено н сверху, и снизу, называется ограниченным. Верхней и нижней гранями непустого ограниченного множества являются конечные числа (причем !п! Е ~( ьир Е), Примерами ограниченных числовых множеств являются отрезок, интервал, полуоткрытый прпмежуток*. Наряду с чиелоеыми множествами мы будем рассматривать также плоские множества, т. е. множества точек на плоскости. Примеры: 1) множество всех точен плоскости; 2) множество всех тех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют неравенству х'+ у' ( (а' (замкнутый круг) или неравенству хз+ уз ( аз (открытый круг) и т.
д. Кроме того, мы будем иметь дело с лроетранетеенными множествами, т. е. с такими, которые расположены в трехмерном пространстве (например, сфера). В некоторых случаях для установления взаимно однозначного соответствия между числовыми множествами бывает полезно числа, входящие в эти множества, записывать с помощью систематических дробей. Если положительное число а может быть представлено в виде суммы сходящегося ряда: а, пз аз пе а=А+ — + — + — + — +..., Р Р Рэ Рг где р ) 1 — целое положительное число, А — целое неотрицательное число, а п„аз, аг, яе, ...
— целые неотрицательные числа от 0 до р — 1, то говорят, что а разложено в систематическую дробь с основанием р (или в р-ичную дробь). Это записывают следующим образом: а = А, пттпзпе .... А называется целой частью числа а; и„лз, лз, ... — р-ичными знаками числа а. Если все р-ичные знаки пт пвчиная с некоторого номера Ь, равны нулю, то дробь называется конечной, з противном случае — Бесконечной.
При заданном р ) ! всякое положительное числа а может быть представлено в виде-бесконечной р-ичной дроби, причем каждому числу а соответствует * Наряду с верхней и нижней гранями числового множества нередко приходится встречаться с еерхней н нижней гранями функции (одной или нескольких переменных). Если функция 1 (М) определена на множестве Е и принимает числовые значения, то под символом зпр 1 (М) (1п1 !' (М)) подразумевается верхняя меа меа (нижняя) грань множества тех значений функции, которые соответствуют всевозможным значениям независимой переменной М из множества Е.
только одна бесконечная р-ичная дробь и, обратно, каждой бесконечной р-ичиой дроби отвечает единственное положительное число а. Вместе с тем некоторые рациональные числа а (не все() допускают, наряду с разложением в бесконечнуа р-ичную дробь, также разложение в виде конечной р-ичной дроби; например, при р= 1О 63 63 100 — = 0,63000...
(конечиая дробь); — = 0,629999... (бесконечная дробь). 100 Числа, которые могут быть разложены в нонечную р-ичную дробь, называются р-ично рациональными. Все остальные числа называются р-ично иррациональными. Систематическая дробь с основанием р = 1О называется десятичной дробью; с основанием р 2 — двоичной дробью; с основанием р = 3 — троичной дробью и т. д.
Задачи 27. Установить взаимно однозначное соответствие между множеством Ф всех натуральных чисел и множеством 5 всех четных положительных чисел. 28. Установить взаимно-однозначное соответствие между множеством М всех натуральных чисел и множеством Т всех четных чисел. 29. Установить взаимно однозначное соответствие между множеством Я+ всех неотрицательных рациональных чисел и множеством Ф всех натуральных чисел. 30. Существует лн функция вида 1(х) = '+ "" '"+ "" ь +ья+...+ь .'" (где коэффициенты а„..., а„, Ь„..., ܄— целые числа), обладающая следующим свойством: для любого рационального числа г найдется целое число й, такое, что г (Ь) = г? 31.
Найти взаимно однозначное отображение отрезка [О, Ц на отрезок [а, Ь). 32. Найти взаимно однозначное отображение интервала )О, 1[ на всю числовую прямую. 33. Найти взаимно однозначное отображение числовой прямой на интервал )а, Ь[. 34. Найти взаимно однозначное соответствие между промежутком [О, 1[ и лучом [О, +со[. 35. Построить взаимно однозначное отображение отрезка [О, Ц на интервал )О, 1[. 36. Построить взаимно однозначное отображение отрезка [О, Ц на всю числовую прямую.
37. Найти взаимно однозначное соответствие между отрезком [О, Ц и лучом [О, +ос[. 38, Установить взаимно однозначное соответствие между лучом [О, +по[ и интервалом )а, Ь[. 39. Отобразить взаимно однозначно луч [О, +со[ на всю числовую прямую. 40. Существует ли непрерывная функция, взаимно однозначно отображающая отрезок [а; Ь") на всю числовую ось? 41. Существует ли непрерывная функция, взаимно однозначно отображающая отрезок (а, Ь] на интервал ]с, с1(Р 42. Существует ли непрерывная функция, взаимно однозначно отображающая отрезок (а, Ь] на множество, состоящее из двух отрезков (О, Ц и (3, 4]? 43.
Построить взаимно однозначное отображение окружности единичного радиуса на отрезок (О, Ц. 44. Установить взаимно однозначное соответствие между открытым единичным кругом и множеством точек плоскости, являющихся дополнением к замкнутому единичному кругу. П р и м е ч а н и е. Открытым единичным кругом называется множество таких точек М (х, у) плоскости Оху, для которых выполнено неравенство х'+ + уз ( 1; замкнутым единичным кругом — множество точен, для которых выполнено соотношение ха + у' ( !. 45.
Установить взаимно однозначное соответствие между открытым единичным кругом и замкнутым единичным кругом. 46. Найти взаимно однозначное соответствие между замкнутым единичным кругом и дополнением к открытому единичному кругу. 47. Найти взаимно однозначное соответствие между замкнутым единичным кругом и дополнением к нему. 48. Установить взаимно однозначное соответствие между окружностью и прямой. 49. Установить взаимно однозначное соответствие между сферой с одной выколотой точкой и плоскостью.
50. Установить взаимно однозначное соответствие между сферой и плоскостью. 51. Установить взаимно однозначное соответствие между произвольным замкнутым кругом и произвольной замкнутой звездной областью. П р и м е ч а н н е. Плоское множество А называется замкнутой звездной полостью относительно точки О, если на каждом луче, выходящем из точки О, найдется такая точка М, отличная от О, что замкнутый прямолинейный отрезок ОМ включается в А, а остальная часть этого луча не содержит ни одной точки из А. 52.
Установить взаимно однозначное соответствие между множеством всех иррациональных чисел и множеством всех действительных чисел. 53. Установить взаимно однозначное соответствие между: а) точками открытого квадрата ~ — "—, "— 1 ус 1 — "—, — "( и точками 2' 2) 1 2' 2[ открытого прямоугольника ] а, Ь ( х ] с, д (; б) точками открытого квадрата ~ — —, — ~ к 1 — —, — ~ и точками 2' 2~ ! 2 2~ плоскости; в) точками открытого прямоугольника ]а, Ь (х]с, с)( и точками плоскости. 54. Запигпем в виде бесконечной десятичной дроби координаты точки гИ 1х, у) из квадрата ]О, Ц х ]О; Ц: абсцисса к =-О, п,п,п, ..., ордината у = О, лтхтзта ....
Поставим в соответствие каж- дой точке М (О, л,п,л, ..., О, тзтзглз ...) нз квадрата точку Р (О, п,тзпялгяпзтз ...) из пРомежУтка 10, Ц. Все ли точки пРомежУтка )О, Ц получатся при этом соответствии? Будет ли это соответствие взаимно однозначным соответствием между точками квадрата 30, Ц Х )О, Ц н точками промежутка )О, Ц? 55. Установить взаимно однозначное соответствие между множеством всех рациональных чисел отрезка[0, Ц н множеством всех точек с рациональными координатами квадрата [О, Ц х [О, Ц. 56. Установить взаимно однозначное соответствие между множеством всех рациональных точек числовой прямой и множеством тех точек плоскости, у которых обе координаты рациональны.
57. Установить взаимно однозначное соответствие между множеством всех многочленов с рациональными коэффициентами и множеством всех натуральных чисел. 58. Установить взаимно однозначное соответствие между множеством всех конечных подмножеств натурального ряда чисел н множеством всех натуральных чисел. 59. Установить взаимно однозначное соответствие между множеством всех последовательностей натуральных чисел н множеством всех с т р о го в оз р а с т а ю щи х последовательностей натуральных чисел. 60. Установить взаимно однозначное соответствие между множеством всех строго возрастающих последовательностей натуральных чисел и множеством всех тех бесконечных двоичных дробей, которые соответствуют числам промежутка )О, Ц. Глав а!Н.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
