Ю.С. Очан - Сборник задач по математическому анализу (1134952), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Пусть /, — фиксированная непрерывная функция на (О, Ц; доказать, что мйожество Е всех непрерывных функций Г' на [О, Ц, удовлетворяющих неравенству ) (х) < ~, (х) для всех х 0 (О, Ц, замкнуто в пространстве С(0. Ц. 167. Доказать равносильность следующих определений замкнутого множества: а) множество называется замкнутым, если оно включает все свои точки прикосновения; б) множество называется замкнутым, если оно включает все свои предельные точки; в) множество называется замкнутым, если оно включает все свои граничные точки. 168. Доказать, что замыкание Е множества Е есть пересечение всех замкнутых множеств, содержащих Е. 169.
Доказать, что для любого множества Е справедливы включения Е' ~ Е:э ...:э Е'">:» ... 170. Доказать, что если Е замкнуто, то Рг Е = Рг (Рг Е). Для любого же множества Е Рг Е ~ Рг (Рг Е) = Рг (Рг (Рг Е)). 171. Доказать, что всякое замкнутое подпространство Е полного метрического пространства Х есть полное метрическое пространство. 172. Доказать, что незамкнутое подпространетво Е метрического пространства Х не является полным пространством. 173. Пусть Х вЂ” множество всех функций на (а, $3, имеющих непрерывную производную.
Введем в нем метрику р (г, д) = знр !Р(х) — д (х)(. «на. О] Будет ли пространство (Х, р) полным? 174. Является ли совершенным множеством гиперболическая спираль р = — (О < ~? < +со) на плосиости? Является ли совер- 9 шенным множеством замыкание этой спирали? 175. Всегда ли объединение конечного семейства совершенных множеств является совершенным множеством? А объединение счетного семейства совершенных множеств? 176. Доказать, что внутренность любого множества есть открытое множество.
177. Доказать, что внутренность Е' множества Е есть объединение всех открытых множеств, содержащихся в Е. 178. Доказать, что для любого множества А в метрическом пространсгве и любого числа е > 0 множество Е всех тех точек х, для которых имеет место неравенство г( (х, Л) < а, открыто.
179. Пусть 1 — непрерывная функция, определенная всюду на оси Ох. Доказать, что множество Е, тех точек оси Ох, где )'(х) ) а, открыто. 180. Доказать, что множество Е всех непрерывных функций ~ на ~0, Ц, удовлетворяющих для всех х с (О, Ц неравенствам А ( г'(х) ( В (где А <  — заданные числа), является открытым множеством в пространстве С !О, Ц. 181. Пусть Р— фиксированная непрерывная функция на !"О, Ц.
Доказать, что множество всех функций ), удовлетворяющих для всех х с (О, Ц неравенству ! (х) ) Р (х), открыто в С (О, Ц. 182. Построить последовательность открытых множеств, пересечение которых не является открытым. 183. Верно ли утверждение: «Если Š— замкнутое множество, то замыкание внутренности Е совпадает с Е (т. е. Е = Е')»? Если зто утверждение неверно, то имеет ли место одно из включений Е .:э Е', Е ~ Е' и какое именно? 184.
Верно ли утверждение: «Если Š— открытое множество, то внутренность замыкания Е совпадает с Е (т. е. Š— (Е)')»? Если это утверждение неверно, то имеет ли место одно из включений Е ~ (Е)', Е ~ (Е)' и какое именно? 185. Доказать, что для любого множества А имеют место включения: а) (А)' ~ А, б) (А')':э А', но равенства не всегда имеют место. 186. Пусть 1 — непрерывная функция на Са, Ь] и ń— множество тех точек отрезка (а, Ь], где п (1 (х) ( п + 1. Доказать, что множество Е, () Е, () Е, Ц ... () Е,„, () ... замкнуто на числовой прямой. 187.
Пусть 7 — конечный интервал ]а, Ь( на прямой, Е, ~ с Е, с ... — возрастающая последовательность замкнутых множеств, в объединении дающих !. Верно ли, что любое замкнутое множество Р ~ 7 содержится хотя бы в одном из Е„? Если верно— доказать, если нет — построить противоречащий пример. 188. Построить на прямой такое множество Е, что !) все его точки изолированные; 2) нижняя грань расстояний между различными его точками равна нулю; 3) оно не имеет предельных точек на прямой.
189. Доказать, что любое множество Е, все точки которого изолированные, является множеством типа Р,. 190. Пусть !в — множество всех изолированных точек произвольного множества Е. Доказать, что !л есть множество типа Р,. 191. Привести пример несчетного множества, все точки которого изолированные.
192. Пусть Х вЂ” метрическое пространство, 2 — его подпространствои Е ~ 2. а) Доказать, что Е~ = Е Д 2, где Е и Е— замыкания Е соответственно в 2 и в Х. б) Доказать, что, для того чтобы Е было замкнуто в Я, необходимо и достаточно, чтобы суще- ствовало замкнутое в Х множество Р такое, что Е = Р () Я. !93. Пусть Х вЂ” метрическое пространство, 2 — его подпро- странство. Доказать, что, для того чтобы множество Е с: 2 было открыто в 2, необходимо и достаточно, чтобы существовало откры- тое в Х множество О такое, что Е = О () Я. 194.
Пусть Я вЂ” подпространство метрического пространства Х, Е с: 2 и Е замкнуто (или открыто) в Х. Доказать, что Е замкнуто (соответственно открыто) в Я. 195. Пусть Е замкнуто (или открыто) в замкнутом (соответ- ственно открытом) подпространстве 7,метрического пространства Х. Доказать, что Е замкнуто (соответственно открыто) в Х. 190. Пусть Х и У вЂ” метрические пространства, Х м У вЂ” их произведение. Пусть в Х введена метрика, рассмотренная в задаче 146 (или 147).
Доказать, что если Š— замкнутое множество в Х, а Р— замкнутое множество в У, то Е к Р— замкнутое множество вХхУ. 197. Доказать, что если  — замкнутое подмножество метриче- ского пространства Х, то (А' () В)' = (А () В)' для любого А с: Х. 198. Верно ли, что для любой точки к, метрического простран- ства Х и любого множества А с: Х б (х„А) =б (х„А)7 199. Верно ли, что для любой точки х«метрического простран- ства Х и любого множества А с: Х д (х„А) =г((х„А')7 200. Доказать, что для любых двух множеств А и В в метриче- ском пространстве Х имеет место д (А~ В) = 1п( д (х, В) = (п( с( (А, у). мА гав 201. Доказать, что для любых двух множеств А и В в метриче- ском пространстве справедливы равенства г( (А, В) = с( (А, В) = й (А, В) = г((А, В), 202.
Для всяких ли двух множеств А и В в метрическом про- странстве имеет место равенство д (А, В) = Н (А', В ). 203. Доказать, что для любых двух непересекающихся замкну- тых подмножеств Р, и Р, метрического пространства Х существу- ют непересекающиеся открытые множества О, с Х и 6, с Х та- кие, чтоО,зР,,О,:эР,. 204. Доказать, что дополнение ко всякому множеству типа 6 является множеством типа Р„а дополнение ко всякому множеству типа Р' — множеством типа 6 . 205. Всякое замкнутое множество в метрическом пространстве есть множество типа 6, а всякое открытое — типа Р,. Дока- зать это.
206. Доказать, что множество Е всех точен плоскости, у которых обе координаты иррациональны, есть множество типа бв. 207. Пусть (Е„) — последовательность замкнутых множеств. Доказать, что !1ш Е„есть множество типа Р . Сформулировать и доказать аналогичное утверждение для верхнего предела. 208. Доказать, что убывающая последовательность замкнутых множеств Е, » Е, "» ... в полном метрическом пространстве такая, что 1пп б!аш Е„= О, имеет непустое пересечение. а со 209. Верно ли утверждение, что всякая убывающая последовательность замкнутых шаров Е,:» Е,:» ... в любом полном метрическом пространстве имеет непустое пересечение? 210.
Верно ли утверждение, что убывающая последовательность открытых шаров Е, » Е,:» ... в полном метрическом пространстве имеет непустое пересечение, если !!ш д!аш Е„О? и 211. Пусть Е, » Е,:» ... — такая последовательность открытых шаров в полном метрическом пространстве, что а) Иш «Ваш Е„= О; б) Е„+, с: Е„для каждого п. Доказать, что а оэ () Е„непусто.
и 212. Доказать, что любое иепустое открытое множество на прямой представляет собой объединение конечной или счетной совокупности попарно не пересекающихся интервалов (конечных или бесконечных). П р и м е ч э н и е. Тиков представление открытого множества в виде объединения интервалов единственно (эгн интервалы нээывэются составляющими интервалами открытого миожесгвэ иэ прямой, э также смежными инэмрвалами вэмннутого множествэ, служащего дополнением к этому открытому). 213. Доказать: «Для того чтобы замкнутое множество на прямой было совершенным, необходимо и достаточно, чтобы никакие два его смежных интервала не имели общих концов». 214. Доказать, что отрезок Гп, Ь] нельзя представить в виде объединения двух непустых непересекающихся замкнутых множеств. 215.
Доказать, что отрезок (а, Ь] нельзя представить в виде объединения счетной совокупности попарно не пересекающихся не- пустых замкнутых множеств. 216. Доказать, что интервал ]а, Ь(" нельзя представить в виде объединения счетной совокупности попарно не пересекающихся замкнутых множеств. 217. Доказать, что числовая прямая гг' не может быть представлена в виде объединения счетной совокупности попарно не пересекающихся непустых замкнутых множеств.
218. Можно ли представить канторово множество в виде объединения счетной совокупности попарно не пересекающихся непустых замкнутых множеств? 219. На прямой даны отрезок Га, Ь] и совершенное множество Е, причем концы отрезка не принадлежат Е. Доказать, что [а, Ь1 1) [1 Š— совершенное множество. 220. Доказать; «Для того чтобы замкнутое множество Е на прямой было нигде не плотным, достаточно, чтобы любой интервал содержал хотя бы одну точку, не принадлежащую Еж 22!. На прямой даны интервал 1я, р[ и нигде не плотное совершенное множество Е. Доказать, что их пересечение является либо совершенным множеством, либо объединением счетной совокупности попарно не пересекающихся непустых совершенных множеств.
222. На. прямой даны два нигде не плотных совершенных множества Р и 9. Доказать, что Р " Я является либо совершенным множеством, либо объединением счетной совокупности попарно не пересекающихся совершенных множеств. 223. Доказать, что объединение счетной совокупности нигде не плотных совершенных множеств на прямой можно представить в виде объединения счетной совокупности п о п а р н о н е п е р ее е к а ю щи хе я нигде не плотных совершенных множеств. 224. Доказать, что канторово множество Р является нигде не плотным совершенным множеством на прямой. 226.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
