Ю.С. Очан - Сборник задач по математическому анализу (1134952), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Известно, что канторово множество имеет следующую арифметическую структуру: оно состоит из тех и только из тех точек отрезка [О, Ц, которые могут быть записаны в виде троичной дроби, не содержащей единицы в числе своих троичных знаков. Доказать это. 226. Какова арифметическая структура множества точек первого рода (т. е.
концов смежных интервалов) канторова множества? Какова арифметическая структура точек второго рода (т. е. остальных точек канторова множества)? 227. Найти в канторовом множестве какую-либо точку первого рода, заключенную между десятичными дробями 0,1 и 0,2. 228. Найти в канторовом множестве какую-либо точку второго рода, заключенную между десятичными дробями 0,05 и 0,1.
Можно ли выбрать эту точку так, чтобы она была рациональной? 229. Построить непустое совершенное подмножество канторова множества Р, не включающее ни одной его точки первого рода. 230. Существует лн интервал, содержащий хотя бы одну точку первого рода канторова множества О, но пе содержащий ни одной точки второго рода? 231. Доказать, что для любой точки х ч Р (где Р— канторово множество) существует точка у 6 0 такая, что р (х, у) иррационально. 232. Пусть Š— произвольное счетное множество на прямой. Построить непустое совершенное множество на прямой, не содержащее нн одной точки множества Е. 233. Пусть Š— нигде не плотное совершенное множество, а 3««п й«[.
", )ап ~,.[, ... — его смежные интервалы. Построим на каждом интервале )ап (),[ нигде не плотное совершенное множество Е, с:?аь р,[. Доказать, что множество Р =Е () Е, () ... 29 ... () Ег () ... совершенно, нигде не плотно и что все интервалы, на которые распадаются множества Зап р,! к Ег (1 =1, 2, ...), и только они являются смежными интервалами для Р. 234. Доказать, что множество Е на прямой, содержащее более одной точки, не может удовлетворять одновременно трем условиям: а) для любых а 6 Е, р с Е (сс < р) существует у е Е такое, что а < у < (); б) Е замкнуто; в) Е нигде не плотно. Однако существуют непустые множестна на [а, Ь), удовлетворяющие любым двум из этих условий (без третьего). Ллн дальнейшего (задачи 235 — 241) нам понадобятся понятия предельной точки и предельного множества последсеотельности точек метрического пространства.
Предельной щечкой последоеашельности (а„) назыааетсн точка, ивлнющансв пределом какой-либо ее сходящейся подпоследовательностн. Множество всех предельных точек последовательности называется лредельным множестеом этой последовательности. 235. Построить последовательность, предельное множество которой пусто. 236. Доказать, что если предельное множество некоторой числовой последовательности пусто, то последовательность модулей членов этой последовательности сходится к + со.
237. Построить числовую последовательность, для которой предельным множеством служит вся прямая. 238. Доказать, что предельное множество любой последовательности замкнуто, 239. Доказать, что, каково бы ни было замкнутое множество Р на прямой, можно построить числовую последовательность, для которой Р служит предельным множеством. 240. Доказать, что для сходимости числовой последовательности необходимо, а в случае ее ограниченности — и достаточно, чтобы ее предельное множество было одноточечным. 241.
Привести пример расходящейся последовательности, у которой предельное множество состоит всего из одной точки. 242. Пусть Š— множество точек квадрата !О, Ц х (О, Ц, у которых обе координаты иррациональны. Доказать, что существует непустое совершенное подмножество множества Е. 243. Представить замкнутый квадрат в виде объединения континуума нигде не пчотных попарно непересекающихся непустых совершенных множеств на плоскости. 244. Построим на плоскости множество А следующим образом: ! 2 1 разделим квадрат ("О, Ц З4 10, Ц прямыми х = —, х = —, у = —, 3 3 3 у = — на девять одинаковых квадратов и выкинем центральный 11 21,11 2( открытый квадрат (т.
е. квадрат ~ —, — ~ х~ —, — !). Затем каждый )3' 3! 13' 31' из оставшихся восьми замкнутых квадратов делим на девять одинаковых квадратиков и выбрасываем все центральные открытые квадратики; далее продолжаем этот процесс неограниченно. Множество, оставшееся после счетного числа шагов, обозначим А (оно называется «ковром Серпинского»), Доказать, что А — нигде не плотное совершенное множество. 248.
Построим на плоскости множество В следующим образом: разделим замкнутый квадрат [О, Ц х [О, Ц прямыми ! 2 ! 2 х = —, х = —, у = —, у = — на девять 3' 3' 3' 3 одинаковых квадратов. Четыре замкнутых квадрата, примыкающих к вершинам основного квадрата, назовем квадратами первого ранга, а их объединение обозначим В, (на рисунке 1, а множество В, не заштриховано). Затем каждый из квадратов первого ранга разделим на девять одинаковых замкнутых квадратиков, и те из них, которые примыкают к вершинам соответствующего квадрата первого ранга, назовем квадратами второго ранга; объединение всех шестнадцати замкнутых квадратов второго ранга обозначим В, (на рисунке 1, б множество В, не заштриховано).
Далее, делим каждый квадрат второго ранга на девять одинаковых замкнутых б! квадратов и назовем квадратами третьего ранга те из них, которые примыкают к Рис. ! вершинам соответствующих квадратов второго ранга; объединение всех шестидесяти четырех замкнутых квадратов третьего ранга обозначим В, и т. д. Ясно, что В,:» В,:» В»:» ... Общую часть всех В, назовем «кладбии(е»«Серпинского» и обозначим через В: В=ПВ,. « Доказать, что  — нигде не плотное совершенное множество. Исследовать его арифметическую структуру.
246. «!(инторовой гребенкой» называется множество Е на плоскости Оху, состоящее из всех тех точек М(х; у), координаты которых удовлетворяют следующим условиям: х 6 (О, Ц, у с Р, где Р— канторово множество на оси Оу. Доказать, что Š— нигде не плотное совершенное множество, и исследовать его арифметическую структуру. 247. Можно ли множества А («ковер Серпинского»)„В («кладбище Серпинского») и Е («канторову гребенку») выразить через канторово множество с помощью действий дополнения (до отрезка(0, Ц) и произведения? 248. Пусть Π— открытое множество, плотное в метрическом пространстве Х. Доказать, что для любого открытого шара 5, с: с: Х найдется открытый шар 5 такой, что 5 с: 5, Д О.
31 249. Доказать, что пересечение счетной совокупности открытых множеств, плотных в полном пространстве Х, является плотным в Х множеством. 250. Показать на примере, что предыдущее утверждение становится неверным, если пространство Х неполно. 251. Пусть Х вЂ” полное пространство без изолированных точек. Доказать, что пересечение счетной совокупности открытых плотных в Х множеств имеет мощность, не меньшую мощности континуума.
252. Представить отрезок 1"О, Ц в виде объединения двуХ непересекающихся всюду плотных на нем множеств А и В, обладающих тем свойством, что для любых а и 6 таких, что 0 ( и ( р ( 1, пересечения ~а, р[ П А и 1я, р1 П В имеют мощность континуума. 253. Доказать, что непустое совершенное множество Е в полном пространстве Х имеет мощность, не меньшую мощности конти. нуума. 254. Доказать, что пересечение конечной или счетной совокупности множеств типа бю каждое из которых плотно в полном пространстве Х, является множеством типа О, плотным в Х. 255. Привести пример убывающей последовательности 1Е„1 всюду плотных множеств на прямой, имеющей пустое пересечение.
256. Построить счетную совокупность попарно не пересекающихся всюду плотных множеств на прямой. 257. Доказать, что множество всех рациональных чисел на прямой есть множество типа Р„но не является множеством типа 6 . 258. Доказать, что множество всех иррациональных чисел на прямой есть множество типа 6, но не является множеством типа Р, . 259. Пусть Š— счетное всюду плотное множество на прямой; доказать, что оно не является множеством типа 0 . 260. Пусть Š— дополнение к счетному всюду плотному множеству на прямой; доказать, что Е не является множеством типа Р,. 261. Доказать, что множество всех рациональных чисел, расположенных на полуинтервале 1а, р1, не является множеством типа бз. Доказать, что множество всех иррациональных чисел, лежащих на том же полуинтервале, не является множеством типа Р,.
262. Построить пример множества на прямой, не являющегося ни множеством типа Е, ни множеством типа 6ь. 263. Пусть А — нигде ие плотное множество; доказать, что его замыкание также нигде не плотно. 264. Доказать, что дополнение к нигде не плотному множеству всюду плотно. Справедливо ли утверждение, что дополнение к всюду плотному множеству нигде не плотно? 265.
Доказать, что дополнение к о т к р ы т о м у всюду плотному множеству Е нигде не плотно. 32 266. Доказать, что объединение Е конечного числа нигде не плотных множеств в метрическом пространстве Х является нигде не плотным множеством в Х. Сохраняется ли это утверждение в силе для объединения счетной совокупности нигде не плотных множеств? 267.
Доказать, что полное пространство Х не может быть представлено в виде объединения счетной совокупности множеств, нигде не плотных в Х (т. е. что полное пространство есть множество второй категории) (лтеорема Бэра). 268. Показать иа примере, что существуют неполные пространства, являющиеся множествами первой категории. 269. Канторово множество 1? замкнуто на прямой; следовательно, оно является полным пространством. Вместе с тем оно нигде не плотно и, следовательно, является множеством первой категории. Нет ли здесь противоречия с теоремой Бэра (задача 267)? 270.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
