Ю.С. Очан - Сборник задач по математическому анализу (1134952), страница 3
Текст из файла (страница 3)
МОЩНОСТЬ МНОЖЕСТВ Двз множества называются эквивалентными, если между ними можно установить взаимно однозначное соответствие. Если множества А н В эквивалентны, то пишут: А В. Легко видеть, что если А — В,  — С, то А — С. П р н з н з к н эквивалентности мнохсеств (теоремы Кантора — Бернштейне): 1. Если А ~ В с С, причем А — С, та А — В.
Рь Если А эквивалентно подмножеству множества В, з В эквивалентно подмножеству множества А, то А В. Множество Е называется конечным, если оно эквивалентно множеству всех натуральных чисел п, удовлетворяющих неравенствам 1 ( и 4 Дг для некоторого фиксированного натурального числа В. Пустое множество мы твнже причисляем к конечным мяожествзм. Множество, не являющееся конечным, называется бесконечным.
Двз нонечных множестве эквнвзлентны тогда н только тогда, когда онн имеют одинаковое чнсло элементов. Лля бесконечных множеств нельзя говорить о числе элементов множества; количественной характеристикой любого множества, обобщающей понятие числа элементов, является мощность множестве; говорят, что два миоэкества имеют едапакввую мощность, если ани эквивалентны.
Мощность множества А обозначается символом А. Если множества А н В имеют одинаковую мощность (г. е. если онн эквнвзлентны), то пишут: А = В. Если два множества неэквивалентны (т. е. между ними нельзя установить взаимно однозначного соответствия), то пишут: А ~ В или (А,з(, В). Если множество В эквивалентно какому-либо подмножеству множества А, то говорят, что мощность множества В не превосходит мощности множества А. Зто записывают так: В ь, 'А или А ) )В.
Если множества А и В нгзквизалеитны, но множество А эквивалентно неиоторому подмножеству множества В, то говорят, что множество В мощнее, чем множество А. Зто записывают так. 'В > А или А < В. Из теорем Кантора — Бернштейна вытекает, что если А <«В и В ( А, то А ='В. ЕслижеА «(В, ноА (,В,тоА <В. л(ля доказательства эквивалентности множеств А н В можно: либо непосредственно установить взаимно однозначнре соответствие между множествами А и В; либо, если это сделать трудно, установить эквивалентность множества А подмножеству множества В н мнонгества В подмножеству множества А, а затем применить вторую теорему Кантора — Бернштейна.
Если множество А конечно и имеет и элементов, то пишут: Х = л; в частности, если А — пустое множество, то А = О. Множество А, эквивалентное множеству всех натуральных чисел, называется счетным. П р и м е р ы счетных множеств: множество всек целых чисел; множество всех рациональных чисел; мнокество всех полииомов с рациональными коэффициентами; множество всех алгебраических чисел и т. д. Если множество имеет мощность, ббльшую, чем множество натуральных чисел, то оно называется несчетным множептвом. Так, например, отрезок [О, Ц является несчетным множеством.
Всякое множество, эквивалентное отрезку [О, Ц, называется множеством мощности колглинууми или множеством континуальной мощности. Если множество А имеет мощность нонтинуума, то пишут: А = с. Если множество имеет мощность нонтинуума, то иногда для краткости говорят, что оно имеет континуум элементов. П р и м е р ы множеств, имеющих мощности континуума (т, е. ту же мощность, что и отрезок [О, Ц): отрезок [и, Ь] и интервал ]а, Ь[ (при любых а и Ь, где а < Ь); числовая прямая; множество всех бесконечных десятичных дробей; множество всех иррациональных чисел; множество всех точек любого круга; множество всех точек квадрата [О,Ц 1С [О,Ц (и вообще любого прямоугольника); множестзо всех точек плоскости; множество всех точек пространства Охуз; множество всех непрерывных фуниций, заданных на отрезке [О, Ц, и т. д. Если задано некоторое множество Е, то множество э', элементами которого являются все подмножества множества Е, имеет мощность, большую, чем Е:8>Е.
Если Š— конечное множество мощвости л, то в — конечное множество мощности 2". Если Š— бесконечное множество мощности а, то мощность множества Е обозначается 2и. В том случае, когда Е является счетным множеством, э" имеет мощность ионтинуума. Всякое множество, мощность ноторого равна 2' (с — мощность континуума), называется множеством мощности гилерконшинуулга.
П р и и е р ы множеств мощности гиперкинтинуума.' множество всех подмножеств отрезка [О, Ц; множество всех подмножеств числовой прямой; множество всех подмножеств плоскости; множество всех (не только непрерывных) числовых фуннций, заданных на отрезке[0, Ц, и т, д. В заключение отметим неноторые свойства счетных множеспм: 1. Любое подмножество счетного множества либо конечно, либо счетно, 12 й. Всякое бесконечное множество содержит счетное подмножество (говорят: «Счетная мощность является наименыпей из бесконечных мощностей»). 3. Объединение конечной или счетной совокупности счетных множеств есть счетное множество. а.
Если к несчетному множеству Е добавить или нз него вычесть конечное или счетное множество М, то мощность множества Е не изменится: Е 0 И=Е; Е'~,М Е. Задачи 61. Какова мощность множества всех треугольников на плоскости, вершины которых имеют рациональные координаты? 62.
Какова мощность множества всех рациональных функций с целыми коэффициентами в числителе и знаменателе? 63. Доказать, что множество всех окружностей на плоскости, радиусы которых рациональны и координаты центра которых— рациональные числа, счетно. 64. Какова мощность множества всех конечных десятичных дробей? Какова мощность множества всех конечных р-ичных дробей при заданном р > 1? 65. Какова мощность множества всех многочленов, коэффициентами которых служат алгебраические числа? 66. Дано бесконечное множество Е неотрицательных чисел.
Обозначим через з верхнюю грань сумм чисел для любых конечных подмножеств множества Е. Доказать, что если з (+со, то в Е имеется не более счетного множества чисел, отличных от нуля. 67. Доказать, что множество точек разрыва монотонной функции, заданной на отрезке ~а, й~, конечно или счетно. 68. Доказать, что множество точек разрыва монотонной функции, определенной на всей числовой прямой, конечно или.счетно. 69. Пусть Š— какое-либо н е с ч е т н о е множество положительных чисел; доказать, что найдется такое число т > О, что множество Е П |т, +оп[ несчетно. 79. Верно ли утверждение: «Если Š— бесконечное множество чисел, расположенное на луче 10, +сои, то найдется такое число т > О, что множество Е П |т, +со~ бесконечно»? 71.
Пусть Š— счетное множество точек на прямой. Можно ли сдвинуть это мйожество на величину а (т. е. заменить все точки х 6 6 Е точками х + а) так, чтобы получившееся в результате сдвига множество Е, не пересекалось с Е? 72. Пусть Š— счетное множество точек на окружности. Можно ли повернуть окружность вокруг центра на некоторый угол гр так, чтобы множество Е, получившееся из Е в результате поворота, Ф' не пересекалось с Е? 73.
Доказать, что если расстояние между любыми двумя точками множества Е на прямой больше единицы, то множество Е конечно или счетно. 74. На плоскости задано множество Е такое, что расстояние между любыми двумя точками этого множества больше, чем а (где а — данное положительное число). Доказать, что множество Е не более чем счетно (т. е, либо счетно, либо конечно). 75. Доказать с помощью теоремы Кантора — Бернштейна эквивалентность замкнутого круга и открытого круга того же радиуса на плоскости. 76. Доказать с помощью теоремы Кантора — Бернштеина эквивалентность плоскости и замкнутого квадрата на плоскости. 77.
Доказать с помощью теоремы Кантора — Бернштейна эквивалентность квадрата )О, 1) зс )О, 1] и промежутка )О, 1) (использовать результат задачи 54). 78. Доказать, что множество всех конечных подмножеств счетного множества счетно. 79. Какова мощность множества всех строго возрастающих последовательностей натуральных чисел? 80. Какова мощность множества всех последовательностей натуральных чисел? 81. Показать, что множество всех перестановок натурального ряда гт' имеет мощность континуума.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
