Ю.С. Очан - Сборник задач по математическому анализу (1134952), страница 4
Текст из файла (страница 4)
П р н м е ч а н н е. Перестановкой множества называется всякое его взаимно однозначное отображение на себя. 82. Какова мощность множества всех конечных последовательностей действительных чисел? 83. Доказать, что множество Е всех стационарных последовательностей натуральных чисел счетно.
П р и м е ч а н и е. Последовательность (а„) называется сгначионарной, если для нее существует номер яа такой, что а„= ал, для всех я ) оо. 84. Доказать, что множество Е всех стационарных последовательностей действительных чисел имеет мощность континуума. 85. Какова мощность множества всех последовательностей натуральных чисел, не содержащих числа 7? 86. Какова мощность множества всех последовательностей натуральных чисел, содержащих число 7? 87. Какова мощность множества всевозможных последовательностей рациональных чисел? 88. Какова мощность множества всевозможных миогочленов (с произвольными действительными коэффициентами)? 89.
Какова мощность множества всех отрезков на числовой прямой? 90. На прямой задано множество попарно не пересекающихся отрезков. Что можно сказать о мощности этого множества? 91. Какова мощность множества всех кругов на плоскости? 92. На плоскости построено некоторое множество попарно не пересекающихся окружностей. Может ли это множество быть несчетным? 93. На плоскости построено некоторое множество попарно не пересекающихся букв Т (размеры этих букв могут быть и различными).
Может ли множество этих букв быть несчетным? 14 94. На плоскости построено некоторое множество попарно не пересекающихся букв Г. Может лн это множество быть несчетным? 95. Какова мощность множества всех последовательностей действительных чисел? 96. Какова мощность множества всех конечных и счетных подмножеств множества Е, если Е имеет мощность континуума? 97. Доказать, что множество всех числовых функций, определенных на отрезке [и, Ьь имеет мощность гиперконтинуума. 98.
Доказать, что множество всех непрерывных функций на отрезке [а, Ь] имеет мощность континуума. 99. Какова мощность множества всех функций, определенных на отрезке [а, Ь"1 и разрывных хотя бы в одной точке этого отрезка? 100. Какова мощность множества всех строго возрастающих непрерывных функций, заданных на отрезке [а, Ь1? 101. Какова мощность множества всех монотонных функций на отрезке [а, Ь"1 (не только непрерывных)? 102. Какова мощность множества всех функций, определенных на отрезке [а, Ь"1 и представимых в виде предела сходящейся последовательности непрерывных функций? 103.
Доказать, что существуют разрывные функции, определенные на [а, Ь3 и не представимые в виде предела сходящейся последовательности непрерывных. 104. Какова мощность множества всех действительных чисел, заключенных между О и 1, в разложении которых в бесконечную десятичную дробь отсутствует цифра 7? 105. Какова мощность множества всех действительных чисел, эаключенных между О и 1, в разложении которых в бесконечную десятичную дробь цифра 7 находится на третьем месте? 106. Какова мощность множества всех действительных чисел, заключенных между О и 1, в разложении которых в бесконечную десятичную дробь имеется цифра 7? 107.
Какова мощность множества всех чисел, заключенных между 0 и 1, в разложении которых в бесконечную троичную дробь отсутствует цифра 1? 108. Пусть А и  — эквивалентные бесконечные множества. Существует ли подмножество множества А, отличное от А, эквивалетное В? 109. Доказать, что если А ~, В В ~, А, то А В. 110. Доказать, что если А ~ В и А А [1 С, то  — В [1 С. 111. Верно или нет утверждение: «Если А С,  — О, причем А:» В, С:» О, то А '  — С ', 0»? 112. Пусть А ~ С, В ~ 1?, С [1  — С. Доказать, что А 11 Е>-А.
113. Верно ли утверждение: «Если А — В, С:» А, С:» В, то С',А С' В»? 114. Верно ли утверждение: «Если А В, А ~ С, В:» С, то А '~, С В ~, С»? 115. Доказать, что множество всевозможных равномерносходящихся на (а, Ь") последовательностей непрерывных функций имеет мощность континуума. 116. Какова мощность множества всевозможных последовательностей непрерывных функций (на отрезке (а, (»))? 117. Доказать следующее утверждение: «Если множество Е на плоскости несчетно, то найдется такой круг с центром в начале координат, который содержит несчетное множество точек из Е». Глава!У.
МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА Говорят, что множество Х снабжено метрикой, если каждой паре его элементов х, у поставлено в соответствие неотрицательное число р (х, у) («расстояние между х и уэ), удовлетворяющее следующим аксиомам («аксиомы метрикиэ): 1) р (х, у) = О тогда и только тогда, когда х = у («аксиома тождестваэ), 2) р (х, у) = р (у, х) для любых х с Х, у Е Х. («аксиома симметрии»), 3) р (х, у) ~ р (х, г) + р (г, у) для любых х, у, г Е Х («аксиома треугольникаэ). Множество Х с введенной в нем метрикой р называется метрическим лространгимом н обозначается (Х, р).
При этом множество Х называют носителем метрического пространства (Х, р). Метрическое пространство (Х, р) мы часто будем обозначать той же буквой, что и его носитель (т. е. только Х, опуская букву р), если по смыслу ясно, какая метрика введена в Х. П р и м е р ы метрических пространств: 1. Числовая прямая, где в качестве расстояния принято р (х, у) = (х — у 1. 2. Евклидова л-мерное пространство Ян, носителем которого является множество всевозможных упорядоченных наборов из л чисел (этн наборы называют также «кортгжами длина л» или «точкаии л-мгрного лространснма»), а расстояние вводится по формуле / п р(х, у) = ~?г ~~~~ ~)«)1 — Ь;)э, »=1 где х — набор л чисел (а,, ..., ан), а у — набор л чисел (Ь,, ..., Ьн).
Числовая прямая является частным случаем евклидова пространства (прн л= 1). 3. Пространство С(а, Ь), носителем которого является множество всех непрерывных функций на отрезке (а, Ь), а метрика вводится по формуле р(х, у) = шах )Т(х) — д(х) (, хна, э) где 1 и и — непрерывные функции на (а, Ь). Зля того чтобы проверить, что то или иное множество с введенным в нем расстоянием р (х, >) является метрическим пространством, надо убедиться в том, что р (х, >) удовлетворяет всем трем аксиомам метрики. В частности, для того чтобы доказать, что Лн является метрическим пространством, используется неравенство Коши — Буняковского, которое заключается в том, что для любых кортежей (аы -' ан) и (()», ..., ()н) длины л имеет место соотношение ~чр„аг()» к ~ч~~~ ая ° 16 Если р — метрика на множестве Х, то сужение р на каждое множество Е ~ Х также есть метрика (будем обозначать ее той же буквой р).
Метрическое пространство (Е, р) называется лодлространством метрического пространства (Х, р). П р и м е р. Множество рациональных чисел с метрикой р (х, у) = (к — у) являетси подпространством числовой прямой. Последовательности в метрическом пространстве.
Полные простэаистеа. Говорят, что последовательность хт, хв, ..., к„, ... (короче: (хн) ) элементов метрического пространства Х сходится к элементу Ь Е Х, если для любого числа е > 0 существует такой номер Д!, что для всех номеров л > в! выполняется неравенство р (кв, Ь) ( з. Если последовательность (х„) сходится к Ь, то Ь называется пределом этой последовательности; пишут: Ь = )пп х„. Л + Последовательность (х„) элементов пространвтва Х называется фундаментальной, если для любого е > 0 существует такой номер М, что р (х„, хт) (е для всех л>Л', т >Ф. Всякая сходящаяся последовательность фундаментальна; однако обратное верно не во всяком пространстве.
Пространство Х называется полним, если всякая фундаментальная после. довательность его элементов сходится (к элементу этого пространства). П р и м е р ы полных пространств: числовая прямая, евклидова пространство, пространство С [а, Ь]. П р и м е р неполного пространства — множество всех рациональных чисел (с обычным расстоянием). Изометрии и гомеоморфиэм. Метрические пространства (Х, рх) и (У, ру ) называют иэомвтричнмми, если между их носателями существует взаимно однозначное соответствие у = г'(х) (х Е Х, у Е )г) такое, что для любых хт Е Х, хв Е Х имеет место р„ (х„ х,) рк (7 (хт), ( (х,)).
Метрические пространства (Х, р ) и (г', рг) называют гомеоморфнмми, если между нх носителями существует взаимно однозначное соответствие у = ! (х) (к Е Х, у Е )'), сохраняющее сходкмость (т. е. из того, что р (к„, а) -ь О, следует, что ру () (х„), ((а)) — 0 и обратно), Изометричные пространства гомеоморфны. Однако обратное неверно; например, интервалы ]О! [, ]02[и луч ]О, +ее[ (рассматриваемые как надпространства числовой прямой) гомеоморфны, ио не изометричны.
Если пространство (Х, рх) изометрично некоторому надпространству пространства (У, ру), то говорят, что (Х, рх) изометрично вкладывается в ()', ру). Навример, я'и изометричио вкладывается ц мв при т ( л. Пусть в одном и том же множестве Х введены две метрики: рт и рв.
Если для любой последовательности (к„) из рт (х„, а) -ь 0 следует, что рв (хв, а) -ь 0 и обратно, то говорят, что метрики рт и р, эквивалентна. Ясно, что если метрики р„и рв экнивалентны, то пространства (Х, рй и (Х, рз) гомеоморфны. Задачи 118. Является ли метрическим пространством множество всех действительных чисел, если под расстоянием между х и у понимать ззпя (х у)р 119. Показать, что р, (х, у) = агс(д )х — у(является метрикой в множестве всех чисел.
Эквивалентна ли она метрике р (х, у) = =( х — у!й Является ли полным пространством числовая прямая с метрикой рьр 120. Будет ли метрическим пространством множество всех действительных чисел, если расстояние между х и у определить так: р (х, у) =) (х — у!? 121. Пусть Х вЂ” множество всех пар чисел (а, Ь).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
