Ю.С. Очан - Сборник задач по математическому анализу (1134952), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Доказать, что всякое метрическое пространство, имеющее хотя бы одну изолированную точку, является множеством второй категории. 271. Привести пример неполного пространства без изолированных точек, являющегося множеством второй категории. 272. Доказать, что в полном пространстве дополнение к множеству первой категории есть множество второй категории. 273.
Какой категории на плоскости является множество Е всех точек, обе координаты которых иррациональны? Какой категории его дополнение? 274. Доказать, что множество Он всех точек второй категории для Е замкнуто и содержится в Е'. П р и и е ч а н и е. гочка ке метрического пространства Х называется точкой второй категории для множества Е ~ Х, если для любой окрестности У (ле) множество У (ле) Я Е есть множество второй категории. 276. Доказать, что если Š— нигде не плотное (или всюду плотное) множество на прямой, то множество Е, всех точек вида х + а, где а — фиксированное число, а х и робегаег Е, также нигде не плотно (или всюду плотно) на прямой. 276.
Пусть Š— всюду плотное открытое множество на прямой Доказать, что любая точка а 6 тчч' представима в виде а=х,+х„где х,6Е, х, сЕ. 277. Пусть Š— всюду плотное множество на прямой н А— какое-либо его конечное подмножество. Доказать, что Е ', А всюду плотно на прямой. 278. Построить на прямой счетную совокупность всюду плотных попарно не пересекающихся несчетных множеств (Е,), 279.
В этой и двух следующих задачах Х и У вЂ” метринеские пространства, Х х )' — их произведение с метрикой, введенной в задаче !46. Пусть Š— нигде не плотное множество в Х, Р— произвольное множество в У. Доказать, что Е к Р нигде не плотно в Хлу, 280. Пусть Е и Р— замкнутые множества соответственно в Х 33 и У, причем одно из них совершенное.
Доказать, что Е х Р— совершенное множество в Х Х У. 281. Пусть Š— множество, плотное в Х, Р— множество, плотное в У. Доказать, что Е Х Р плотно в Х х У. Р2 282. Найти замыкание множества всех точек вида —, где р и чй д — всевозможные целые числа, причем д ~ О. Р 283. Найти замыкание множества всех точек вида 2х, где р и д — всевозможные натуральные числа. 284. Найти замыкание множества всех точек вида 4р~+ Чз где р й Ч вЂ” всевозможные целые числа, отличные от нуля. 285.
Пусть ~ — иррациональное число. Доказать, что множество всех чисел вида т + п~, где и и п — всевозможные целые числа, плотно на прямой. 286. Пусть Ь вЂ” иррациональное число. Является ли множество всех чисел вида т + п1„где т и и — всевозможные ч е т н ы е числа, плотным на прямой? 287. Доказать, что множество М точек, расположенных на единичной окружности Г с центром в начале координат и имеющих полярные углы 1, 2, ..., п, ... радиан, плотно на Г.
288. Доказать, что множество всех точек (т, у) с рациональными координатами плотно на плоскости. 289. Построим множество Е на отрезке 10, Ц следующим образом: зададим произвольную последовательность положительных чисел 1а„), образующую сходящийся ряд, сумма которого меньше!. Исключим из10, Ц интервал длины а, с центром в середине отрезка; далее, из оставшихся двух отрезков удалим интервалы длины — ' 2 с центрами в серединах этих отрезков; затем из оставшихся четырех отрезков удалим интервалы длины — ' с центрами в серединах этих 2' отрезков, и т.
д.; множество, оставшееся после счетного числа шагов, обозначим Е. Доказать, что оно нигде не плотно на 1"О, Ц и совершенно. 290. Доказать, что множество Е точек отрезка 10, Ц, десятичное разложение которых возможно без цифр 4 и 5, является нигде не плотным совершенным множеством. 291. Замкнуто ли множество Е тех иррациональных чисел отрезка [О, Ц, в десятичном разложении которых отсутствует циф.
ра 5? Если нет, то что представляет собой его замыкание? Содержит ли это множество изолированные точки? Является ли оно нигде не плотным? 292. Построить счетное подмножество канторова множества О, плотное в О. 293. Доказать, что любое замкнутое множество Е на прямой обладает конечным или счетным подмножеством Е таким что Е =Р.
34 гьля решения некоторых нз последующих задач нам понадобится следующая аяирохсимациоячая теорема Вейерьитраса: Т е о р е м а. Если функция ( (х) непрерывна на отрезке (а, Ь)„то для любого е > О сущесвтует такой многочлен Р (х), что для всех х Е (а, Ь) справедливо неравенство 11 (х) — Р (х) 1 < е. 294. Доказать, что множество всех многочленов.плотно в-пространстве С (О, Ц. 295.
Доказать, что множество всех многочленов с рациональными коэффициентами плотно в С (О, Ц. 296. Пусть ( (х) — четная (нечетная) непрерывная функция на отрезке ( — 1, Ц. Доказать, что для любого е > 0 существует многочлен Р (х), содержащий лишь четные (нечетные) степени х, такой, что 1( (х) — Р (х)( < е для всех х Е ( — 1, Ц.
297. Доказать, что для любой функции (' (х), непрерывной на всей оси Ох, существует последовательность многочленов, сходящаяся к ) (х) в каждой точке х Е Ох. 298. Доказать, что если для функции ( (х), определенной на всей оси Ох, существует последовательность многочленов, равномерно на Ох сходящаяся к Г (х), то Г (х) — многочлен. 299. Привести пример последовательности множеств (Е„), каждое из которых плотно в С(0, Ц, а их пересечение пусто.
Могут ли все Е„быть открытыми в С(0, Ц? 300. Доказать, что множество Е всех многочленов степени не выше у, где йг — фиксированное натуральное число, нигде не плотно в С(0, Ц. 301. Доказать, что множество Е всех числовых последовательностей (х„х„...), у которых лишь конечное число членов отлично от нуля, плотно в пространстве 1,. 302. Доказать, что множество Е всех числовых последовательностей (х„х„..., х„, ...), у которых х„= 0 для всех и > У (где й(— фиксированное натуральное число), нигде не плотно в 1,.
Глава эг'1. КОМПАКТНОСТЬ, СЕПАРАБЕЛЬНОСТЬ, СВЯЗНОСТЬ Компактные множества. Пусть Х вЂ” метрическое пространство, Е ~ Х. Если из каждой последовательности (х„), все элементы которой принадлежат Е, можно выделить сходящуюся в Х подпоследовательность (х„), то множество Е называется относительно комиоктяым. Если из каждой последовательности (х„), все элементы которой принадлежат Е, можно выделить подпоследовательность (х„), сходящуюся к точке из Е, то множество называется компактным (или компактом). Ясно, что любое компактное множество Е относительно компактно, но не наоборот. Для того чтобы множество Е в метрическом пространстве.Х было компактным, необходимо и достаточно, чтобы оно было относительно компактным и замкнутым (задача 304).
Множество Е в метрическом пространстве называется ограниченным, если его диаметр есть коиечное число: сиаш Е <+ со. 35 Всякое относительно номпактное множество в метрическом пространстве ограничено, всякое компактное — ограничено и замкнуто (задача 303); обратные утверждения, вообще говоря, неверны (задача 309). Те о р е и а К а н то р а. Пусть Аг, Аз, ... — нелустыекомлактные множества в метрическом пространстве Х, причем А, ~ Ав:> ...
Тогда пересечение ПА„непусто. Если, кроме того,!пп д)аш Ая — — О, то ПАя состоит из единстк я л венной точки (задача 317). укажем один критерий относительной номпактности множества в метрическом пространстве. Предварительно дадим нескольно определений. Пусть е л 0; множество М называется в-сетью для множества Е, если для каждой точки х 5 Е существует точка у с М такая, что р (х, у) < е. Множество Е называется влолнг ограниченным, если для него при любом в > 0 существует конечная г-сеть. Т е о р е м а Х а у с д о р ф а. Для тсео чтобы множество Е в метрическом пространстве Х было относительно компактным, необходимо, а в случае, если Х вЂ” полное пространство, то и достаточно, чтобы Е было вполне ограниченным (задача 325).
Из теоремы Хаусдорфа вытекают важные признаки относительной компактности и компактности множества в евклидовом пространстве. Теорема Больцано — Вейерштрасса. ЕслимножествоЕв евклидовом пространстве (2Я ограничено, то оно относительно компактно, а если Е с- )(л ограничено и замкнуто, то оно компактно (задачн 329, 330). С л ел с т в и е 1. Всякая ограниченная тюледовалюльность точек евкли.
дава пространства имеет входящуюся лодлоследовательность. С л е д с т а и е 2. У всякого бесконечного ограниченного множества Е в евклидовом пространстве существует хотя бы одна предельная точка (не обязательно принадлежащая Е). Пусть Š— какое-либо множество в метрическом пространстве Х. Семейство открытых множеств (б, ) (а 5 А) называется открытым покрытием множества Е, если [) б ':з Е. аея Открытое покрытие множества Е называется конечным, если оно состоит из конечного числа множеств.
Множество Е называется бикомпактным (или бикомлактом), если из любого открытого покрытия (б„) множества Е можно выделить конечное понрытие итого множества (т. е. отбросить все множества из покрытия (б„), кроме конечного их числа, тан, чтобы оставшиеся множества также покрывали множество Е). П р и м е р ы. Любое конечное множество бикомпактно. Множество ( ---'--' 1 1 1 1, —, —, ..., —, ..., 0) бикомпактно в Ф. 2' 3' ' л' Т е о р е м а. Для того чтобы мнолссслюо Е в метрическом пространстве было бикомлактным, необходимо и достаточно, чтобы оно было компактным (задача 335).
С л е д с т в и е. Если множество Е в евклидовом пространстве Як замкнулю и огранимно, то из любого его открытого покрытия можно выделить конечное покрытие. Сепарабельносты Счетный базис. Метрическое пространство Х называется селарабельным, если существует не более чем счетное множество Е с= Х, плотное в Х*.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
