Ю.С. Очан - Сборник задач по математическому анализу (1134952), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Для любых двух его элементов х (а„Ь,), у (а„Ь,) положим: р, (х, у) = юах (!а, — а,1, ! Ь, — Ь,!); р,(х,у) = !а,— а,!+ !Ь,— Ь,(; р, (х, у) =)Г)а, — а,!'+ ! Ь, — Ь,!' (евклидова метрика). Доказать, что р, и р, удовлетворяют аксиомам метрики н что все три метрики р,, рм рз эквивалентны.
доказать полноту пространств (Х, р,), (Х, рз) (Х Рз). 122. Пусть Х вЂ” множество всех точек окружности С; примем в качестве расстояния между точками х 6 Х, у с Х длину кратчайшей дуги окружности С, соединяющей х и у. Удовлетворяет ли это расстояние аксиомам метрини? 123.
Пусть Х вЂ” множество всех прямых на плоскости, не проходящих через начало координат. Определим расстояние между двумя прямыми 1,: х сова, + у з!п а, — р, = О, 1,: х соз а, + у яп а, — р, = 0 (где О(а, <2п, 0(а, <2п, р, )О, р, >0) формулами; а) р,(1„1,) =):(р, — р,)'+ (яп а,— яп а,)'+ (соз и, — соз а,)', б) р, (1„1,) = ! р, — р, ! + ! з!п а,— яп и,! + ! соз а, — соз а,(; в) рз (1„1,) = ! р, — р, ! + ! яп а, — яп а,!. Являются ли р,, р,, р, метриками? Если (Х, р,), или (Х, р,), или (Х, р,) — метрическое пространство, то полно ли оно? 124.
Будет лн метрическим пространством семейство всех не- пустых подмножеств метрического пространства Х, если расстояние между множествами Е ~ Х и Р с: Х определить равенством р (Е, Р) = !п1 р (х, у)? х-е у'г !25. Пусть Х вЂ” произвольное непустое множество. Введем в нем следующую метрику: р (х, у) = 1 прн хе' у; р (х, у) = 0 при х = у. Будет ли пространство (Х, р) полным? 126. Доказать, что множество всех числовых последовательно+ стей х (а,, а„...), таких, что ряд ~ (а, ! сходится, образует метри1=1 ческое пространство (оно обозначается 1,), если за расстояние между х (а,, ам ...) и у (Ь,, Ь„...) принять число + р(х, у) = ~~.", !Ь, — а, ~.
ю=! 127. Пустьх„(х„„..., х,ц, ...) (и = 1,2„...) и а (а„..., ап ".)— элементы пространства 1„и а,. = !1щ х„, для любого натурального ~'. с + Следует ли из этого, что р (х„, а) -эО? !в 128. Доказать полноту пространства 1х (см. задачу 126). 129. Доказать, что множество М (Е) всех ограниченных функций на множестве Е образует метрическое пространство, явдат за расстояние между функциями !р и тр принять число р (р, ф) = знр! р (() — ф (1И.
ген Доказать полноту этого пространства. 3 а м е ч а н и е. Частным случаем пространства М (Е) — когда и есть натуральный ряд — является пространство т всех ограниченных числовых последовательностей, в котором за расстоннне между х (ат, аз, ...) и у (Ьх, Ьа, ...) принято число р (х, у) = зпр ) Ь! — а; !.
! 130. Доказать полноту пространства С [а, Ь1. 131. Доказать, что множество всех числовых последователь+ ностей к (а„а„...), для которых ряд ~ а; сходится, является метриг=! ческнм пространством (оно обозначается 1,), если за расстояние между х (а„а„...) и у (Ь„Ь„...) принять гг+- р(х, у) = ~l ~ (Ь,— а!)з. г=! Доказать, что пространство 1, полно. 132. Доказать, что множество всех непрерывных функций на [а, Ь) образует метрическое пространство (обозначим его С' [а, Ь)), если за расстояние между гр (х) и тр (х) принять число ь р (гр, зу) = ) ~ гр (х) — зр (х) !с(х. О Эквивалентны ли метрики пространств С [а, Ь) и С' [а, Ь)? 133. Является ли метрическим пространством множество всех непрерывных функций на [а, Ь), если за расстояние между ср (х) и ф (х) принять число .г р(!р, Ф) =- ~г' )'(гр(х) — ф(х))здх? а У к а з а н и е.
Предварительно вывести неравенство Коши— Буняковского для интегралов: ь /ь ь ) юр (х) ф (х) с(х ( 1!' ) (гр (х))з !(х . [ (ф (х) )з !(х; а а а его можно получить предельным переходом из неравенства Коши— Буняковского для конечных сумм (см. введение к этой главе), если принять сс! = <р (х;) )' Лх;, ()! = ф (х;) р'Лх;. 134. Доказать, что множество Р [а, Ь) всех пар непрерывных функций на [а, Ь) является метрическим пространством, если за рас- !9 стояние между парами (Л, д,) и (~„дх) принять число р(((ь д), (~з, дх)) = зпр([1,(х) — 1,(х) [+(й, (х) — йх(х) )).
х:[а. Х[ Доказать полноту этого пространства. 135. Доказать неполноту пространства С' [а, Ь"[ (см. задачу 132). 136. Доказать неполноту пространства, рассмотренного в задаче 133. 137. Доказать, что подпространство Е пространства С Га, Ь"[, составленное из всех непрерывных функций ), удовлетворяющих условию А ( 1(х) ( В для всех х 6[а, Ь[ (где А и  — заданные числа), является полным пространством. 138. Пусть Р и б — фиксированные непрерывные функции на [а, Ь), такие, что Р (х) ( 6 (х) всюду на ~а, Ь].
Доказать, что подпространство пространства С (а, Ь1, состоящее из всех непрерывных функций ) таких, что Р (х) (~(х) (0(х), полно. 139. Пусть р, и р, — эквивалентные метрики на множестве Х. Следует ли из полноты пространства (Х, р,) полнота пространства (х, р,)? 140. Доказать, что для эквивалентности метрик р, и р, на множестве Е достаточно, чтобы существовали такие два числа А ) О и В ) О, что для любых х 6 Е, у Е Е выполняются неравенства Ар, (х, у) ( р, (х, у) ~( Вр, (х, у). Показать, что это условие не является необходимым для эквивалентности метрик р, и р,. 141.
Пусть С, — множество всех непрерывных функций на (а, Ь1, имеющих непрерывную производную (под производной в точке а или в точке Ь подразумевается соответствующая односторонняя производная). Введем в С две различных метрики: рх (1, к) = зцр ~ 1 (х) — к (хи + зпр ~ [' (х) — к' (хи; х:[а, Ы хиа. Ь1 р, К д) = зцр ([Г" (х) — й (х) ~ + [1' (х) — д' (х) [). хна, а1 Доказать, что эти метрики эквивалентны. Доказать полноту пространств (С„р,) и (С,, р,). 142.
Пусть каждой паре Элементов (х, у) множества Х поставлено в соответствие неотрицательное число р (х, у), удовлетворяющее всем аксиомам метрики, кроме первой, которая выполняется в следующем ослабленном виде: если х =у, то р(х, у) =О. Назовем классом, содержащим ка (где ха 6 Х) множество всех х 6 Х таких, что р (х, ха) = О. Ясно, что классы попарно не пересекаются и их объединением является все множество Х. Доказать, что множество всех классов образует метрическое пространство, если под расстоянием между двумя классами А и В подразумевать р (а, Ь), где а 6 А, Ь 6 В.
143. Будет ли метрическим пространством(Х, р), где Х вЂ” множество всех функций с непрерывной производной на са, ЬД, а Р(7, й) = = зпр [[' (х) — й' (х)[? хна, Ы 20 Произвести разбиение множества Х на классы так, чтобы множе- ство классов стало метрическим пространством. 144. Пусть Х вЂ” множество всех последовательностей непре- рывных на [и, Ь3 функций („)„..., )т ...
со сходящимся рядом + зпр )Г„(х)!. Доказать, что (Х, р), где л=! х'(в. 6) + Р(К), (Е,)) = ь' лпр А(х) — а(х)1, Г=! хо(а, 6) является полным метрическим пространством. 145. Пусть А и  — полные подпространства метрического про- странства Х. Доказать, что А () В и А П В также являются пол. ными пространствами. Показать на примере, что А ч, В может оказаться неполным пространством.
146. Пусть (Х, р ) и (У; ру) — полные пространства. Дока- зать, что пространство Х»с )г, снабженное метрикой Рхку ((хх у!) (хз уз)) = Ф (Рх (хь хз)) + (Ру (ухо уз)) о (1) является полным пространством. 147, То же, если Раку ((хх У!) (хю Уз)) = Рх (хм хз) + Ру (Ум Уз)' (2) 14В. Доказать, что для сходимости последовательности((хт у„)) к (а, Ь) в пространстве Х»( У, снабженном метрикой по фор- муле (1) или (2), необходимо и достаточно, чтобы (х„) сходилась к а в пространстве Х, а (у„) — к Ъ в пространстве У. Глава »г.
ЗАМКНУТЫЕ И ОТКРЫТЫЕ МНОЖЕСТВА Пусть Х вЂ” какое-либо метрическое пространство. Элементы этого простран- ства называют точками. Окрестности. Окрестностью (или е-окрестностью) точки хо Е Х называется множество 1' (хо, е) всех точек х Е Х, удовлетворяющих условию р (х, хо) ( е. При этом число в > О называют радиусом окрестности, точку хо — ее центром. Окрестность У (хо, е) называют также открытым шаром радиуса в с центром в точке хо Если знание радиуса окрестности точки хо несущественно, мы будем вместо У (хо, е) писать просто У (хо). Если основное пространство Х вЂ” числовая прямая, то е-окрестностью точ- ки хо является интервал )хо — е, хо+ е[. Если Х вЂ” плоскость, то У (хо, е)— открытый круг радиуса в с центром в точке хо.
Важное с в о й с т в о онрестностей: если уЕ У(хо, е), то существует число б > О такое, что У (у, б) ~ У(хо, в). Классификация точек метрического пространства по отношению к данному множеству, Пусть Š— какое-либо множество метрического пространства Х. Точка хо Е Х называется точкой прикосновения множества Е, если в любой ее онрестности имеется хотя бы одна точка из Е. Легко видеть, что для этого необ- ходимо и достаточно, чтобы в Е существовала последовательность точек (х„), сходящаяся в Х к точке хо. Множество всех точек прикосновенна множества Е называется замыканием множества Е и обозначается Е. Ясно, что Е <: Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
