Ю.С. Очан - Сборник задач по математическому анализу (1134952), страница 6
Текст из файла (страница 6)
П р и м е р. Замыканием интервала )а, Ь[ на прямой служит отрезок [а, 6). Точка хо Е Х называется внутренней лючкой множества Е, если существует окрестность У (хо), содержащаяся в Е. Множество всех внутренних точек мяожествэ Е называется его внутрен- ностью и обозначается Е'. Ясно, что Е' о: Е. 2! Лргдгльиой точкой множества Е называется точка хо Е Х, и любой окрестности которой имеется хотя бы одна точка из Е, отличная от хо. Легко видеть, что для этого необходимо и достаточна, чтобы в любой окрестности точки хо содержалось бесконечно много точек из Е. Множество всех предельных точек множества Е называется его ароизгадным множеством и обозначается Е'.
Множество всех предельных точек множества Е' называется вторым производным множеством множества Е и обозначается Е'. Аналогично определяются производные множества более высокого парадна (производное множество порядка и обозначается Е!"!). Точна хо Е Х называется изогироэаиной точкой множества Е, если хо Р Е, причем в некоторой ее окрестности У (хо) нет других точек из Е (кроме самой точки хо). Точка хо Е Х называется граничной точкой множества Е, если в любой окрестности этой точии имеются как точки, принадлежащие Е, тан и точки, не принадлежащие Е. Множество всех граничных точек мнох!ества Е называется границей множества Е и обозначается Гг Е.
Легко видеть, что Е = Е' () Е = Е' 0 Ег Е. Замкнутые множеатвв. Множество Е в метрическом пространстве Х называется замкнутым, если оно содержит все свои точки прикосновения (иначе говоря, множестдо Е замкнуто, если оно совпадает со своим замыканием: Е = Е). П р и и е р ы замкнутых множеств; пустое множество; все пространства Х; любое конечное множество в Х; эамкиуглый шар В (хо, е) в Х радиуса е > 0 с центром в точне хо, т.
е. множество всех точек х Е Х, для которых р (х, хо) ( е. С в о й с т в а замкнутых множеств: а) объединение конечного числа замкнутых множеств замкнуто; б) пересечение л|обой совокупности замкнутых множеств замкнуто. Если множество замкнуто и не содержит изолированных точек, то оно называется сагершгииым. П р и м е р ы совершенных множеств на прямой: вся прямая, пустое множество, отрезок. Важным примером совершенного множества является также каиторого множество (), которое строится следующим образом; из отрезка 11 2! 10, 1] исключается интервал 1 —, — ~; затем из оставшихся двух отрезков («от- (3' 3~' ! резков первого ранга«) исключаются интервалы длины — с центрами в середи.
3' нах этих отрезков; затем из оставшихся четырех отрезков («отрезков второго 1 ранга«) выбрасываются интервалы длины — с центрами в середпнах этих отрез3о ков н т. д. до бесконечности. Множество В, оставшееся после иснлючения всех этих интервалов, является совершенным.
Его называют канторагым множеством. Точки канторова множества разделяются на точки аергого рода — нонцы выбрасываемых интервалов (ик — счетное множество) и точки гторога рода (все остальные точки множества (1; их — множество мощности континуума). Множество 0 имеет следующую арифметическую структуру: оно включает те и только те точки отрезка ~0, Ц, которые могут быть записаны в виде троичной дроби (конечной или бесконечной), не содержащей единицы в числе своих троичных знаков. Каждое непустое совершенное множество на прямой имеет мощность континуума (сч. задачу 253). Открытые мишкеетва. Множество Е в метрическом пространстве Х называется открытым, если все его точки являются внутренними, т.
е. Е совпадает со своей внутренвостью Е'. П р и м е р ы отнрытых множеств на прямой — интервал, объединение любой совокупности интервалов, вся прямая; на плоскости — открытый круг, вся плоскость. В любом метрическом пространстве Х открыты пустое множество и все пространство; открытым множеством в Х является танже каждый отнрытый шар. 22 С в о й с т в а открытых множеств: а) пересечение конечного числа открытых множеств есть открытое множество; б) объединение любой совокупности откры.
тых множеств есть открытое множество. Между открытыми и замкнутыми множествами существует следующая свив«о !) дополнение к любому открытому множеству есть замкнутое. множество; 2) дополнение к любому замкнутому множеству есть открытое множество. Здесь (и всюду в дальнейшем) имеется в виду дополнение до всего пространства. Множеотва типа Р„и множества типа 6а .
Множество, которое может быть представлено как объединение счетной совокупности замкнутых множеств, на. зывается множеатмом типа Р„(типа «зф-сигма»). В частности, множествами типа Р являются: любое замкнутое множество; любое открытое множество (задача 205); любое счетное множество и т, д. Очевидно, объединение любой конечной илн счетной совокупности множеств типа Ро есть множество типа Р„. Множество, которое может быть представлено как пересечение счетной совокупности открытых множеств, называется множеством типа 6а (тнпа «жедельта»).
В частвости, множествами типа 6а являются все замкнутые и все открытые множества на числовой прямой; кроме того, множествами типа 6а являются все полуоткрытые промежутки, множество всех иррациональных точек и т. д. Очевидно, пересечение любой конечной или счетной совокупности множеств типа 6е есть множество тина 6а. раоотояние от точим до множества, раоотояние между множеетвамн. диаметр множества. Расстоянием от точки х Р Х до множества Е ~ Х (где Х— метрическое пространство) называется нижняя грань чисел р (к, у), где у пробегает множество Е: й (х, Е) = (п! р (х, у).
геп Для того чтобы й (х, Е) было равно нулю, необходимо и достаточно, чтобы к была точной прикосновения для Е. Отсюда следует, что если Е замкнуто, то «! (к, Е) = 0 тогда и только тогда, когда к Е Е. Если же к Е Е (где Е замкнуто), то й (х, Е) ) О.
Расстояние д между множествами А и В в метрическом пространстве Х оп еделяется равенством Р й(А,В)= ш(р(х,у). к;.А е(в Диаметрам множества Е в метрическом пространстве называется верхняя грань расстояний между всевозможными парами его точек: сйага Е = шр р (х, у). к.п, угд Плотные н нигде не платныв множеотва. Множество Е ~ Х называется плотным е множестве А, если Е ш А. Если, в частности, Е плотно н пространстве Х (т. е. Е = Х), то Е называется всюду плотным. Множество Е, лежащее в метрическом пространстве Х, называется нигде не плотным, если оно не плотно ни в каком открытом шаре этого проетранства.
Это определение равносильно следующему: множество Е нигде не плотно в Х, если любой открытый шар пространства Х содержит открытый шар, полностью свободный от точек множества Е. В частности, множество Е нигде не плотно на числовой прямой Е», если любой интервал ]а, Ь( содержит интервал ]а, ()(, полностью свободный от точек множества Е. П р и м е р ы нигде не плотных множеств на прямой: любое конечное множество; множество всех целых чисел; канторово совершенное множество. Множество, являющееся объединением конечной или счетной совокупности, нигде пе плотных множеств, называется лгножествам первой категории.
Множество, ие представимое в виде объединения счетной совокупности нигде не плотнык множеств, назыаается множеством второй категории. Зада чм 149. Показать, что У (х„е) с: В (х„е). Привести примеры метрических пространств, в которых У (х„е) ~ В (х„е) для некоторых х, и е, и метрических пространств, в которых У (х„е) = = В (х„е) для всех х, и е. 150. Доказать, что замыкание объединения двух множеств равно объединению их замыканий.
Доказать, что для бесконечного семейства множеств (Ас) справедливо включение () 4 с: ЦА, но не всегда верно равенство. !51. Доказать равенства С (Е') = СЕ, С (Е) = (СЕ)'. 152. Верно ли утверждение: «Внутренность пересечения двух множеств равна пересечению их внутренностей»? Верно ли аналогичное утверждение для бесконечной совокупности множеств? 153.
Верно лн утверждение: «Внутренность объединения двух множеств равна объединению их внутренностей»? Если нет, то имеется ли в какую-либо сторону включение? 154. Построить множество, для которого производное множество непусто, а второе производное пусто. 155. Привести примеры: а) множества на плоскости, не имеющего граничных точек; б) множества Е на плоскости такого, что гг Е Ф О, Е () Гг Е = И; в) несчетного множества Е на плоскости такого, что Е = Гг Е.
156. Доказать, что Гг Е = Е ', Е' для любого множества Е. 157. Доказать, что граница объединения двух множеств содержится в объединении их границ. Показать на примере, что аналогичное утверждение для бесконечной совокупности множеств ие всегда верно. 158. Доказать, что замыкание каждого множества замкнуто. 159. Доказать, что производное множество каждого множества замкнуто. 160. Доказать, что граница каждого множества замкнута. 161.
Доказать, что для эквивалентности метрик р,' и р, в пространстве Х необходимо и достаточно, чтобы совокупность всех подмножеств пространства Х, замкнутых в смысле метрики р„ совпадала с совокупностью всек подмножеств, замкнутых в смысле метрики р,. 162. На плоскости дана последовательность концентрических окружностей радиусов г, < г, « ... г„< ... Является ли их объединение замкнутым множеством? !63. На плоскости дана последовательность замкнутых концентрических кругов радиусов г, < г, « ...
г, < ... Является лн их объединение замкнутым множеством? Является ли оно открытым множеством? 164. Будем считать Землю идеально гладким шаром. Рассмотрим множество Е всех тех точек М на поверхности Земли, которые обладают следующим свойством: если из М пройти 7 км на север, затем 7 км на запад и, наконец, 7 км на юг, то окажешься снова в точке М. Является лн Е замкнутым множеством? Если нет, то какое множество является его замыканием? Его производным множеством? 166. Пусть г" — непрерывная функция, определенная всюду на оси Ох. Доказать, что множество Е„тех точек оси Ох, где г' (х) ) )а, замкнуто. 166.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
