Ю.С. Очан - Сборник задач по математическому анализу (1134952), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Эти открытые 3' круги образуют бесконечное покрытие множества Е. Доказать, что из этого покрытия нельзя выделить конечного покрытия. 341. Можно ли из того покрытия круга Е, которое рассмотрено в задаче 340, выделить счетное покрытие? 342. Совокупность открытых кругов, рассмотренная в задаче 340, покрывает замкнутый круг радиуса 1 — е с центром в точке О, ! где 0 < е < —.
Как из этого покрытия выделить конечное покрытие? 2 343. Построить пример ограниченного открытого множества на прямой, покрытого интервалами так, что из этого покрытия нельзя выделить конечного покрытия. 344. Верна ли теорема: «Из любого покрытия компакта замы« каниями открытых множеств можно выделить конечное покрытие»? 345. Доказать сепарабельность евклидова пространства 1«" .
346. Доказать сепарабельность пространства С1а, Ь1. 347. Доказать сепарабельность пространства 1,. 348. Доказать сепарабельность пространства пар непрерывных фуиккий на (а, Ь) с метрикой Р ((1м а~), (1"„а«)) = юах ~~«(х) — ~, (х) ! + гпах ~д«(х) — д, (х) (. «и Ьъ «1 ;-Ы, «1 349. Для того чтобы пространство Х было сепарабельно необходимо и достаточно, чтобы при любом в ) 0 для Х существовала не более чем счетная а-сеть.
Доказать это. 350. Доказать, что любой компакт является сепарабельным пространством. 351. Доказать, что пространство М ~а, Ь) несепарабельно. 352. Доказать, что любое множество Е, лежащее в сепарабельном пространстве Х, обладает не более чем счетным подмножеством А, плотным в Е, т. е. таким, что А:» Е (Рассматривая Е как подпространство пространства Х, мы можем это утверждение сформулировать также следующим образом: любое подпространство сепарабельного метрического пространства сепарабельно.) 353.
Построить какой-либо счетный базис на плоскости Ох) 354. Пусть А и  — два семейства открытых множеств в метр~ . ческом пространстве Х такие, что для каждого А из А найдегся В нз В, содержащееся в А, и для каждого В из В найдется А из А, содержащееся в В. Пусть  — базис в Х. Можно ли утверждать, что А также базис? 355. Доказать, что для того чтобы метрическое пространство Х было сепарабельным, необходимо и достаточно, чтобы оно имело счетный (или конечный) базис. 356. Доказать, что из любого бесконечного семейства (О„) открытых множеств в пространстве Х со счетным базисом можно выделить счетное подсемейство с тем же объединением. 357. Верно ли утверждение: «Если из любого бесконечного семейства (О ) открытых множеств в пространстве Х можно выделить счетное подсемейство с тем же объединением, то Х есть пространство со счетным (или конечным) базисомз» 358.
Доказать, что мощность совокупности всех открытых подмножеств сепарабельного метрического пространства не превосходит мощности континуума. 359. Доказать, что мощность совокупности всех замкнутых подмножеств сепарабельного метрического пространства не превосходит мощности континуума. 360. Доказать, что мощность любого сепарабельного пространства не превосходит мощности континуума. 361.
Доказать, что если Х вЂ” сепарабельное пространство, имею. щее мощность континуума, то совокупность всех его замкнутых множеств также имеет мощность континуума. 362. Доказать, что непустой компакт без изолированных точек имеет мощность континуума. а 363. Обозначим через Я множество всех точек конденсации множества Е в метрическом пространстве Х. Доказать, что для любых множеств А и В имеет место: Зл()а — — Зл () Вв. 364. Справедливо ли утверждение, что 50л — () Вл для проАд А извольного счетного семейства множеств (А„)? 365.
Доказать, что, для того чтобы х, была точкой конденсации для множества Е в метрическом пространстве Х, необходимо и достаточно, чтобы любое множество б из базиса пространства Х, содержащее х„включало несчетное множество точек из Е. 366. Доказать теорему Линделефа (с. 37). 367. Доказать, что для любого множества Е в сепарабельном пространстве Х множество точек конденсации Яв совершенно. Привести пример несепарабельного пространства Х и множества Е в нем такого, что множество Яа Его точек конденсации несовершенно. 368. Доказать теорему Кантора — Бендиксона (с.
37). 369. Доказать, что если пространство Х не только севарабельно, но и полно, то любое замкнутое множество Р с: Х е д и не т в е н н ы м образом разбивается на два непересекающихся множества: совершенное и не более чем счетное. 370. Показать на примере, что единственность разбиения замкнутого множества на совершенное и не более чем счетное множества может нарушиться, если пространство Х не полно. 371. Доказать, что замкнутое множество Р в полном сепарабельном пространстве Х либо не более чем счетно, либо имеет мощность континуума.
372. Доказать, что если все точки множества Е в сепарабельном пространстве Х изолированы, то Е не более чем счетно. 373. Показать на примере, что предыдущее утверждение неверно, если пространство Х несепарабельно. 374. Может ли множество Е на плоскости, имеющее мощность континуума, содержать лишь конечное или счетное множество своих предельных точек? 375. Доказать существование хотя бы одной точки конденсации у несчетного множества Е на конечном отрезке методом последовательного деления отрезка на две равные части, отмечая каждый раз ту половину отрезка, которая содержит несчетное множество точек из Е. 376.
Пусть Š— связное множество, содержащее более одной точки. Доказать, что оно ие имеет изолированных точек. 377. Доказать, что, для того чтобы непустые множества А и В были разъединены, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство (А () В) () (А () В) = И. 378. Доказать, что если А и  — оба замкнутые илн оба откры- тые непустые множества, причем А [) В = О, то А и В разъединены. 379. Пусть Š— несвязное замкнутое множество.
Доказать, что его можно представить в виде объединения двух непересекающихся непустых замкнутых множеств. 380. Пусть Š— несвязное открытое множество. Доказать, что его можно представить в виде объединения двух непересекающихся непустых открытых множеств. 381. Пусть Е и Р— замкнутые множества.
Доказать, что если Е () Р и Е П Р связны, то Е и Р связны. 382. Показать на примере, что утверждение предыдущей задачи становится неверным, если отказаться от требования замкнутости хотя бы одного из множеств Е, Р. 383. Доказать, что если Е связно, то его замыкание Е тоже связно. Показать на примере, что обратное утверждение неверно. 384.
Доказать, что если Е связно и Е с Н с Е, то Н также связно. 385. Доказать, что если для любых двух точек множества Е существует связное множество Я, содержащее эти точки н включающееся в Е, то Е связно. 386. Доказать, что множество точек плоскости, у которых обе координаты иррациональны, несвязно. 387. Доказать связность отрезка, соединяющего две точки прямой, плоскости, трехмерного евклидова пространства. 388. Доказать связность замкнутого круга на плоскости и замкнутого шара в трехмерном евклидовом пространстве. 389. Пусть Е, и Е, — связные множества с непустым пересечением. Доказать, что Е = Е, [) Е, связно.
390. Пусть Е„Е„... — возрастающая последовательность связных множеств. Доказать, что их объединение Е = [) Е, связно. 391. Пусть (Е,.) — последовательность связных множеств такая, что Е, [) Е,+, непусто для каждого номера 1. Доказать, что + [) Е, связно. 1=! 392. Пусть (Е,) — последовательность непустых множеств та. кая, что Е, О Е,ч., связно для каждого номера 1. Доказать, что [) Е, связно. 393. Доказать, что множество точек плоскости, у которых хотя бы одна координата рациональна, связно. 394. Доказать, что множество Е на прямой связно в том и только в том случае, если вместе с любыми двумя своими точками оно содержит и весь соединяющий их отрезок.
395. Доказать связность следующих множеств на прямой: а) [а, ЬД; б) )а, Ь[; в) 1а, ЬД; г) [а, Ь[; д) [а, +оо[; е) Да, +со[; ж) 1 — оо, а); з) 1 — оо, а[; и) ) — оо, +со[; к) одноточечное множество (а); л) Я. 43 Доказать, что никакое множество на прямой, кроме множеств вида а) — л) (при всевозможных а и Ь, а ( Ь), не является связным. 396. Доказать связность евклидова пространства ечп. 397. Пусть Х вЂ” связное метрическое пространство. Доказать, что в нем, кроме пустого множества и всего пространства Х, не существует множества, которое было бы одновременно замкнутым и открытым. 398.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
