Ю.С. Очан - Сборник задач по математическому анализу (1134952), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Если функция определена в точке хо, то разности ! (хо + 0) — 1 (хо) и 1 (хо) — 1 (хо — 0) называются соответственно ярого»м.скачком и лггым скачком функции 1 (х) в точке хо. Ясно, что точка устранимого разрыва является частным случаем точки разрыва первого рода и скачок функции в этой точке равен нулю. Точна разрыва, не являющаяся точкой разрыва первого рода, называется лычкой разрыгп второго рода. Свойства функций, иепрерывнык в точке. 1) Если функции»р (х) и ф (х) непрерывны в точке хо относительно множества Е, то сумма и произведение этих функций непрерывны в этой точке относительно Е. Если, кроме того, ф (хо) ~ О, ф (х) то частное — также непрерывно в этой точке относительно Е. »р (х) 2) Пусть функция»р (х) непрерывна в точке хо относительно множества Е, причем ц» (хо) = уо.
Пусть, кроме того, функция ф(у), определенная на числовом множестве, непрерывна в точке уо относительно некоторого множества Р ~ м». Тогда суперпозиция этих функций, т. е. сложная функция ф (ц» (х)), непрерывна в точке хо относительно множества Е () ц» — ' (р). 55 3) Если функция 7 (х) определена на множестве А и непрерыв на в точке хе относительно Е, то она ограничена в некоторой окрестности этой точки (точнее говоря, на пересечении множества А П Е с некоторой окрестностью точки х«). 4) если функция 1(х) определена на множестве А и непрерывна в точке хь относительно множества Е, причем г'(хь) ) О, то существует такая окрестность У (хг) точки хь, что 7 (х) > 0 для всех х 6 А П Е П У (хь); аналогичное утвержденне справедливо и тогда, когда 1 (х«) < О.
Другими словами; «Непрерывная в точке х«функция сохраняет свой знак в некоторой окрестности этой точки». 5) Если Е, «: Е и в некоторой точке х«5 Е„функция 1 (х) непрерывна относительно Е, то в этой же точке она непрерывна и относительно Е, (обратное утверждение неверно: функция может оказаться непрерывной в точке х«относительно Е„но ие быть непрерывной в этой точке относительно множества Е ~ Е«). Свойства функций, непрерывных на компактном множестве.
0 и р е д ел е н и е. Пусть функция 1'(х) определена на множестве Е. Если оно непрерывна во всех точках множества Е огяносительно этого множества, то она называется непрерывной на Е. Мы рассмотрим некоторые свойства функций, непрерывных на компакте. Т е о р е м а 1. Если функция 1' (х) непрерывна на компактном множестве Е, то множество 1 (Е) также компактно. Другими словами; «Непрерывный образ компакта есть компакт» (см. задачу 505). Непосредственными следствиями этой теоремы являются теоремы 2 и 3 (задачи 514, 515).
Т е о р е м а 2. Если функция ) (х) непрерывна на компактном множестве Е, то она ограничена на нем (т. е. существует такое число С > О, что (7 (х) ) < С для всех х Е Е). Т е о р е м а 3. Если функция 1' (х) непрерывна на компактном множестве Е, то она досн«игоет своей верхней и своей нижней грани на этом множестве, т.
е. существуют такие точки х, Е Е, х«Е Е, что 7(хг) = знр/(х), 7(х«) = )п(1(х). хел хгл Для того чтобы сформулировать теорему 4, дадим определение равномерно непрерывной функции. Функция 1 (х), определенная на множестве Е, называется равномерно непргргюной на Е, если для любого в ) 0 существует 5 > 0 такое, что для всяких х' 6 Е их" 6 Е, таких, что р (х', х") < 5, выполняется неравенспю )7(х') — 1(х")) < е. Легка видеть, что если 1 (х) равномерно непрерывна на Е, то она непрерывна на Е: обратное утверждение, вообще говоря, неверно; однако если Š— компактное множество, то справедлива и обратная теорема (задача 540): Т е о р е м а 4. Если функция непрерывна на компактном множестве Е, то она равномерно непрерывна на нем.
Свойства функций, непрерывных на связном множестве. Т е о р е м а 5. Если функция 1(х) непрерывна на связном множестве Е, то множество 1' (Е) также связно. Другими словами: «Непрерывный образ связного множества есть связное множество» (см. задачу 535). Непосредственными следствиями этой теоремы являются теоремы 6 и 7 (задачи 536 и 537). Т е о р е м а 6. Если функция ) (х) непрерывна на связном множестве Е, причем 7 (а) = А, 1 (Ь) = В, где а Е Е, Ь 5 Е, то для любого числа С, заключгннаго между А и В, существует точка с Е Е такая, что ) (с) = С. В частности, если на Е найдутся две точки, в которых 1 (х) принимает значения разных знаков, то существует точка с Е Е такая, что 1 (с) = О. Т е о р е м а 7.
Если функция 1' (х) непрерывна на связном компактном множестве Е, причем 1п1 1" (х) = А, ьцр ( (х) = В, то 1' (Е) = (А, В) (или, л частхг л ««Е ности, одноточечное множество, если А = В). Характеристическая функция. Пусть Š— произвольное множество в метрическом пространстве Х. Характеристической функцией миожеппва Е называется функпия хе (х), определенная на х и задаваемая следующими равенствами: Х (х)=!прих ЕЕ, Х (х)=О прихТЕ.
Е е Так, например, функция Дирихле Х (х), равная 1 длн всех рациональных чисел и О для всех иррациональных чисел, является характеристической функцией множества рациональных чисел на прямой. Задачи 479. Пусть функция ((х) определена в метрическом пространстве Х. Доказать, что множество Е всех ее точек разрыва есть множество типа Ео в Х. 480. Пусть функция ((х) определена в метрическом пространстве Х.
Доказать, что множество всех ее точек непрерывности есть множество типа Оа в Х. 481. Пусть Š— произвольное счетное множество точек х отрезка (а, Ь). Построить функцию, разрывную во всех точках множества Е и непрерывную в остальных точках отрезка (а, Ь"). 482. Пусть ф (х) — функция, заданная всюду на числовой прямой, ограниченная на ней и непрерывная во всех точках, кроме точки х = 0; пусть Хи„— сходящийся числовой ряд с положи- а тельными членами, а (х,, х,, ...) — счетное всюду плотное множество точек на прямой.
Найти множество точек разрыва и множество точек непрерывности функции +~ ( (х) = ~ аа1Р(х — ха). аеп 483. Доказать, что функция, определенная на всей прямой, не может быть непрерывной на счетном всюду плотном множестве Е и разрывной в остальных точках прямой. 484. Построить функцию, определенную во всех точках числовой прямой, разрывную всюду, кроме точек х = 1 и х = — 1, и непрерывную в этих точках. 486. Построить функцию, разрывную во всех точках числовой прямой, кроме точек х = О, ~1, ~2, ... 486.
Каковы точки разрыва у функции, имеющей значение 1 в точках канторова множества и значение 2 во всех остальных точках числовой прямой. Будут лн эти точки разрыва первого или второго родар 487. Построить функцию, определенную на отрезке (О, 3), разрывную в каждой точке, изображаемой конечной десятичной дробью, и непрерывную в точках, которые не могут быть изображены с помощью конечной десятичной дроби. 488. Найти точки разрыва н точки непрерывности функции 1'(х), определенной на отрезке (О, Ц условиями: ((х) = 0 в точках канторова множества, ~ (х) = 1 в серединах его смежных интервалов, 57 ) (х) линейна на участках ~а„, ' " ~ и [ " ", Ь„], где ]а„, Ь, [ — а-й смежный интервал канторова множества (и = 1, 2,,), 489. Исследовать на непрерывность функцию, заданную на отрезке [О, 1] следующими условиями: 1 (х) = 0 в точках канторова множества, 1 (х) = с„в середине п-го смежного интервала ]а„, Ь„[, 1(х) линейна на участках [а„, "+ "~, [ " ", Ь„~ (п = 1, 2, 3, ...).
При этом предполагается, что смежные интервалы канторова множества перенумерованы в порядке убывания их длин: Рассмотреть случаи: а) последовательность (с„) такова, что В ш с„= 0; б) !1ш с„существует и отличен от нуля. л +". л + 490. Найти все точки разрыва и точки непрерывности функции / с„во всех интервалах и-го ранга канторова множества 1?; ) О при х 6 В. Рассмотреть случаи: 1) с„— «О при и-«+со; 2) с„— «д (д Ф Ф 0) при п -«+ос; 3) (с„) не имеет предела. 491.
Построить функцию, непрерывную во всех иррациональных точках отрезка [О, 1] и разрывную во всех его рациональных точках. 492. Существует ли функция, непрерывная во всех рациональных точках отрезка [О, 1] и разрывная во всех его иррациональных точках? 493.
Построить функцию, непрерывную во всех точках канторова множества и разрывную во всех точках его смежных интервалов 494. Построить функцию, непрерывную во всех точках смежных интервалов канторова множества и разрывную всюду на канторовом множестве. 495. Исследовать на непрерывность функцию, равную х' в рациональных точках числовой прямой и — х' в иррациональных. 496. Функция ) (х) определена на отрезке [О, 1] следующим образом'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
