Ю.С. Очан - Сборник задач по математическому анализу (1134952), страница 18

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 18)

Гомеоморфизм. Если отображение 1 множества Е ~ Х на множество 6 ~ У является взаимно однозначным и непрерывным и если обратное отображение )-т множества 6 на множество Е также непрерывно, то 7" называется гомеоморфным отображением или гомеоморфизмом. Если для множеств Е и 6 существует гомеоморфизм, отображающий Е на 6, то говорят, что множества Е и 6 гомеоморфны. Всякое свойство множества Е, сохраняющееся при гомеоморфизме, называется топологическим свойством. Уточним это: пусть А — класс всех множеств, обладающих некоторым свойством; это свойство называется топологическим, если из того, что Е Е А, ) — гомеоморфизм, заданный на Е, следует, что ((Е) ЕА. Отображения евМлидовых пространств.

Важным частным случаем отображения является отображение, у которого областью отправления и областью прибытия являются евклидовы пространства. Непрерывное отображение 7 множества Е ~ Ет в евклидова пространство )7л может быть задано с помощью и непрерывных на Е числовых функций от т переменных: Ут = 9«т (хы " хм) "" Уп = фл ("'м " хт) где хы ..., хт — числовые переменные (координаты точки х), а уэ, ..., уп— координаты точки у = ( (х).

66 Кривая Жордана. Непрерывное отображение отрезка Е числовой оси Пл в а-черное евклидова пространство йлв называется л-мерной кривой Жордана пли жврдановой кривой (в частности, при и = 2 — плоской кривой Жордана, при л = 3 — пространственной). Образ отрезка Е при этом отображении называется носителем этой жордановой кривой. Носитель жордановой кривой — всегда связное множество. Иногда — в тех случаях, когда это не будет вызывать недоразумения, — мы будем называть жордановой кривой не только непрерывное отображение отрезка, но и образ отрезка при этом отображении. Ясно, что жорданова кривая может быть задана непрерывными числовыми функциями одной переменной хл = ьрл (1), ..., х„= ф„((), где ( Е Е (Š— отрезок на оси 01). Важным примером жордановой кривой является кривая Пеона, носителем которой является замкнутый квадрат на плоскости.

Первый пример такого непрерывного отображения был приведен итальянским математиком Пеано в 1890 г. (см, ниже, задачу 594). Проектирование. Рассмотрим еще один способ непрерывного отображения— проекткрование множества, расположенного на плоскости, на какую-либо ось.

Проекцией тачки М ~ Оху на ось Ох Называетсн пересечение с осью Ох прямой линии, проходящей через точку М под заданным углом а к оси Ох. Проекцией множества Е ~: Оху на ось Ох называется множество проекций всех точек множества Е на ось Ох; при этом проектирование всех точек множества Е проводится под одним и тем же углом а к оси Ох. Проекция множества, проведенная под углом 90' к оси, называется ортогональной (или прямоугольной) проекцией.

Проекция множества, проведенная под углом, отличным от прямого, называется »всаугольной проекцией. Арифметнческаи сумма множеств. )Тля решения некоторых задач нам понадобитсн понятие арифметической суммы множеств. Арифметической су.имей дву» множеств Е и Е, расположенных на числовой прямой, называется множество всевозможных сумм вида х+ у, где х 5 Е, у Е Е.

Арифметическая гул~ма множеств Е и Е обозначается Е г') Е. Так, например, арифметической суммой отрезка [1, 2) и интервала )4, 5[ является интервал )5, 8[. Задачи 573. Доказать, что если Т" — непрерывное отображение множества Е метрического пространства Х в метрическое пространство У и Е, с: Е плотно в Е, то 1(Е,) плотно в ~(Е).

574. Доказать, что множество точек 1и (г' + 1) числовой оси, где г пробегает все рациональные числа, плотно на луче [О, +оп[. 575. Доказать, что непрерывный образ компакта есть компакт. 576. Пусть Т вЂ” отображение метрического пространства Х в метрическое пространство У. Доказать, что для непрерывности этого отображения необходимо и достаточно, чтобы прообразом любого замкнутого множества пространства У являлось замкнутое множество пространства Х.

577. Пусть ( — отображение пространства Х в пространство У. Доказать, что для непрерывности этого отображения необходимо и достаточно, чтобы прообразы всех открытых множеств пространства У были открытыми множествами пространства Х. 578. Доказать, что если при отображении ( пространства Х в пространство У прообразы всех открытых шаров пространства У являются открытыми множествами в Х, то отображение Т' непрерывно.

67 579. Доказать, что непрерывный образ связного множества есть связное множество. 580. Доказать, что любое линейно связное множество Е связно. П р и и е ч и н и е. Множество Е в евклидовом пространстве называетсн линейно связным, если для любых двух точек х! Е Е, хя 8 Е существует жорданова кривая, носитель которой включается в Е и содержит точни хт, ха. 581. Привести пример компактного множества, являющегося связным, но не линейно связным. 582.

Доказать, что если открытое множество 6 евклидова пространства связно, то оно и линейно связно. 583, Пусть? — взаимно однозначное непрерывное отображение множества Е метрического пространства Х на множество Е, метрического пространства У. Обязано ли обратное отображение Е, на Е быть непрерывным? Если да — доказать, если нет — привести противоречащий пример. 584. Пусть? — взаимно однозначное непрерывное отображение компактного множества Е на множество Е,.

Доказать, что обратное отображение Е, на Е также непрерывно (т. е. что )' является гомеоморфизмом). 585. Пусть г — взаимно однозначное непрерывное отображение множества Е на Е,. Доказать, что если Е не имеет изолированных точек, то Е, также не имеет изолированных точек. Остается ли в силе это утверждение, если ?" — непрерывное, ио не взаимно однозначное спображение? 586. Верно ли утверждение: <Если? — непрерывное отображение множества Е на Е, и если Е, не имеет изолированных точек, то Е также не имеет изолированных точекв? Будет ли верно аналогичное утверждение, если г — взаимно однозначное непрерывное отображение Е иа Е,? 587. Пусть ? — взаимно однозначное непрерывное отображение компактного множества Е на Е,.

Доказать, что если Е, не имеет изолированных точек, то и Е не имеет их. 588. Доказать, что компактность и связность являются топологическими свойствами. 589. Доказать, что отсутствие изолированных точек у множества является топологическим свойством. 590. Доказать, что свойство множества быть полным пространством не является топологическим свойством. 591. Доказать, что если некоторое свойство является топологическим, то его отрицание также является топологическим свойством. 592. Доказать, что не существует взаимно однозначного непрерывного отображения отрезка [О, 1) на замкнутый квадрат [О, Ц х х [О, Ц (т.

е. что-отрезок и квадрат не гомеоморфны). 593. Пусть Еж — и-мерная единичная сфера в я!+ 1-мерном евклидовом пространстве хс'"+т, т. е. множество всех точек т+! (к„..., х „)~Я""с, для которых ~'х! = 1, и а — какая-либо точка с=! этой сферы.

Доказать, что Е" ', (а) гомеоморфно 1< . 68 а) 1гл45згазипаи1»15и бу Рис. 2 594. Пусть Г (х) — непрерывное отображение отрезка ~0; Ц оси 01 навесь квадрат(0, Цм (О, Ц плоскости Оху («кривая Пеано»). Это отображение осуществим следующим образом. Разделим отрезок (О, Ц на четыре равных отрезка первого ранга, а заданный квадрат — на четыре равных замкнутых квадрата первого ранга; отрезки первого ранга занумеруем слева направо, а квадраты первого ранга — в том порядке, как указано на рисунке 2, а. Далее каждый отрезок первого ранга разбиваем на четыре равных отрезка второго ранга, а каждый квадрат первого ранга — на четыре равных замкнутых квадрата второго ранга; получившиеся в результате шестнадцать отрезков второго ранга нумеруем слева направо, а квадраты второго ранга нумеруем так, чтобы два квадрата с соседними номерами имели общую сторону (см.

рис, 2, б). Далее раз- 69 биваем каждый отрезок второго ранга на четыре отрезка третьего ранга и нумеруем все отрезки третьего ранга слева направо, а каждый квадрат второго ранга — на четыре квадрата третьего ранга и нумеруем все квадраты третьего ранга по тому же правилу, что н квадраты второго ранга (см. рис. 2, в). Далее продолжаем этот процесс неограниченно. Поставим в соответствие каждому отрезку и-го ранга с номером 1 квадрат того же ранга и с тем же номером 1.

Так мы установим взаимно однозначное соответствие между отрезками и квадратами одного и того же ранга; заметим, что это соответствие обладает следующим свойством: если отрезок и-го ранга 6, соответствует квадрату и-го ранга Ум а отрезок п + 1-го ранга 6, — квадрату и + 1-го ранга 1', и если 6, ~ 6,, то У,:з У,. Теперь устанавливаем отображение отрезка 10, Ц оси 01 на заданный квадрат следующим образом. Пусть 1, — какая-либо точка отрезка 1"О, Ц.

Построим последовательность отрезков (6„) (где 6, — отрезок первого ранга,б, — отрезок второго ранга и т. д.), содержащих точку 1,; этой последовательности отрезков соответствует последовательность квадратов (У„); при этом так как 6,:з :з 6:з ...:з 6„~ ..., то У, ~ 1',:з ... ~ У„':з ... Так как 6(ав ӄ— ~- 0 при и -+ +оо, то существует единственная точка М„ принадлежащая всем У„. Ее мы и ставим в соответствие точке г„, т.

Характеристики

Список файлов книги