Ю.С. Очан - Сборник задач по математическому анализу (1134952), страница 16
Текст из файла (страница 16)
она равна нулю во всех точках. некоторого нигде не плотного совершенного множества; на каждом смежном интервале этого множества 1 (х) положительная и имеет своим графиком полуокружность, диаметром которой служит этот смежный интервал. В каких точках эта функция непрерывна? 497. Доказать, что для любой функции, определенной на множестве А, имеет место равенство: ы~= знр ~~(~) — Р(О)~.
А мА. Чгл 498. Доказать, что для любых двух функций ? (х) и Р (х), опре- деленных на множестве А, справедливо неравенство й'(?+к) ~( '4+ ж' А А А если же хотя бы одно из чисел ы), ый» конечно, то, кроме того, име- А А ет место неравенство ы (1 + а) > (ы~ — ыа!. А А А 499. Пусть (Я вЂ” последовательность функций, определеннь1х + в метрическом пространстве Х, такая, что ряд 9,! (х) равномерно о сходится на Х.
Доказать, что для любого множества Е с: Х и любой точки х, с Х имеет место неравенство ! +» +»» ы~~ ~«, хо Е~ч Х ыУ«, хо Е~. «=! ' «=1 500. Доказать, что если функция Г (х) непрерывна в точке х, то и функция (Г (х)! непрерывна в этой точке. 50!. Привести пример функции Г (х) такой, что Г'(х) разрывна во всех точках отрезка !0, Ц, а !Г (х)! непрерывна на 1О, Ц. 502. Функция ) (х) определена на числовой прямой следующим образом: 1(х) = 0 в иррациональных точках, (-1!»» ! (х) = — в рациональных точках, представимых в виде ие- Ч сократимой дроби Р М 0 (где д > 0), ( (х) = 1 при х = О.
Найти все ее точки разрыва и точки непрерывности. 503. Построить функцию 1 (х, у), разрывную во всех точках квадрата 1О, Ц к !"О, Ц, но непрерывную как функция от х при любом постоянном у. 504. Функция двух переменных ! (х, у) определена на квадра- те !'О, Ц х ! О, Ц следующим образом: в точкам, где обе координаты иррациональны или обе рациональны, Г (х, у) = 0; кроме того, 1 (х, у) = 0 там, где х = 0 или у = 0; в точках, где абсцисса равна рациональному числу — > 0 ( — — несократимая дробь, д > 0), Р Р Ч Ч 1 а ордината иррациональна, Г (к, у) = —; в точках, где абсцисса ир- рациональна, а ордината записывается в виде несократимой дроби — > 0 (д > 0), ! (х, у) = —. В каких точках эта функция раз- Р 1 ч Ч рывна и где она непрерывна? 505.
Доказать, что непрерывным образом компактного множе- ства является компактное множество. 59 П р и м е ч а н и е. Непрерывным образом множества Е иааывается множество 1(Е), где 1 — какая-либо функция, определенная н н е и р е р ы в н а я на Е. 506. Показать на примере, что непрерывный образ неограниченного замкнутого множества на числовой прямой ие обязательно является замкнутым множеством. 507.
Показать на примере, что непрерывный образ открытого множества не обязан быть открытым множеством. 508. Пусть г (х) — непрерывная функция, определенная в метрическом пространстве Х, а Š— произвольное замкнутое множество на числовой прямой. Доказать, что множество Г ' (Р) замкнуто в Х. 509. Пусть г(х) — непрерывная функция, определенная в метрическом пространстве Х, а б — произвольное открытое множество на числовой прямой.
Доказать, что множество г' ' (сг) открыто в Х. 510. Может ли прообраз компактного множества при непрерывном отображении быть неограниченным? 511. Доказать, что функция ) (х), определенная на всей числовой прямой, непрерывна тогда и только тогда, когда прообразы всех интервалов ]а, Ь( являются открытыми множествами. 512. Доказать, что если функция )' (х) определена на всей числовой прямой и прообразы множеств ] — оо, а] и 1"а, +со( замкнуты при любом действительном а, то функция Г (х) непрерывна во всех точках числовой прямой. 513. Пусть функция у (х), определенная на всей числовой прямой, принимает только целые значения.
Доказать, что множество точек непрерывности такой функции является открытым множеством, а множество точек разрыва замкнуто. 514. Доказать, что любая непрерывная на компакте Е функция ограничена на Е. 515. Пусть 1(х) — числовая функция, непрерывная на компакте Е. Доказать, что существует точка а Е Е такая, что Г (а) = = |п1 )'(х), н точка Ь Е Е такая, что г (Ь) = зпр ~(х). «ср «ел 516.
Привести пример числовой функции, непрерывной на замкнутом ограниченном множестве Е некоторого полного метрического пространства и не ограниченной на Е. 517. Привести пример числовой функции 1(х), непрерывной на замкнутом множестве Е некоторого полного метрического пространства, такой, что г(Е) ограничено, но в Е не существует такого элемента а, что ~ (а) = 1п1 гт(х) «ен 518. Доказать, что р (х, у,) (где у, — фиксированная точка метрического пространства Х) есть непрерывная функция от х. 519. Доказать, что с( (х, Е) (где Š— заданное непустое множе. ство в метрическом пространстве Х) есть непрерывная функция от х. 520.
Пусть Š— компактное множество в пространстве Х н х, Е Х. Доказать, что существует точка у, Е Етакая, что р (хе, уа) = = й (х„Е) (т. е. расстояние от х, до компакта Е достигается в некоторой точке этого компакта). 521. Доказать, что если множество Е в метрическом пространстве Х обладает свойством Н (см. задачу 333) и х, 6 Х, то существует точка у, 6 Е такая, что р (х„у,) = д (х„Е). 522. Доказать, что для любых двух множеств Е, Р в метрическом пространстве Х имеет место равенство г1 (Е, Р) = 1п1 г( (у, Е).
мг 523. Пусть Е и Р— множества в метрическом пространстве Х, причем Е обладает свойством Н, а Р компактно. Доказать, что существуют точки х, 6 Е, у ч Р такие, что Р (хо уо) ='1 (Е г) (расстояние между множествами Е и Р достигается в точках этих множеств). 524. Доказать, что расстояние между двумя компактными множествами метрического пространства достигается в точках этих множеств.
52о. Доказать, что в евклидовом пространстве Я' расстояние между замкнутым множеством Е и замкнутым ограниченным множеством Р достигается в точках этих множеств. 526. Показать на примере, что расстояние между двумя замкнутыми непересекающимися множествами в евклидовом пространстве может равняться нулю (еслн эти множества не ограничены). 527. Привести пример замкнутых неограниченных множеств А иВ на плоскости таких, что г((А, В) = 1 и что ие существует точек ачА, Ь еВтаких, что р(а,Ь) =1. 528. Привести пример двух замкнутых ограниченных множеств в некотором полном метрическом пространстве, расстояние между которыми не достигается в точках этих множеств.
529. Пусть (Х, р) — метрическое пространство, (Х х Х, Я)— множество пар (х, у) (х 6 Х, у ч Х), метризованное по формуле К ((х„у,), (х„у,)) = ~Г(р(х„х,))' + (р (у„у,))'. Доказать, что р (х, у) является непрерывной функцией на (Х:~ Х, Р). 530. Пусть Š— непустой компакт в метрическом пространстве Х.
Доказать, что в нем найдутся точки х, е Е, уч 6 Е такие, что р (х0 уч) = д(ат Е, 531. Пусть х, и х, — две точки метрического пространства Х, х, Ф х,. Построить непрерывную в Х функцию 1(х) такую, что: 1) 1 (х) ям О в некоторой окрестности точки х,; 2) Г (х) = 1 в некоторой окрестности точки х,; 3) О 4 Г (х) ( 1 для всех х Е Х. 532. На прямой даны п попарно не пересекающихся замкнутых множеств Е„Е,„..., Е„; построить функцию 1 (х), непрерывную всюду на прямой и такую, что 1 (х) = р» при х 6 Е„(й = 1, 2, ... п), где р„р„..., р„— заданные числа. б! 533.
На прямой дана счетная совокупность попарно не пересекающихся замкнутых множеств Е»(3=1, 2, ...), причем ни одно из этих множеств не содержит точек прикосновения объединения всех остальных множеств. Построить функцию?". (х) непрерывную всюду на прямой и такую, что для любого натурального числа я имеет место г (х) = р» при х 6 Е„где р» — заданные числа, такие, что ряд,"~~р» абсолютно сходится. 534. Йа прямой дана счетная совокупность попарно не пересекающихся замкнутых множеств Е» (Ф = 1, 2, ...), причем Е, содержит хотя бы одну точку прикосновения объединения остальных множеств.
Пусть ~р» — абсолютно сходящийся ряд, причем р, Ф ~ О. Доказать, что не существует функции 1(х), непрерывной на всей прямой и такой, что) (х) = р» при х 5 Е» для любого натурального числа Ь. 535. Доказать, что непрерывный образ связного множества есть связное множество. 536. Доказать теорему Больцано — Коши: «Если числовая функция 1 (х) непрерывна на связном множестве Е, причем 1(а) = А, 1 (Ь) =- В, где а б Е, Ь 6 Е, то для любого числа С, лежащего между числами А и В, найдется точка с ч Е такая, что 1 (с) = Сж 537. Пусть 1(х) — числовая функция, непрерывная на связном компактном непустом множестве Е. Доказать, что 1(Е)— либо отрезок, либо одноточечное множество. 538.
Говорят, что функция 1 (х), определенная на [а, Ь], обладает свойством Дарбу на отрезке [а, Ь]„если для любых х, 5 [а, Ь], х, Е [а, Ь] (х, ( х«) и для любого числа С, лежащего между 1 (х,) и 1 (х,), найдется точка в 6 (х„х,) такая, что г ($) = С. Является ли выполнение свойства Дарбу достаточным условием для непрерывности функции г(х) на [а, Ь]? 539. Являются ли равномерно непрерывными на указанных множествах следующие функции, непрерывные на этих множествах: !) з!и — на интервале ]О, 1[; 2) ха!и — на луче ]О, +со[; 3) Зх 1 1 х Х на всей числовой прямой; 4) х' на всей числовой прямой; 5) — "" х на луче ]О, +со[? 540. Доказать, что если функция 1(х) непрерывна на компактном множестве Е метрического пространства, то она равномерно непрерывна на Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
