Ю.С. Очан - Сборник задач по математическому анализу (1134952), страница 17
Текст из файла (страница 17)
541. Доказать, что если функция равномерно непрерывна на относительно компактном множестве Е метрического пространства, то она ограничена нв Е. 542. Пусть 1 (х) и д (х) — функции, равномерно непрерывные на Е. Является ли их сумма равномерно непрерывной на Е функцией? 543. Пусть 7 (х) и д (х) — функции, равномерно непрерывные и на множестве Е. Всегда ли их произведение является равномерно непрерывной функцией на Е? 544. Является ли произведение двух функций ) (х) и д (х), равномерно непрерывных на относительно компактном множестве Е метрического пространства, равномерно непрерывной функцией на Е? 545.
Доказать, что если функция 7'(х) определена и непрерывна на луче(0, +ос! и 11»п )' (х) существует, то она равномерно непрерывх + на на этом луче. 546. Верно ли, что функция Г (х), непрерывная и ограниченная на луче (О, +ос!, равномерно непрерывна на этом луче? 547. Является ли функция 7" (х), построенная в задаче 488, равномерно непрерывной на множестве Е, где Š— дополнение к канторову множеству до всего отрезка (О, Ц? 548. Зададим Г (х) на (О, 1] следующим образом: ) (х) = 0 всюду ! на канторовом множестве Р; 7" (х) = — на смежном интервале пер. 2 »! 2! 1 вого ранга, т. е. на ! —, — ~; ! (х) = — на смежных интервалах вто! рого ранга, т.
е. на ~ —, — ~ и ~ —, — ~; вообще 1 (х) = — на всех з' э~ 1з' з~' 2» смежных интервалах й-го ранга. Найти все точки разрыва функции 1(х). Является ли эта функция равномерно непрерывной на дополнении СР к канторову множеству до всего отрезка (О, Ц? 549.
Доказать, что если функция 7'(х) равномерно непрерывна на множестве Е метрического пространства, то оиа может быть продолжена с сохранением непрерывности на его замыкание Е и притом единственным образом (т. е. существует одна и только одна непрерывная функция»? (х), определенная на Е и такая, что»р (х) = = 7 (х) для всех х 8 Е).
Показать, что Ч! (х) равномерно непрерывна на Е. 550. Доказать, что если функция г (х) равномерно непрерывна на множестве Е числовой прямой, то она может быть продолжена на всю прямую с сохранением непрерывности. 551. Привести пример функции Г (х), непрерывной и ограниченной на ограниченном множестве Е числовой прямой, которую нельзя продолжить иа всю числовую прямую с сохранением непрерывности. 552. Доказать, что если функция )'(х) непрерывна, но не равномерно непрерывна на ограниченном множестве Е числовой прямой, то она не может быть продолжена на всю числовую прямую с сохранением непрерывности.
553. Пусть Г(х) — функция, равномерно непрерывная иа всей числовой прямой. Доказать, что существуют два неотрицательных числа А и В такие, что |~(х)1(А 1х1+ Е для всех х 8 1с! 554. Привести пример числовой функции ) (х), непрерывной па замкнутом ограниченном множестве Е некоторого полного метрического пространства, но не равномерно непрерывной на Е. 1 555.
Доказать, что функция 1' (х) = <х (г)Ж, определенная для о всех х 5 С ГО, Ц, равномерно непрерывна на С ГО, Ц. 556. Показать на примере, что функция, равномерно непрерывная на ограниченном множестве Е некоторого метрического пространства, может оказаться неограниченной на Е. 557. Пусть Š— произвольно заданное множество типа Р на числовой прямой Я'. Построить функцию 1 (х), определенную всюду на Я', разрывную во всех точках множества Е и непрерывную в остальных точках. 558.
Пусть Хз (х) — характеристическая функция множества Е. Доказать, что для любых множеств Е, Е„Е, имеют место равен. ства: Х е и и (х) Хе (х) Хе (х) Кз 11з (х) = Хз (х) + Хз (х) — Хз (х) Хз (х) Хсв (х) = 1 Хз (х). 559. Пусть М = Е, П ... П Е„, У =Е,() ...1) Е„. Выразить Х„(х) и Хи (х) чеРез Хз (х), ..., Хз (х). 560. Доказать, что характеристическая функция любого множества Е разрывна в граничных точках этого множества и непрерывна во всех остальных точках пространства. 561. Доказать, что если ~р (х) и «Р (х) непрерывны на Е, то функции Р (х) = щах (~р(х), ф (х)), 6 (х) = щ(п (~р (х), Ф (х)) также непрерывны на Е. 562. Доказать, что если ) (х) — непрерывная функция на Е, то для произвольно заданных чисел а, Ь (а < Ь) функция 1(х), если а < 1(х) < Ь, ~~(х)]», = а, если 1(х) <а, Ь, если 1(х) > Ь также непрерывна на Е.
563. Пусть функция Г (х) определена всюду на числовой прямой Я'. Доказать, что для того чтобы г (х) была непрерывна на Я', необходимо и достаточно, чтобы при всяком а > 0 определенная в предыдущей задаче функция Ц (хЦ; была непрерывна на Я'. 564. Построить пример функции Г'(х), определенной на 10, Ц, у которой как множество точек непрерывности, так и множество точек разрыва всюду плотны на (О, Ц и имеют мощность континуума в любом интервале 3а, ~Г ~ !0, Ц. 565. Зададим функцию 1(х, у) на квадрате (О, Ц х ГО, Ц следующим образом: 1 (х, у) = 0 в точках множества А„где А — «ковср Серпинского» (см. задачу 244); )'(х, у) =! в центрах всех выбрасываемых квадратов; 1 (х, у) линейна в каждом из четырех треугольников, на которые делится диагоналями всякий выбрасываемый квадрат.
Является ли функция 1 (х, у) непрерывной на квадрате СО, Ц Х Х СО, Ц? Является ли она непрерывной намножестве Е = (СО, Ц Х Х СО, Ц) ', А? Является ли она равномерно непрерывной на Е? 566. Зададим функцию Г (л, у) на квадрате СО, Ц х СО, Ц так: )'(х, у) = 0 в точках множества А, где А — «ковер Серпинскогоа; ! 1(х, у) = — в центрах всех квадратов, выбрасываемых на п-м л шаге; ) (х, у) линейна в каждом из четырех треугольников, на которые делится всякий выбрасываемый квадрат своими диагоналями. Является ли функция 1 (х, у) непрерывной на квадрате СО, Ц х Х сО, Ц? На множестве Е = (СО, Ц х СО, Ц) ' А? Является ли она равномерно непрерывной на квадрате? На множестве Е? 2ху 567.
Функция У непрерывна на открытом множестве 0 < х'+ у' < х«+ у' < 4 (открытый круг с выколотым центром); является ли эта функция равномерно непрерывной на указанном множестве? Является ли она равномерно непрерывной в открытом кольце 1 ( ла + уз ( 4? 568. Построить функцию ) (х), определенную на всей прямой, непрерывную в некоторой точке хе относительно канторова множества О, но не являющуюся полностью непрерывной в этой точке.
569. Верно ли утверждение: «Если )'(х) непрерывна в точке х, относительно любого счетного множества, содержащего точку х„ то она полностью непрерывна в этой точке»? 570. Пусть функция двух переменных Т (л, у) определена в некоторой окрестности точки М, (х„уе). Верно ли утверждение: «Для того чтобы функция 1 (х, у) была полностью непрерывна в точке М„ необходимо и достаточно, чтобы она была непрерывна по любому лучу, исходящему из точки М,з? 571.
Пусть $ункция 1" (х, у, г) определена во всем трехмерном проетранстве ач и непрерывна в точке М, Е 77т относительно любой плоскости, проходящей через эту точку. Можно ли утверждать, что эта функция полностью непрерывна в точке М,? 572. Пусть функция 7'(х, у) определена всюду на плоскости и непрерывна в точке (О, 0) относительно любой архимедовой спирали р = а (~р — сс) (при любых значениях постоянных а > 0 и сс).
Можно ли утверждать, что эта функция полностью непрерывна в точке (О, 0)? Глава Х. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Пусть | — отображение множества А метрического пространства Х в л~етрическое пространство У, так что А ~ Х есть область определения отображения й а 1(А) ~ У вЂ” его область значений (при этом метрическое пространство Х 65 называют областью отправления, а метрическое пространство У вЂ” областью при.
бытия отображения 7). Частный случай такого отображения — когда пространством г является числовая прямая — был рассмотрен в предыдущей главе. Распространим теперь данные там определения на случай, когда у — произвольное метрическое пространство.
Отображение 7 множества А ~ Х в пространство У мы будем называть нвпргрь«вным в точке хь Е Х относительно множества Е ~ Х, если хь Е А Д Е и для любого г ) О существует окрестность У (хь) такая, что для всех х Е А П Е Д П у (хь) имеет место неравенство р (7 (х), 7 (хь)) < е (определение Коши). Это определение равносильно следующему: отображение ! множества А ~ Х в пространство У называется непрерывным в точке х«Е Х относительно множества Е ~ Х, если .«ь Е А () Е и для любой последовательности точек (х„) из А П Е, сходящейся к хь, имеет место (пп ! (х„) = 7 (хь) (определение Гейне). и -!- Если отображение непрерывно во всех точках множества Е относительно Е, то оно называется непрерывным на Е. Т е о р е м а !. Если отображение,г непрерывно на компактном множестве Е ~ Х, то 1 (Е) тахлсе есть компактное множество (коротко: «Непрерывный образ компакта есть компакт», см.
задачу 575). Т е о р е м а 2. Если отображение !' непрерывно на связном множестве Е «: Х, то ) (Е) также есть связное множество (коротко; «Непрерывный образ связного множества есть связное множество», см, задачу 579). Отображение Е определенное на Е ~ Х, называется равномерно непрерывным на Е, если для любого числа е ) О существует б ) О такое, что для любых х' Е Е, х" Е Е, таких, что р (х', х") < 6, имеет место р (! (х'),1(х")) < е. Т е о р е м а 3.
Если отображение !' равномерно непрерывно на Е, то оно непрерывно на Е. Т е о р е м а 4. Если отображение !' непрерывно на компактном множестве Е, то оно равномерно непрерывно на Е. Сжимающее отображение. Отображение !' метрического пространства Х в метрическое пространство у называется сжимающим (или сжатым), если существует такое число К, О < К < 1, что дли любых х' Е Х, х" 5 Х имеет место р (7 (х'), ) (х")) < Кр (х', х").
Ясно, что сжимающее отображение непрерывно (и даже равномерно непрерывно) на Х. Т е о р е м а 5 (Б а н а х а). Если отображенае 7 полного метрического пространства Х в себя являе«пся сжимающим, то существует, и пратом единственная, точка х» Е Х такая, что хь = г (хь) (такая точка называется неподвижной точкой отображения )).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
