Ю.С. Очан - Сборник задач по математическому анализу (1134952), страница 19
Текст из файла (страница 19)
е. полагаем?' (1,) = М,. Доказать, что: а) каждой точке ?„Е 1'О, Ц отвечает только одна точка М, из данного квадрата; б) при этом отображении получаются все точки квадрата; в) это отображение непрерывна на 10, Ц; г) оно не является взаимно однозначным. 595. Доказать, что проектирование на ось Ох множества Е, лежащего на плоскости Оху, является непрерывным отображением. 595. Всегда ли проекция на ось Ох плоского открытого множества является открытым множеством на прямой? 597. Всегда ли проекция на ось Ох плоского замкнутого множества является замкнутым множеством на прямой? 598. Даны две пересекающиеся оси на плоскости.
Доказать, что при ортогональном проектировании каждое несчетное множество проектируется по крайней мере на одну из этих осей в несчетное множество. 599. Доказать, что арифметическую сумму множеств Е и Р (т. е. множестЕмя во Е 9 Е) можно построить следующим образом: поместим Е на оси Ох, Р на оси Оу и построим множество Е х Р на плос- ~®к кости Оху; затем спроектируем Е х Р на ось Ох с помощью косоугольной проекции Рис. 3 с углом проектирования, равным 135'; полученная проекция и будет множеством Е (В Р (рис. 3). 600. Доказать, что арифметическая сумма двух ограниченных замкнутых множеств является ограниченным замкнутым множеством. 601.
Что представляет собой арифметическая сумма двух кан- торовых совершенных множеств? 602. Доказать, что если множество А на прямой открыто, то, каким бы ни было множество В, арифметическая сумма А Ю В является открытым множеством. 603. Доказать, что если Е, и Е, — непустые числовые множества, то зпр (Е, Ю Ез) = ацр Ег + зцр Е„ 1п1 (Е, (Б Е,) = (п! Е, +!п1 Е,. 604. Пусть Е и Š— связные множества на прямой.
Доказать, что Е 9 Е также связно. 605. Что представляет собой множество всевозможных расстоя- ний между точками канторова множества? 606. Пусть А — открытое множество на оси Ох,  — произвольное множество на той же оси. Доказать, что множество всевозможных расстояний между точками в 6 А и т! с В является либо открытым множеством, либо объединением открытого множества и одноточеч- ного (начала координат). 607.
Пусть 1(х) — числовая функция, определенная на всей оси Ох, имеющая производную для всех х, причем !1'(х)! < К, где К вЂ” заданное число, 0 < К < 1. Доказать, что уравнение х =1 (х) имеет решение, и притом единственное. 608. Пусть 1(х) — числовая функция, определенная на всей оси. Ох, имеющая производную для всех х, причем !)'(х)! ) К, где К вЂ” фиксированное число, К ) 1. Доказать, что уравнение х =1(х) имеет решение, и притом единственное.
609. Рассмотрим бесконечную систему уравнений: х, = ~ гихл+ Ь, (! = 1, 2, „), ь=! где ~ч'., с,'ь< 1, „~~(ч < +со. Доказать, что данная система имеет одно ~ь ' $. и только одно решение (х„х„...) в пространстве 1,. ! 610. Рассмотрим функцию 1(х) = — !пхиа участке! <х<-1- 2 Для любых х, 6 Г1, +со Г, х, 6 Г1, +ос Е имеем: (7 (х,)— — 1(хь)! = !1'(с) (х, — х,) ! < — !х, — х,~, где сс 3х„х,Г, Следова- 2 тельно, данное отображение сжимающее, Однако оно не имеет 1 неподвижной точки (уравнение х = — 1и х не имеет действительных 2 решений), Нет ли здесь противоречия с теоремой Банаха? х' 611.
Функция ~ (х) = — не имеет неподвижной точки, хотя 21х! для любых х, с Е, х, 6 Е, где Š— область определения функции 1(х), имеет место неРавенство !1(хз) — 1(х,)! < — !х, — хт!. 1 Нет ли здесь противоречия с теоремой Банаха? л Глаца Х!.
ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ (МОНОТОННОСТЬ, ОГРАНИЧЕННАЯ ВАРИАЦИЯ) Монотонные функции. Функция / (х) от одной действительной переменной называется возрастающей на множестве Е, если она определена всюду на Е и если для любых х, Е Е, х, Е Е, таких, что х, < хэ, выполнено неравенство /(х,) < /(хв). Если же дли всея х! Е Е, хэ 6 Е, х! < хэ выполнено неравенство / (х,) < < / (хэ), то функция называется строго возрастающей. Аналогично определяются убывающая и апрога убывающая функции. Если функция возрастает на множестве Е или убывает на множестве Е, то она называется монотонной на Е; аналогично определяется строго монотонная функция.
Бели функция монотонна на отрезке [а, Ь], то множество ее точек разрыва не более чем счетно и все ее точки разрыва — первого рода (см. выше, задача 67). Ввриацив фу>бенин. Пусть функция / (х) задана иа [а, Ь]; разобьем [а, Ь] на а отрезков точками х, < х, « ... х„,; обозначим, кроме того, а = хь, Ь = хее Рассмотрим следующую сумму; = ~яр„'~/( ) — /(,) ~. >=1 Эта сумма зависит от способа разбиения отрезка [а, Ь].
Если для всевозможных разбиений отрезка [а, Ь] эта сумма не превосходит некоторого положительного числа, то говорят, что функции / (х) имеет ограниченную вариацию (или ограниченное изменение) на [а, Ь]. При этом верхняя грань сумм б при всевозможных разбиениях [а, Ь] называется вариацией функции /(х) (или полным изменением ь функции / (х)) и обозначается Ч/; в ь и т// ьпр ~~~ (/(х!) — /(х>,) Ь а с=! где впр берется по всевозможным разбиениям отрезка [а, Ь]. Если множество сумм а не ограничено, то функция / (х) называется функцией несграниченной вариации; это записывается с помощью символического раь венства Ч/ = +ьь.
в Функции, имеющие ограниченную вариацию, коротко называют функциями ь ограниченной вариации. Для функций ограниченной вариации Ч/ < +со. в П р и м е р ы функций ограниченной вариации: !) всякая монотонная на [а, Ь] функция (в частности, и лк>бая разрывная монотонная функция); 2) всякая нейрерывная функция, имеющая ограниченную на [а, Ь] производную.
Следует заметить, что далеко не всякая непрерывная функция имеет ограниченную вариацию (см. задачу 645). Т е о р е м а !. Если функция имеет ограниченную вариацию на [а, Ь], то сна является разностью двух возрастающих функций. В частностя, всякую функцию / (х) ограниченной вариации на [а, Ь] мохсно представить в виде следующей разности: / (х) = и (х) — >р (х), я к где ф (х) = Ч/ (вариация функции / (х) на [а, х]), а >р (х) = Ч/ — /(х); >р (х) и в а ф (х) являются возрастающими функциями на [а, Ь].
ул Из теоремы, сформулированной выше, в частности, следует, ~что множество точек разрыва функции ограниченной вариации не более чем счетно и что все точки разрыва такой функции являются точками разрыва первого рода. Т е о р ем а 2. Если функция непрермена и имеет ограниченную вариацию на (а, Ь], то она нредстаеима е виде разности двух непрерменмх еозрастающих функций. Производная. Для функции одной переменной, определенной в некоторой окрестности точки х, можно определить обычным образом производную в точке х. Известно, что если производная функции г (х) в точке х существуее, то ! (х) непрерывна в этой точке; обратное утверждение неверно.
Если производная функции !' (х) существует всюду на ]а, Ь( и, кроме того, а точке а существует правая производная [„ (а) = 1пп ) (а + й) — Г (а) и-цо й а в точке Ь вЂ” левая производная геев (Ь) =- 1пп !'(Ь+ Ь) — /(Ь) ь — о Ь то говорит, что Г (х) имеет точную производную на [а, Ь], в этом случае функцию Г (х) называют точной производной функции [ (х). Если [а, Ь] есть область определения функции 1 (х), то вместо )„~(а) и 1 „(Ь) пишут просто Г (а) и Г (Ь).
Точная производная не обязана быть непрерывной функцией (см. задачи 612 — 614). Однаио точная производная обладает рядом важных свойств: Т е о р е м а 3 (Д а р б у). Если Г (х) имеет точную прои»годную на (а, Ь], причем !" (а) = А, Г (Ь) = В, то для любого числа С, заключенного между А й В, существует точка с с (а, Ь] такая, юпо К (с) = С (т. е. точнаи производная обладает свойством Дарбу). Т е о р е м а 4. Точная нроизеодная !" (х) не может ил»еть разрмеое первого рода.
Условие Гйльдера. Функцию ) (х) называют удовлетворяющей условию Гельдера порядка а (где а )~ О задано) на отрезке (а, Ь], если существует такое К ) О, что для любых х, Е (а, Ь], х» Е [а, Ь] выполняется неравенство 1[(х,) — [(х,)1< К )х, — х,)а. Число К называется константой Гельдера, а — показателем Гельдера. Легко видеть, что если функция удовлетворяет на (а, Ь] условию Гельдера порядка и ) О, то она непрерывна (и даже равномерно непрерывна) на [а, Ь]. В случае а = ! условие Гельдера называется условием Липшица (с константой Липшица К). Спрямляемые кривые. Пусть жорданова кривая (т. е. непрерывное отображение отрезка [а, Ь] оси Ш в)2н) задана непрерывными на (а, Ь]функциями х! = <р! (!), ..., х„= срн (1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
