Ю.С. Очан - Сборник задач по математическому анализу (1134952), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Доказать, что суперпозиция этих функций 1(~ (Г)) является измеримой функцией на Е. 695. Пусть ср (1) — функция, непрерывная на отрезке Е = = [а, 'р], и Е, = гр (Е) — ее множество значений. Пусть Г (х)— функция, измеримая на Е,. Обязана ли быть измеримой суперпозиция этих функций, т. е. функция ( (~р (1))? 696. Пусть Š— измеримое множество положительной меры, (1„) и (д„) — две последовательности измеримых функций, сходящиеся по мере на множестве Е соответственно к функциям 1(х) и д (х).
Доказать, что последовательности (1„+ к„), ((„к„), Ял сходятся по мере соответственно к функциям 1+ д, ф, — (послед- Ю нее — в случае, если д (х) ~ 0 почти всюду на Е). 66 697. Пусть ()„(х)) сходится по мере на Е к функции 1 (х). Доказать, что если для всех х ч Е и всех п имеет место неравенство ~„(х) < а, то г'(х) < а почти всюду на Е. 698. Понятие сходимости последовательности (1,(х)) по мере к ~р (х) на множестве Е можно обобщить (не меняя определения) на тот случай, когда Е измеримо, но имеет бесконечную меру. Верны ли для случая тЕ =+ о теоремы 1 и 2 (с.
81 — 82) о сходимости по мере из введения к настоящей главе? 699. Привести пример последовательности измеримых функций, сходящейся по мере на отрезке 1"О, 1], но не сходящейся в обычном смысле ни в одной точке этого отрезка. 700. Выделить из последовательности, построенной в предыдущей задаче, подпоследовательность, сходящуюся почти всюду на СО, 1]. 701.
Пусть Š— измеримое множество конечной или бесконечной меры, 6 > Π— заданное число. Можно ли из всякой последовательности (г",) измеримых на Е функций, сходящейся почти всюду на Е, извлечь подпоследовательность, сходящуюся равномерно на некотором подмножестве Е, ~ Е таком, что т (Е ', Е,) < б? 702. Доказать, что любая функция ограниченной вариации на 1"а, Ь] интегрируема по Риману на 1а, Ь]. 703. Может Ли быть интегрируемой по Риману на (а, Ь] функция, разрывная во всех точках некоторого непустого открытого множества 6 с:.1а, Ь]? 704. Показать на, примере, что из интегрируемости по Риману функции 1 (х) на всяком отрезке га, 6], где а < а < р < ь, еще не следует, что она интегрируема по Риману на 1а, Ь].
705. Доказать, что если 1 (х) интегрируема по Риману на всяком отрезке [а, (1] таком, что а < с» < р < Ь, и если она ограничена на Га, Ь], то она интегрируема по Риману на всем отрезке Га, Ь]. 706. Пусть последовательность функций (1„(х)), каждая из которых интегрируема по Риману на1а, Ь], сходится всюду на1а, Ь] к ~Г (х); пусть, кроме того, существует такое А > О, что 1Г„(х)! < < А для всех х ч ~а, Ь] и всех.и. Следует ли из этого, что функция ф (х) интегрируема по Риману на (а, Ь]? 707. Доказать, что предел равномерно сходящейся последовательности функций, интегрируемых по Риману на отрезке Га, Ь], является функцией, интегрируемой по Риману на Га, Ь]. Доказать, что интеграл от функции, являющейся пределом, равен пределу интегралов от функций данной последовательности.
708. Верно лн утверждение: «Если Š— множество меры нуль на (а, Ь], то Х (х) интегрируема по Риману на Га, Ь]»? 709. Верно ли утверждение: «Если Š— нигде не плотное множество на Га, Ь], то ув (х) интегрируема по Риману на Га, Ь]»? 710. Верно ли утверждение: «Если Š— нигде не плотное множество меры нуль на ~а, Ь], то уа (к) интегрируема по Риману на 1п, Ь]»? вт 711. Пусть Š— замкнутое множество меры нуль, расположен- ное на отрезке [а, Ь). Интегрируема ли функция ул (х) иа [а, Ь) по Риману? 712.
Верно ли утверждение: «Если Š— множество на [а, Ь), замыкание котоРого имеет меРУ нУль, то уэ (х) интегРиРУема по Риману на [а, Ь)»? 713. Интегрируемы лн по Риману на отрезке [О, Ц функции при- меров 486, 488, 489, 495, 502? 714. Доказать, что все функции, рассмотренные в этих примерах, интегрируемы по Лебегу на отрезке [О, Ц. Вычислить их интегралы на этом отрезке. 715. Функция Г (х) равна х' в точках канторова множества и 1 1 равна — на тех смежных интервалах, длина которых равна —.
2» 3« ! Вычислить (() ! 1 (х)дх. 0 716. Интегрируема ли по Риману функция из предыдущей за- дачи? Если да, то чему равен ее интеграл Римана? 717. Иитегрируема ли по Риману функция 1' х' в иррациональных точках, ( 1 в рациональных точках на отрезке [О, Ц? Интегрируема ли она по Лебегу? Чему равен ее интеграл на отрезке [О, Ц? 718. Доказать, что если Š— измеримое множество на [а, Ь), то его характеристичесная функция тл (х) интегрируема по Лебегу на множестве [а, Ь), причем ее интеграл равен мере множества Е: ь (Е)) 7, (х)ь(х = тЕ,. « 719. На отрезке [О, Ц построено нигде не плотное совершенное 1 множество Е меры —; смежные интервалы этого множества перену- 2 мерованы в порядке убывания их длин )им й»[ )а«й«[ " )а Р,[.
.... Затем на [О, Ц задана функция )'(х), определенная следую- щим образом: ~(х) =ОнаЕ, ! (Х) = 1 в серединах интервалов)сь„, р,[, Г(х) линейна на отрезках [и„, "+~"~ и [ " Интегрируема ли эта функция по Риману? Интегрируема ли она по Лебегу? Чему равен ее интеграл Лебега на отрезке [О, Ц? 720. Пусть! (х) — неотрицательная ограниченная измеримая на Е функция и мера множества тех точек из Е, где г (х) ь с, равна а.
Доказать, что (Е) )1(х)НХ вас. Е 721. Чему равен интеграл Лебега на множестве [О, Ц от функции 88 1 (х), равной х' во всех точках пересечения канторова множества и некоторого (даже и неизмеримого) множества Е и равной хо в остальных точках отрезка [О, Ц? 722. Вычислить интеграл Лебега от функции 7'(х) на отрезке [О, Ц, если 1 (х) = 10 в точках канторова множества, а на смежных интервалах графиком функции служат верхние полуокружности, опирающиеся на эти интервалы, как на диаметры.
1 723. Вычислить (Е) 11'(х)дх, если о х для х иррациональных, больших, чем 3 з' х' для х иррациональных, меньших, чем —, ! з' 0 в рациональных точках. 1 (х) 724. Вычислить с точностью до 0,01 интеграл Лебега от функции Зхо на множестве Е, которое получится, если из отрезка [О, Ц выбросить интервалы 1 —, 1~, ] —, — ~, ] —, — [, ..., ]2о 2о — 1~ 725.
Вычислить (Е) ]1 (х)о(х, если о [ з(ппх для хЕ О, — ПСР, 1 2 1(х) = сових для хЕ~ —, 1]ПСР, 11 х' для хсР„ где Р— канторово множество, а СР— его дополнение до всего отрезка [О, Ц. 726. Обозначим через () (х) функцию, значение которой в каждой точке х е [О, Ц равно й-му знаку в разложении числа х в бесконечную двоичную дробь. Доказать, что 1 1 (Е) ) ~, (х) ~1(х) о(х = — при 1Ф1, (Е) [((), (х))о дХ = —. о 4 Ъ 2 727. Обозначим через <р» (х) функцию, определенную на отрезке [О, Ц следующим образом: если на А-м месте в двоичном разложении точки х в бесконечную двоичную дробь стоит 1, то ~2 (х) = 1, а если на й-м месте стоит О, то 4~4 (х) = — !. Доказать, что система функций (ч~м ~р„..., ~рд, ...) ортонормирована на отрезке [О, Ц, т.
е. что 1 1 (Е) ~<р1(х) ~р1(х)Нх = 0 при 1Ф1, (Е)) (<р1(х))'о(х = 1. о 728. Доказать, что если ~р (х) имеет производную почти всюду на [а, Ь] и если ~р' (х) ограничена на [а, Ь], то ~р' (х) интегрируема по Лебегу на [а, Ь]. 729. Пусть (Г„(х) ) — последовательность измеримых па Е ограниченных неотрицательных функций. Пусть (Е) ~~„(х) пх — «О при и-» +оо.
Следует ли из этого, что Г„(х) -» О при п- +со всюду или хотя бы почти всюду на Е? 730. Пусть на !а, Ь) задана измеримая ограниченная функция 1 (х). Доказать, что если < г (х) дх =О при любом с с ! а, ь), то 7(х) а почти всюду на (а, Ь! равна нулю. 731. Вычислить интеграл Лебега от функции — на интер- 1 т'х — 1 вале )1, 2Г. 1 1 732. Суммируемы ли функции — и — на интервале !О, 1!7 х х« 1 733.
Вычислить (Е) ) 7'(х) дх, если о О для хЕР, — для хЕР, чх где Р— канторово множество. 1 734. Вычислить (Е)~)(х) !(х, если 1 — для х иррациональных, !(х)= гх х' для х рациональных. 735. Если ограниченная функция ~ (х) интегрируема по Лебегу на множестве Е, то будут ли интегрируемы по Лебегу на этом мно- жестве функции (Г (х))", )7 (х)~, — 7 7 (х) 736. Доказать, что если 7 (х) = О в точках канторова множества Р 1 и ((х) = п на его смежных интервалах ранга и, то (Ь) )) (х)Нх = 3. о 737. Доказать: «Для того чтобы неотрицательная функция 1 (х), измеримая на множестве Е конечной меры, была суммируема на Е, -! необходимо и достаточно, чтобы сходился ряд '~ й . тЕ», где Е„= »=о = Е (й ( 1 (х) < А + 1)».
738. Доказать: «Для того чтобы неотрицательная функция !" (х), измеримая на множестве Е конечной меры, была суммируема на Е, необходимо и достаточно, чтобы сходился ряд "',тЕ», где Е» = в = Е (г' (х) ) й)». 739. Доказать: «Если функция 1(х) суммируема на отрезка (О, а 1, то при любом положительном й функция ) (йх) суммнруема на а Р О, — ~ и 1'1".(х)г(х = — ) ~(йх)дх». 'о "о 740. Доказать, что функция — соз — не суммируема на ]О, 1С 1 а х х ни при каком й > О.
741. Пусть на (а, Ь) расположены п измеримых множеств Е,, Е,, ..., Е„; пусть каждая точка отрезка [а, Ь"1 принадлежит по меньшей мере д из этих множеств. Доказать, что хотя бы одна из множеств Е„Е„..., Е„имеет меру, ббльшую или равную (Ь вЂ” а) ч . 742. Пусть функция ~ (х) измерима на множестве Е конечной меры. Доказать, что существует измеримая функция ~р (х), положительная при всех х е Е и такая, что произведение 1(х)Ч~ (х) суммируемо на Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
