Ю.С. Очан - Сборник задач по математическому анализу (1134952), страница 24
Текст из файла (страница 24)
743. Построить на каком-нибудь множестве Е конечной меры последовательность ограниченных измеримых функций (1„(х)), сходящуюся к несуммируемой на Е функции ~р (х). 744. Построить на каком-нибудь множестве Е конечной меры последовательность суммируемых функций ()„(х)), сходящуюся почти всюду на Е к суммируемой функции ч~ (х) так, что 11ш (~„(х) Их чь ( <р (х) йх. л + 745. Построить на каком-нибудь множестве Е конечной меры последовательность суммируемых функций (~„(х)) такую, что а) ()„(х) ) сходится почти всюду к некоторой суммируемой функции ч (х); б) !пп ~ 7"„(х) бх = ) ~р (х) дх; л -~- и Е в) не существует суммируемой неотрицательной функции 6(х) такой, что 1~„(х)1 ( 6 (х) для всех п н почти всех х ч Е. 746.
Построить иа каком-нибудь множестве Е конечной меры последовательность суммируемых функций ()„(х)) такую, что а) ()„(х)) сходится по мере к некоторой суммируемой функции ~р (х), но не сходится к ней в обычном смысле ни в одной точке множества Е; б) 11ш Г у„(х) = ) <р(х) сух; и + Е в) не существует суммируемой неотрицательной функции 6 (х) такой, что 11„(х)1 ( 6 (х) для всех и и почти всех х б Е. 747. Пусть функция 1 (х) непрерывна всюду на отрезке (а, Ц, кроме точки а. Назовем эту функцию С-интегрируемой на 1а, Ь), если существует конечный предел интеграла ь ) Дх) ь(х (1) при 1-ь.
а -1- О; если функция 1 (х) С-интегрируема иа (а, Ь1, то предел интеграла (1) называется С-иньпегралом (или несобственным ь интегралом Коши) от функции 1 (х) и обозначается (С) )1 (х)ь(х. а ь ь (С)~~(х)ь(х = !пп ~1(х)с(х. а ь +оь Доказать, что если непрерывная функция на 1а, Ь1 суммируема по Лебегу на Га, К, то она и С-интегрируема на Га, Ь), причем оба интеграла равны друг другу. 748. Показать на примере, что существуют функции, непрерывные всюду на 1а, Ь), кроме точки а, которые С-интегрируемы на 1"а, Ь), но не суммируемы по Лебегу на этом отрезке. ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ чАсть пеРВАя ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ Глава1.
ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ () С. 5. Не вытекает. Из А ~ В =С вытекает лишь, А В т лишь, что с В Ц 6. Нет; из А = В () С вытекает лишь что А ~, В С ( . 5). ) Р венство справедливо; б) не верно; справедливо включение А () (В ", С) ~ (А () В) '~ С; в) не верно; справедливо включение (А '~ В) 0 С:э (А О С) ~, В.
10. См. рис. 6. (А, () Аи) '~ (В1 () В„) — область, заштрихованная квадратной штриховкой; (Ат '~ В,) () (А, " В ) — вся заштрихованная область. Здесь (Ах () А,) " (В () В ) 13. АЛХ = А означает, что (А ~, Х) () (Х ~ А) = А. Следовательно Х ', , Х ', А = И, т. е. та часть Х, которая не входит в А, пуста. С другой стороны, А ", Х = А, т. е.
Х П А = 8, так что та часть Х, которая входит в А, также пуста. Итак, Х = Ы. 15. Для случая б) ом. рис. 7. Здесь (А () В)бР— множество, заштрихованное квадратной штриховкой, а (АЛР) () (ВАР)— () (ВАР). все заштрихованное множество, так что (А () В)АРФ (АЛР) () 1Т. С (С (Х () У') П (СХ () СУ')) = С (С (Х () У')) () С (СХ () ) с~) = (х О к) О (ссх и сск) = (х О у) ) (х и к) = = Х () У, так как Х 0 У:э Х () У. 21.
а) Пусть (х,у) ЕЕ х(Р() б); тогда х ЕЕ, у ЕР() 6; следовательно, у Е Р или у Е 6; значит, (х, у) Е Е х Р или Вг Рис. б Рис. б Глава П. ВЗАИМНО ОДНОЗНАЧНОЕ СООТВЕТСТВИЕ 27. В заимно оди о иозначное соответствие между множествами ))Г и 5 можно установить с помощью функции у = х, где х уЕВ. 28. Расположим все четные числа (т. е. элементы мн ж о ества Т) в последовательность следующим образом: 0,2,— 2,4,— 4,6,— 6, ...,2й,— 2й, ..., и затем каждому чети к ом четному числу поставим в соответствие тот номер, который это число занимает в данной последовательности.
29. Запишем каждое число г Е Я~ в виде иесократимой дроби и назовем высотой числа г сумму числителя и знаменателя; ясно, что д с Рис. 9 А С Рис. В 94 (х, у) Е Е х 6; но в таком случае (х,у) Е(ЕхЕ) () (Ехб), т. е. Е х (Е () 6) ~ (Е х Р) () (Е х 6). (1) Точно так же доказывается, что (Е х Е) () (Е х 6) ~ Е х (Е 0 6). (2) Сравнивая включения (1) и (2), получим равенство а). Остальные равенства доказываются аналогично. 22. а) Справедливо для любых множеств А, В, С, (д , С, 77 (доказательство, как в задаче 21; см.
Рис. 8). б) Справедливо не для любых множеств А, В, С, )7 (см., например, рис. 9); однако всегда справедливо включение (А х В) () (С х Т)) ~ (А х С) () (В х Р), которое доказывается так же, как в задаче 21. 25. При пустом С из А х С ~ В х Р не следует, что А ~ В. имеется лишь конечное множество неотрицательных рациональных чисел данной высоты. Расположим теперь все неотрицательные ра- циональные числа в последовательность в порядке возрастания их о высот: на первое место поместим число 0 = — (это — число высо- 1 1! ты 1), затем — единственное число высоты 2 (число — ~, далее— ! 2! числа высоты 3 ( числа — и — ) и т.
д.; если какую-либо высоту име- 2 1~ ют несколько различных рациональных чисел, мы их располагаем в порядке возрастания. Таким образом, все элементы множества Я" расположатся в виде следующей последовательности: 0,1,—,2,—,3,—, —, —,4,—,5,—, Поставим теперь в соответствие каждому рациональному числу г из я ь тот номер и, который это число занимает в нашей последова- тельности; это соответствие является взаимно однозначным соот- ветствием между множествами Я4 и М.
ЗО. Не существует. Всякая функция 1 (х), представимая в виде частного от деления двух многочленов, имеет конечный или беско- печный предел при х-~-+со. Если Иш ! (х) =д (конечное число), к + то существует такое й1, что для всех Й ) Ж имеют место неравенства: д — 1 < !' (Ь) < д + 1. Но тогда тем рациональным числам, ко- торые лежат вне интервала ) д — 1, д + 1[, может соответствовать лишь конечное число номеров й (только те номера л, которые пред- шествуют числу М).
Следовательно, не все рациональные числа по- лучатся в виде значений Г (й). Если !1ш 1 (х) = оо, то рассуждения аналогичны (в этом случае к + рациональным числам, принадлежащим фиксированному интерва- лу ! — А, А[, может соответствовать лишь конечное число номеров л). 31. Линейное преобразование х = (Ь вЂ” а) 1+ а. 32. Функция х = с13 и!. 33. Функция х = а+ — агсс13!. 35. Выделим на интервале !О, 1[ какую;либо последователь- 1 1 ность попарно различных точек, например: х, = —, х, = —, х, = 2 3' ! 1 == —, ..., х„= —, ....
Установим следующее соответствие: точ- 4' ' " и+1' ке 0 отрезка ставим в соответствие точку х, интервала; точке 1 б с [О, 1] — точку х, 6 Д О, 1 [; точке х, = — е [О, 1) — точку хлч ! 2 1 ч)0, 1[; точке х, = — с[0, 1Д вЂ” точку х,ч"!О, 1[; и, вообще, точ- ке х„с[0, 1Д вЂ” точку х„4,е ДО, 1[ .„. Всем остальным точкам хс [0, Ц ставим в соответствие саму эту точку х.
Полученное со- ответствие взаимно однозначно (рис. 10). 95 О хакзх„кз ка Ч х, О хзха хз хз я х~ Рис. 10 36. Отобразить [О, !) наДО, 1[ (задача 35) и затем)0, 1[ на ] — оо, +со[ (задача 32). 37. Использовать метод, которым решена задача 35. 38. Отобразить )а, Ь[ на [а, Ь[ тем методом, каким решена задача 35, затем [а, Ь [ на !О, — ~ с помощью линейной функции; наконец, ["' О, — ! на [О, +со[ с помощью функции у = 13 х. 2 40.
Нет, так как непрерывная функция, определенная на отрезке [а, Ь), должна быть ограниченной. 41. Нет; если бы существовала непрерывная функция х = ~р ((), отображающая [а, Ь) на)с, д[, то на [а, Ь) не нашлось бы точки 1„ такой, что Ч~ (1,) = Ы (тогда как эцр Ч~ (1) = д). Это противоречило и 1а, ь1 бы теореме о том, что непрерывная на отрезке функция достигает на нем своей верхней грани . 42.
Нет, так как для непрерывной функции ~р (1), определенной на [а, Ь), верна теорема о промежуточных значениях (в частности, пусть ~р (1,) = 1, ~р (1,) = 3, где 1, Е [а, Ь), (, Е [а, Ь); тогда должна была бы найтись точка 1, Е [а, Ь) такая, что ср (1„) = 2). 43. Отображаем окружность на промежуток [О, 2п[, ставя в соответствие каждой точке окружности численное значение угла, составленного радиус-вектором этой точки с некоторым фиксированным радиусом. Затем промежуток [О, 2п[ линейным преобразованием отображаем на промежуток [О, 1[; наконец, последний промежуток отображаем на [О, !) методом, рассмотренным в задаче 35.
44. Сначала отображаем открытый круг х' + у' < 1 на круг с выколотым центром 0 < х'+ у' < 1. Для этого выделяем в открытом круге какую-либо последовательность попарно различных точек М, М„М,, ..., М„, ..., где М, — центр круга, и устанавливаем следующее соответствие: каждой точке Мь из круга х' + у' < < 1 ставим в соответствие точку М ч., из круга с выколотым центром.
Остальные точки обоих кругов (т. е. точки, отличные от всех М„) ставим в соответствие по принципу идентичности (т. е. каждой точке Ь! (х, у) из первого круга ставим в соответствие точку 1т' с теми же координатами из второго круга) (рис. 11). Затем открытый круг с выколотой точкой отображаем на до- полнение к замкнутому кругу с помощью инверсии: через произ- вольную точку М из круга и центр О проводим луч ОМ и на его продолжении находим точку М' такую, что ОМ ОМ' = 1.
Тогда точке М из круга с выколотым центром ставится в соответствие точка М' из дополнения к замкнутому кругу (рис. 12). Это соответствие взаимно однозначно. 45. Использовать метод решения задачи 35 для каждого отрезка, являющегося радиусом круга. 46. См. задачу 44. 47. Отобразить замкнутый круг на открытый (см. задачу 45), затем открытый — на дополнение к замкнутому (задача 44). 48. См. решение задачи 43 или задач 49 и 50. 49. Отображение производится с помощью так называемой «стиреогрофиигской проекпиии. Обозначим через Р, выколотую точку на сфере, а через М, диаметрально противоположную ей точку на сфере.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
