Ю.С. Очан - Сборник задач по математическому анализу (1134952), страница 28
Текст из файла (страница 28)
решение задачи 128); только на последнем шаге надо вместо неравенства ! ад! ( !х«м — ае! + ! х„е! воспользоваться неравенством ае ( 2 ((х„е — а„)' + х,',е). «оэ 132. Аксиома траугольннка проверяется интегрированием (в границах от а до Ь) неравенства ! ф (х) — «р (х)! ( (ф (х) — ][ (х)! + |у (х) — ф (х)!. Метрики в пространствах С(а, Ь) н С' [а, Ь] не эквивалентны. Например, последовательность функций ф ( х ) ( 1 ) заданных на [О, 1], сходится к ф(х) = 0 в метрике пространства С' [О, 1), но не сходятся вообще в пространстве С[0,1].
Аналогично строится пример для произвольного отрезка (а, Ь]. 133. Да. Действительно, умножая в неравенстве Коши — Буняковского обе части на 2 и затем прибавляя к обеим частям ь ь 1 (ф (х))' [[х + ) (ф (х))Чх, получим после преобразований: ь ь /ь ) (ф+ ф)ьь]х( ~/ ) фкь]х+ ~/ ) фЧх. Пусть теперь и, о и в — произвольные непрерывные функции на [а, Ь]; подставляя в последнее неравенство ф = и — о, ф = о — в, получим: р (и, в) ( р (и, о) + р (и, в), т. е.
аксиома треугольника выполнена. Выполнение аксиомы симметрии очевидно. Легко проверяется и выполнение аксиомы тождества. 134. Выполнение первых двух аксиом метрики очевидно. Справедливость аксиомы треугольника вытекает из неравенств зцр (! [ь (х) — Гь (х) ! + ! а, (х) — дь (хК) ( «[па ь] ( зир ((6 (х) — Уь (хН + ! [ь (х) — Рь (хИ + ! а (х) — гь (хИ + к[ [а, Ь] + (дь (х) — дь (х)!) ( Ьир (([ (х) — [ь (х)! + (д, (х) — дь (х)!) + «[ [а.
Ь] + зцр (! )ь (х) — )ь (х) ! + ! дь (х) — йь (х) !). к[ [а. Ь] Далее, если (([„, 3„)) — фундаментальная последовательность в г [а, Ь), то (1„) и ([[„) — фундаментальные последовательности в С [а, Ь|, а стало быть, сходятся в С [а, Ь1. Обозначим предельные функции соответственно 1 и д.
Из неравенства р(Д„, 3„), Кй)) (ьцр ([„(х) — Г(х)!+Ьцр !3„(х) — 3 (х)! «Е [а, Ь] «[[а, М следует, что р ((['„, д„), ([,3))- 0 прн и- оо, Таким образом, Р [а, Ь] — полное пространство. 135. Вот пример фундаментальной последовательности функций из С' [а, Ь], не имеющей предела в этом пространстве: <р„(х) =- а+Ь 1Ь вЂ” а 1 при а ( х « (— — — —, 2 л 2 0 при — (х «(Ь, а+Ь а+Ь 1 Ь вЂ” а а+Ь линейна при — — — — «( х «(— 2 л 2 2 136.
См. реп]ение задачи !35. 137. Пусть (1„) — фундаментальная последовательность функций из Е и Г' — ее предел в С [а, Ь). Так как А ( ]„ (х) «( В для всех и и всех х ч [а, Ь], а 1(х) = Иш 4 (х) в каждой точке л х с [а, Ь), то и А ( г (х)(В в каждой точке х б [а, Ь"], т. е. г' б Е. Следовательно, Е полно. 138. См. решение задачи 137. 139.
Не следует. Например, в промежутке т =~ — —, — 1 обыч- 2 2( ная метрика р, (х, у) = (х — у( и метрика р, (х, у) = ((п х — 1д у( эквивалентны, однако пространство (т, р,) не полно, тогда как (т, р,) изомегрично числовой прямой и потому полно. 140. Достаточность неравенств для эквивалентности метрик р, и р, очевидна. То, что эти неравенства не являются необходимыми, показывает пример, построенный в решении задачи 139. 141.
В соответствии с задачей 140 эквивалентность метрнк р, и р, в пространстве С, следует из неравенств зпр (~ ] (х) — д (х)! + ~]' (х) — д' (х) ]) ( зпр |) (х) — д (х) ~ + хй. Ь] мм. ь] + зпр )/' (х) — 1(' (х)! ( 2 зпр ((г(х) — д (х)(+ 11' (х) — д' (х)(). жы, ь] лна, Ы Докажем полноту пространства (С„р!). Пусть (],) — фундаментальная последовательность в (С„р,).
Тогда (]"„) и (1ч') — фундаментальные и, значит, сходящиеся последовательности в С [а, Ь). Пусть ] и д — их пределы, т. е. (]„) равномерно сходится к 1 иа [а, Ь~, а (Я вЂ” к д. Как известно из курса анализа, в этом случае я =1'. Следовательно, (]„) сходится к ) в (С„р!) и тем самым (С„р,) полно. Полнота пространства (С„р,) доказывается аналогично. 142. Докажем, что расстояние между классами А и В ие зависит от выбора точек а б А и Ь б В.
Пусть а' б А н Ь' 6 В. Тогда р (а', Ь') ." р (а', а) + р (а, Ь) + р (Ь, Ь') = р (а, Ь). Аналогично р (а, Ь) ( р (а', Ь') и, значит, р (а, Ь) = р (а', Ь'). Далее, если а б А и Ь б В, А чь В, то по определению р (а, Ь) Ф О. Следовательно, аксиома тождества выполняется. Выполнение остальных аксиом метрики очевидно. !43. Не будет (ие выполняется первая аксиома метрики). Разбиение множества Х на классы следует произвести так, чтобы функции из одного класса отличались друг от друга на постоянную. 144. Выполнение аксиом метрики проверяется так же, как в задаче 126.
Полнота пространства (Х, р) доказывается по тому же плану, что и полнота пространства 1, в задаче 128. !45. Полнота пространства А П В очевидна. Докажем полноту пространства А () В. Пусть (х„) — фундаментальная последовательность точек из А () В. Тогда либо А, либо В содержит бесконечную подпоследовательность (х„) из (х„). Последовательность (х„) также фундаментальна (в пространстве А, для определенности). Так как А полно, то (х ) сходится. Пусть р(х, х,) — «О. Из фундаментальности последовательности (х„) легко следует тогда, что и р (х„, х,)- О, т. е.
последовательность (х„ ) сходится. Пространство А ' В может оказаться неполным. П р и м е р. А — числовая прямая,  — отрезок ( — 1, 11 с обычной метрикой. 146. Если последовательность ((х„, у„) ) фундаментальна в Х х У, то, как видно из формулы (1), (х ) и (у„) фундаментальны (и, значит, сходятся) соответственно в Х и У. Пусть х, =1пп х„и у, =* л =1!ш у„; тогда (х„у,) = Еш (х„, у„) в пространстве Хс У с и Л данной метрикой. 147. См. решение задачи !46. 148. Это непосредственно следует из формул (1) или (2).
Глава Ч. ЗАМКНУТЫЕ И ОТКРЫТЫЕ МНОЖЕСТВА 149. Если х Е У(х„е), то х =11шх,, где х, Е У(х„е). Из неравенств р (х, х,) ( р (х, х„) + р (х„, х,)( р (х, х„) + е получаем (переходя к пределу при п — ао), что р (х, х,) ~ е. Но это и означает, что х Е В (х„е). Таким образом, У(х„е) с: В (х„е). Примером пространства, в котором У (х„е) ч~ В (х„е), может служить непустое множество Х, наделенное метрикой задачи125 (т. е. р (х, у) = 1 прн х ~ у и р (х, у) = О при х = у). Для любой точки х, Е Х имеем: У (х„1) = У (х„1) = (х,), а В (х„1) = Х. Поэтому, если Х содержит более одной точки, то У (х„1) ~ В (х„1). С другой стороны, для таких пространств, как )т, 1„1„С (а, 51, при всех х, и е будет В (х„е) = У (х„е).
Докажем это, например, для пространства С ! а, 51. Пусть 1 Е В (~„е); положим 1„=(! — — )!'+ — 1,. Тогдаг„Е У(1„, е) и !' =11п!1„, так что ! ! 1 и) и л УЕУ(Р...) ' !50. Пусть (А ) — произвольное (конечное или бесконечное) семейство множеств и (1 — его объединение. Так как А с: У, то АС ~ (1 для каждого ~ и, значит, () АС с: (7. В частности, А () В ~ А () В. Пусть теперь с Е А () В. Если бы с Е А () В, 1!2 то существовали бы е„) 0 и ав ) 0 такие, что Г (с, ад) не пересека- ется с А, а г' (с, ав) — с В. Но тогда г' (с, е), где в = пнп (а, аа), не пересекалось бы с А () В, а это противоречит тому, что с— точка прикосновения для А () В.
Таким образом, А () Вс: А () В и, значит, А () В =А () В. Для бесконечного семейства множеств равенство не всегда име- ет место. Пусть, например, А„ = [ †, — ~ (и = 1, 2, ...). 1 11 в+1 п~ Тогда ()А„= () А„=]0, Ц, а 0 А„=[0, Ц, так что () А„Ф л л л И чь Ц А„. Другой п р и м е р: множество всех рациональных точек отрезка (О, Ц есть объединение последовательности одноточечных (и потому замкнутых) множеств, а его замыканием служит весь от- резок !О, Ц.
151. Утверждение х 6 С (Е ) означает, что х не есть внутренняя точка множества Е, т. е. что никакая окрестность точки х не содер- жится в Е. Но это равносильнотому, что всякая окрестность точки х содержит точку из СЕ, т. е. х 6 СЕ. Таким образом, х 5С(Е) тогда и толькотогда, когда х 6 СЕ, т. е. С (Е') = СЕ. Заменив вэтом равенстве Е на СЕ и перейдя к дополнениям, получим второе ра- венство.
152. Равенство А' П В' = (А П В)' всегда верно. Для беско. нечного семейства множеств (Аг) верно включение П Ас -э (П Ас)', однако равенство справедливо не всегда (п р и м е р: А„= ~ — —, 1 + — [ (и = 1, 2, ...)). 1 ! Г ч а 1 153. Включение А' () В' с: (А () В)' очевидно. Однако ра- венство не всегда имеет место (п р и м е р: А =(О, Ц, В =Г1, 2)), 154. Этому условию удовлетворяет, например, множество Е, 1 !1 ! 1 точек на прямой: 1 —, —, — ... — ..., О.
2 3 4 и Здесь Е, = (0) (одноточечное множество), Е, = 8. 155. а) Пустое множество и вся плоскость; б) любое непустое открытое множество на плоскости, отличное от всей плоскости; в) прямая х = О. 156. Точка а — граничная для Е тогда и только тогда, когда каждая ее окрестность содержит как точку нз Е (т. е. а ч Е), так и точку из СЕ (т. е. аТЕ'). Таким образом, Рг Е == Е" Ь .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
