Ю.С. Очан - Сборник задач по математическому анализу (1134952), страница 29
Текст из файла (страница 29)
157. Согласно задаче 156, Рг (А () В) = А () В ', (А () В)'. Но, очевидно, (А О В)':э А' () В', а по задаче 150 А () В ~ ~ А () В. Следовательно, Рг (А Ц В) с (А () В) ' (А' () В ) с (А '~ А') () (В ~, В') = РгА () РгВ. ыз Если же Е является объединением бесконечной совокупности множеств, то аналогичное утверждение уже неверно. Н а п р и- !1 11 м е р, возьмем на числовой прямой множества Е„= ~ —, 1 — — ~ (« «~ (и = 1, 2, ...).
Тогда Е = (3 Е„= 30, 1[, так что Гг Е = (О, 1); « г! 1т но тачки 0 и 1 не содержатся в () Гг Е„= () ~ —, 1 — — ~. «~ 158. Пусть а — точка прикосновения для Е и У (и) — произвольная ее окрестность. Тогда У (а) содержит точку Ь 8 Е. Рассмотрим окрестность У (Ь) точки Ь, включающуюся в У (а). Так как Ь ч Е, то У (Ь) (а значит, и У (а)) содержит точку из Е. Итак, произвольная окрестность У (а) точки а содержит точку из Е, т.
е. а 8 Е. Таким образом, Е содержит все свои точки прикосновения, т. е. Е замкнуто. 159. Пусть а 8 Е' и У (а) — произвольная окрестность точки а. В У (а) найдется точка Ь 8 Е'. Возьмем какую-либо ее окрестность У (Ь) с: 1'(а). Так как Ь вЂ” предельная точка для Е, то в У (Ь) (а значит, и в У (а)) содержится бесконечно много точек из Е. Следовательно, а 8 Е'. Тем самым Е' ~ Е', т. е. Е' замкнуто. 160. Это вытекает из легко проверяемого равенства Гг Е = = Е () СЕ и из того, что множества Е и СЕ замкнуты (задача 158). Замкнутость Гг Е можно доказать также непосредственно — таким же способом, как и утверждение задачи 158.
161. Н е о 6 к од и м ос т ь. Пусть метрики р, и р, эквивалентны и Е замкнуто в (Х, р,). Если х, — точка прикосновения для Е в (Х, р,), то существует последовательность (х„) точек из Е такая, что р, (х„, х«) -~ О. Тогда и р, (х„, х,) — О, т. е. х, — точка прикосновения для Е в (Х, р,) и, значит, х, 6 Е; тем самым Е замкнуто в (Х, рД. Аналогично, если Г замкнуто в (Х, рч), то Г замкнуто в (Х, р,). Д о с т а т о ч н о с т ь. Пусть совокупности замкнутых множеств в (Х, р,) и в (Х, р,) совпадают, и пусть р,(х„, х,) — 0 при п — со.
Если (х„) не сходится к х, в (Х, р,), то существуют подпоследовательность (х„) и число е > О такие, что р, (х„, х,) > е при любом й. Пусть Š— множество, образованное точками х, и «ь' Š— его замыкание и метрике р . Ясно, что х, 6 Е. Но так как Е замкнуто в (Х, р,) (задача 158), то по условию оно замкнуто также в (Х, р,) и, значит,должносодержатьх (поскольку р, (х, х,) -э О). Полученное противоречие показывает, что р (х„, 0)-~ О.
Аналогично из р, (у„, у,) — 0 вытекает р, (у„, у,)-+О, т. е. метрики р, и р, в Х эквивалентны. 162. Объединение этих окружностей замкнуто, если последовательность г„, г„ ..., г„, ... не ограничена, и не замкнуто, если она ограничена; в последнем случае замыкание объединения окружно- $14 стей получится, если к ним добавить пре- ткл дельную окружность радиуса а Иш гл.
л л 163. Это множество замкнуто, если Иш гл = +со (в этом случае оно совпадает л со всей плоскостью); оно не замкнуто, если Ишгл =а <+со. В обоих случаях л это множество является открытым. 166. Обозначим через Сл окружность 7 радиуса — км с центром на земной оси, 2яи расположенную в северном полушарии на Рис.
16 поверхности Земли; длина этой окружнос- 7 ти равна — км (рис. 16). Через В, обозначим окружность, рас- и положенную на поверхности земного шара на 7 км южнее, чем С . Тогда искомое множество Е таково: Е=Вг0Влц "0Рл, где Р, — одноточечное множество, образованное Южным полюсом. Множество Е не замкнуто. Кроме точек окружностей В„В,, ..., предельными являются также все точки окружности А, отстоящей на 7 км южнее Северного полюса (окружность А не входит в Е). Поэтому Е=ЕО А, Е'=(Е () А)',Р,. 166.
Пусть ь — точка прикосновения множества Е„т. е. в Е, существует последовательность (х„), сходящаяся к ь. тогда! (ь) = = Иш 1 (хл) (в силу непрерывности функции 1). Так как л л 1 (хл) ) а для всех и, то также 1 Д) ) а. Следовательно, Ь Е Е, и, значит, Е, замкнуто. 166. Пусть ~р б Е. Тогда в Е существует последовательность (7„), сходящаяся в С'10, !) к ср. Так как 1„(х) ((л (х) для всех х с (О, 1! и всех а, а ~р (х) = И ш 7„(х) в каждой точке х с 1О, !Ь то и 7 (к) ~( Дл (х) для всех х с!О, Ц, т. е. ~Р с Е.
Следовательно, Е замкнуто. 167. Требуется доказать равносильность включений а) Е ~ Е, б) Е ~ Е', в) Е:з Гг Е. Так как всегда справедливы включения Е' ~ Е и Гг Е ~ Е, то из а) следует б) и из а) следует в). С другой стороны, так как Е ~ Е () Е', то из б) следует а); а так как Е = = Е' () гг Е и Е' ~ Е, то из в) следует а). 168. Согласно задаче 188, Е замкнуто. С другой стороны, если Е с: Р и Р замкнуто, то Е ~ Р = Р. Тем самым Š— наименьшее замкнутое множество, содержащее Е. 115 169. Так как Е' замкнуто (задача !59), то Е' ~ Е':з Е".
Со- вершенно так же Е" а Е" и т, д, 170. Так как для любого Е множество Рг Е замкнуто (задача !60), то Рг (Рг Е) с:. Рг Е (задача !67). Если же Е замкнуто, то Рг Е с Е; следовательно, (Рг Е)' ~ Е' и потому, согласно зада- че 156, Рг (Рг Е) = Рг Е ', (Рг Е)' = (Е " Е') ' (Рг Е)' = = Е ', Е' = Рг Е. Для произвольного Е равенство Рг (Рг Е) = Рг (Рг (Рг Е)) сле- дует теперь из замкнутости множества Рг Е. 171.
Если (х„) — фундаментальная последовательность точек из Е, то (х„) фундаментальна и в Х, а значит, сходится в Х к неко- торой точке х. Так как Е замкнуто, то х 5 Е; поэтому (ха) сходится к х и в Е. Следовательно, Е полно. 172. Так как Е незамкнуто, то существуют последовательность (х„) точек из Е и точка х 5 Х такие, что х„- х, но х ТЕ. Тогда (х„) фундаментальна, но не сходится в Е. Следовательно, Е не- полно. 173. Нет, не будет, так как Х незамкнуто в пространстве М ! а, Ь! (см. задачу 129). Например, положим 7„(х) = а+Ься ! = р (х — — ~ + —. Тогда ),5Х при каждом п, но (7"„) схо- 2 ~ а дится в М!"а, Ь! к функпии г" (х) = ~х — — ~, не имеющей про- а+Ь~ 2 изводной в точке — Ела, ЬЗ.
а+Ь 2 174. Это множество не является совершенным. Но добавление к нему одной точки (начала координат) делает его совершенным. 175. Объединение конечного семейства совершенных множеств всегда является совершенным множеством. Объединение же счетного семейства совершенных множеств не всегда совершенное множество (см. примеры в решении задачи 150). 176. Пусть Š— данное множество и х, 5 Е'. Надо доказать, что х, — внутренняя точка множества Е'. Для этого опишем около х, окрестность 1'(х,), входящую в Е (что возможно, так как х,— внутренняя точка множества Е).
Каждая точка х 5 У (х,) также бу- дет внутренней точкой множества Е (так как около х можно описать окрестность )г (х), входящую в )г (х,) и тем самым входящую в Е). Итак, всякая точка х 5 У (х,) является точкой из Е'. Значит, х,— внутренняя точка множества Е'. Таким образом, каждая точка множества Е' является его внутренней точкой, т.
е. Е' — откры- тое множество. 177. Согласно предыдущей задаче, Е' — открытое множество. С другой стороны, если 0 с: Е и б — открыхое, то б = 6' ~ Е'. Тем самым Е' — наибольшее открытое множество, содержаще- еся в Е. 178. Это следует из того, что Е = () $'(х, е). жА ыь 179. У к а з а н и е. Используйте свойство непрерывной функции: если непрерывная функция положительна в точке х„то она положительна и в некоторой окрестности этой тачки. 180, Пусть ф ч Е, т. е. А «р (х) < В всюду на [О, Ц. Обозначим зпр юр (х) = /), 1п1 ч (х) = а. Ясно, что зцр ~р (х) не может рав- «!О,п «!К!! «!КП няться В, так как по свойствам функций, непрерывных на отрезке, ацр ~р (х) достигается в некоторой точке х' отрезка [О, Ц: р = !р (х').
Так как !г (х') < В, тор < В. Аналогично а > А. Обозначим через е наименьшее из чисел а — А и  — !1. Тогда все функции т, удовлетворяющие для каждого х ч [О, Ц неравенствам !2 (х) — е < < т (х) < !2 (х) + е, принадлежат множеству Е. С другой стороны, эти функции т образуют е-окрестность функции ч, так как все эти функции, и только они, удовлетворяют условию: р йр, т) < е.
Итак, вместе с функцией ~р в множество Е входит также некоторая ее окрестность, а это и означает, что Š— открытое множество в С[0, Ц. 181. См. решение задачи 180. 182. Пусть Ед — открытый круг па плоскости с центром в на! чапе координат и радиусом —.
Тогда [) Еь является одноточечным « «=1 множеством (образованным началом координат). Оно не является открытым множеством. 183. Неверно. П р и м е р. Š— множество на плоскости, являющееся объединением замкнутого круга О и одноточечного множества, лежащего вне О. Тогда Е' = )7' и Е' = В, но Е ~ О. Однако для всякого замкнутого множества Е имеет место включение Е' ~ Е. 184. Нет. П р и м е р. Š— открытый круг на плоскости с выколотым центром; здесь (Е)' Ф Е. Однако для всякого открытого множества Е справедливо включение (Е)':з Е.
185. У к а з а н и е: примените результаты задач 183, 184. 186. Каждое из множеств Е„замкнуто (см. задачу 165). Так как ) — непрерывная функция на отрезке, то существует й! такое, что !! (х) ~ < й! для всех х е [а, Ь); следовательно, все Е„при и > У пусты. Поэтому множество Е, () Е, () ... [) Е,«! () ... есть объединение конечного числа непустых замкнутых множеств и, следовательно, замкнуто. 187. Неверно. П р и м е р. Пусть Е„= 1 — 1+ —, — — '! [) 10, 1 — — ! (а)~ 2) ( тогда [) Е„= — ] — 1, 1[) и Р = ~ — —, — ~ ~ () Е„; здесь Р не «=2 2 2 п=з содержится в Е„ни при каком и. ! 1 188.
П р и м е р. Множество Е всех чисел вида 1 + — + — + ... ! 2 3 ...+ — (а=1, 2, ...). а !!т 189. Ясно, что Е П Е' = И. Если Е' пусто, то Е замкнуто. Если же Е' непусто, то опишем около каждой точки множества Е' 1 открытый шар радиуса —, а объединение этих шаров (при фиксии рованном и) обозначим А„; далее, положим В„= Е '~ А„. Тогда каждое В„замкнуто (оно не имеет предельных точек), и () В„= Е. л Следовательно, Е есть множество типа Р .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
