Ю.С. Очан - Сборник задач по математическому анализу (1134952), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Мощность континуума (см. задачи 79 и 59). 81. Перестановка натурального ряда есть последовательность натуральных чисел, элементы которой попарно различны и в совокупности исчерпывают весь натуральный ряд. Поэтому множество всех перестановок натурального ряда, как часть множества всех последовательностей натуральных чисел, имеет мощность, не превосходящую мощность континуума (см. задачу 80).
Докажем теперь, что мощность множества всех перестановок натурального ряда не меньше мощности континуума. Назовем перестановку множества полной, если при ней ие остается «неподвижным» ии один элемент множества. Как легко видеть, каждое множество натуральных чисел, содержащее более одного элемента, допускает полную перестановку. Поставим в соответствие каждому множеству Л(с: Ф ~ (1, 2) (где !ч' — множество всех натуральных чисел) перестановку натурального ряда, оставляющую все элементы из М на месте и подвергающу!о 7!7', М какой-либо полной перестановке (множество Ф' М допускает полную перестановку, так как оно состоит более чем из одного элемента).
Тогда разным М будут соответствовать разные перестановки, поскольку у этих перестановок различны множества их неподвижных элементов. Поэтому мощность множества всех перестановок натурального ряда не меньше мощности множества всех подмножеств счетного множества Ф ~, (1, 2), т. е. не меньше мощности континуума. 82. Мощность континуума.
Действительно, множество всех конечных последовательностей действительных чисел есть объединение + ()А„, где А,— множество всех последовательностей длины п. и=! Тг А,=В ...хВ, д  — дю иых чисел, и так как В )О, Ц, то А„эквивалентно множеству !М~~...х!!,Л.н й ж,!! (это получается по индукции, см. задачу 77).
Значит, А„имеет мощность континуума и потому эквивалентно промежутку )и — 1, и). + А тогда () А„(т. е. множество всех конечных последовательностей л=! действительных чисел) эквивалентно множеству )О, Ц())1, 2]()... ... = )О, +оо1" и, следовательно, имеет мощность континуума. 83. Обозначим через Е„множество всех тех стационарных последовательностей натуральных чисел, у которых члены, начиная с $02 некоторого номера, равны й. Множество Е, счетно. Действительно, каждая последовательность из Е„отличная от (lг, А, ...), предста- вима в виде (а„ам ..., а„, й, Й, ...), где а Ф й; но такой последовательности можно поставить в соответствие конечную последовательность из натуральных чисел (ам ам ..., а ); множество же таких конечных последовательностей, как легко видеть, счетно.
Теперь остается заметить, что Е = ()Е„. 84. См. решение задачи 83 (использовать задачу 82). 85, 86. Мощность континуума. 87. Мощность континуума. У к а з а н и е. Установите взаимно однозначное соответствие между множеством всех рапиональиых чисел и множеством всех натуральных чисел. Тем самым установится взаимно однозначное соответствие между множеством всех последовательностей натуральных чисел. Далее см.
задачу 80. 88. Мощность континуума. 89. Мощность континуума (каждому отрезку 1"а, Ь< соответствует точка с координатами а, Ь на полуплоскости у > х; это соответствие взаимно однозначно, а множество точек полуплоскости у > х имеет мощиость континуума). 90. Мощность этого множества конечна или счетна. 91. Мощность континуума. У к а з а н и е. Каждому кругу (х — а)' + (у — Ь)' ( <с' поставьте в соответствие точку трехмерного пространства с координатами а, Ь, <с и затем найдите мощность полученного множества точек пространства. 92. Может; например, множество всех окружностей, имеющих общий центр. 93. Любое множество попарно не пересекающихся букв Т будет не более чем счетным. Докажем это. Поставим в соответствие каждой букве Т из данного множества тройку рациональных точек М, <У, Р на плоскости так, чтобы отрезок М<)<' пересекал ножку буквы Т, а отрезки МР и ЙР пересекали боковые отростки этой буквы (рнс. !4).
Тогда одной и той же тройке рациональных точек М, <)<, Р может соответствовать не более одной буквы Т (легко доказать, что если бы этой тройке соответствовалн две различные буквы Т, то они бы пересекались). Итак, между заданным множеством букв Т и некоторым множеством троек рациональных точек на плоскости установлено взаимно однозначное соответствие. Так как множество таких троек ие более чем счетно, то и множество попарно не пересекающих букв Т не более чем счетно.
94. Такое множество может иметь любую мощность, меньшую илн равную мощности континуума. Для тогочтобы в.этом убедиться, построим произвольное множество Е на прямой у = — хи через каждую точку этого множества проведем бук- Рис. 14 <вз 9 ву Г, приняв эту точку за вершину угла буквы Г и направив отрезки буквы Г параллельно осям координат (рис. 15). Все построенные буквы будут попарно не пересекающимися, и множество этих букв имеет мощность, равную мощности множества Е.
95. Мощность континуума. Действи'тельно, пусть х„х,, х„... — произвольная последовательность действительных чисел. В силу результата задачи 80, каждому числу х„(п = 1, 2, 3, ...) соответствует последовательность натуральных чисел с, с, с, ... Перенумеруем множество всех пар натуральных чисел (а, т): (пм и,), (а„т,), (п„т,), ... (это возможно, так как множество таких пар счетно и поставим в соответствие последовательности х„х„х,, ... последовательность натуральных чисел с, с„, с, ... Как легко видеть, тем самым устанавливается взаимно однозначное соотвстствие между множеством всех последовательностей действительных чисел и множеством всех последовательностей натуральных чисел. Значит, в силу результата задачи 80, рассматриваемое множество имеет мощность континуума.
96. Мощность континуума. 97. Мощность этого множества не меньше мощности гиперконтинуума. Действительно, множество функций на 1"а, Ь], принимающих всего два значения: 0 и 1, уже имеет мощность гиперконтинуума, так как множество этих функций находится во взаимно однозначном соответствии с множеством всех подмножеств отрезка (а, Ь] (каждой такой функции ставим в соответствие множество всех тех точек отрезка 1"а, Ь], в которых она равна нулю). С другой стороны, каждой числовой функции ~, определенной на 1а, Ь], соответствует ее график, т. е. множество точек плоскости вида (х, ~ (х)), где х пробегает отрезок (а, Ь]; при этом разным функциям соответствуют разные графики. Следовательно, мошдость множества всех числовых функций на (а, Ь] не больше мощности множества всех подмножеств плоскости, т.
е. не больше мощности гиперконтинуума. Применяя теорему Кантора — Бернштейна, получаем требуемый результат. 98. Рассмотрим множество Я всех рациональных точек отрезка 1а, Ь], занумерованное каким-либо образом: 9 = (г„г„...). Поставим в соответствие каждой непрерывной на 1а, Ь] функции 7" последовательность действительных чисел )'(г,), 1(г,), ... Так как непрерывная функция на (а, Ь] полностью определяется своими значениями в точках множества Я, тотем самым устанавливается взаимно однозначное соответствие между множеством всех непрерывных функций на [а, Ь] и частью множества всех последовательностей действительных чисел. Значит, в силу результата задачи 95, мощность 104 множества всех непрерывных функций на ~а, Ь) не больше мощности континуума. С другой стороны, она и не меньше мощности контину- ума, так как все функции, постоянные на отрезке 1а, Ь5, уже обра- зуют множество мощности континуума.
Остается применить теорему Кантора — Бернштейна. 99. Мощность гиперконтинуума. 100. Обозначим через А множество всех функций вида йх, где й ) 0, "через В множество всех строго возрастающих непрерыв- ных функций; через С множество всех непрерывных функций. Тогда А с:. В с С. Но А и С имеют мощность континуума; следователь- но, В также имеет мощность континуума. 101.
Мощность континуума. У к а з а н и е. Учтите, что мно- жество всех точек разрыва монотонной функции не более чем счет- но и что у такой функции все точки разрыва являются точками раз- рыва первого рода (см. решение задачи 67), а также то, что множе- ство всех счетных подмножеств отрезка 1"а, Ь) имеет мощность кон- тинуума (задача 96). 102. Мощность континуума. 104. Мощность континуума.
Для доказательства установим взаимно однозначное соответствие между множеством А всех беско- нечных десятичных дробей, в десятичном разложении которых от- сутствует 7, и множеством В всех бесконечных д е в я т и р и ч- н ы х дробей на отрезке 10, Ц: каждой десятичной дроби из А ставим в соответствие дробь из В, которая получится из первой дро- би, если в ней повсюду цифру 9 заменить цифрой 7. Это соответствие взаимно однозначно. Но В =10, Ц = с; следовательно, А = с. 105. Мощность континуума.
Взаимно однозначное соответствие между множеством А десятичных дробей указанного вида н множе- ством В всех десятичных дробей устанавливаем следующим обра- зом: каждой бесконечной дроби из А ставим в соответствие беско- нечную дробь, получающуюся из нее вычеркиванием цифры, стоя- щей на третьем месте, например: дроби х = 0,257361... 6 А соот- ветствует дробь у = 0,25361... Е В; дроби х = 0,237758... Е А соответствует дробь у = 0,23758... е В. Множество В имеет мощ- ность континуума; следовательно, А также имеет мощность конти- нуума.
106. Мощность континуума. 107. Мощность континуума (см. задачу 104). 108. Да; любое множество А ', С, где С вЂ” какое-либо конечное подмножество множества А, эквивалентно В. 109. А = (А ", В) 0 (А П В)' В = (В" А) () (А П В) При этом А ", В и А П В не имеют общих точек, так же, как и множе- ства В" А и А П В. Так как А', — В~,А поусловиюи А ПВ-А ПВ,то А-В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
