Ю.С. Очан - Сборник задач по математическому анализу (1134952), страница 30
Текст из файла (страница 30)
190. 1л есть множество, все точки которого изолированные; следовательно, в силу предыдущей задачи, 1з — множество типа Р,, 191. Такой пример можно привести не в любом пространстве (например, на прямой или в евклидовом пространстве любое множе- ство изолированных точек не более чем счетно). Однако, например, в пространстве М ((О, Ц) (см. задачу 129) множество функций (О при 0 (х ($, (1 при $ (х (1, где э пробегает интервал )О, 1(', является несчетным, а все его эле- менты изолированные.
Другой пример см. в решении задачи 373. 192. з-окрестностью точки х 6 Я в Л для каждого з ) 0 служит У (х, е) Д 2, где 1' (х, е)-окрестность этой точки в Х. Поэтому х 6 6 Ее тогда и толькотогда, когда 1) х 6 Л; 2) (р (х, е) П 2) П Е не- пустодля каждогое ) О. Атак как(К (х, е) П Л) () Е = К (х, е) П П Е, то условие 2) означает, что г' (х, з) П Е непусто для каждого е > О, т. е. ггох 6 Е . Таким образом, х 6 Е тогда и толькотогда, когда х 6 Е П Я.
Тем самым утверждение а) доказано. Утвержде- ние б) легко следует из него. Действительно, пусть Е замкнуто в Л; тогда Е = Е = Е П 2, причем Е замкнуто в Х (задача 158). Обратно, пусть Е = Р П 2, где Р— замкнутое множество в Х; так как Е с: Р, то Е г Р (задача 168); поэтому Е = Р () 2:э ~ Е" П 2 = Е -» Е, откуда Е = Е~, т. е. Е замкнуто в 2. 193. Это следует из равносильности следующих утверждений относительно множества Е с: Я: 1) Е открыто в Я; 2) 2 ', Е замкнуто в 2; 3) 2 '~, Е = Р П Я, где Р— замкнутое множество в Х; 4) Е = 0 П 2, где 6 = Х ~, Р— открытое множество в Х (второе и третье утверждения равносильны согласно пункту б) задачи 192, а третье и четвертое равносильны, поскольку из вклю- чений Я с Х и Р с Х следует, что Я ' (Р Д 2) = (Х ~, Р) П 2). 194.
Это следует из задач 192 и 193. 195. Согласно задаче 192 (или 193), Е = Р П Я, где Р замкнуто (соответственно открыто) в Х. Но тогда Е замкнуто (соответственно открыто) в Х, как пересечение двух замкнутых (соответственно от- крытых) множеств. ыв 196. Пусть (х, у,) — точка прикосновения множества Е х Р. Каждая ее окрестность )У ((х, у,), е) содержит хотя бы одну точку (х, у) из Е х Р. Но тогда х с У(х„е) ну 6 )У(х„е), так что х, и у, — точки прикосновения множеств Е н Р соответственно и, в силу замкнутости этих множеств, принадлежат им. Поэтому (хе Уе) 6ЕХР.
19». Пусть х с (А [«В)', т. е. 1У (х, г) с: А [) В при некотором у > О. Тогда )У (х, у) о~ В с:. А. Но у' (х, у) '~ В открыто; следовательно, )У(х, у) ' В с А', откуда «У(х, г) с А' () В. Значит, х 6 (А' () В)'. Тем самым(А () В)' с (А [«В)', обратноевключенне очевидно. 198. Верно. В самом деле, так как А с: А, то е((х, А) е», е( (Хе, А). С другой стороны, для каждого в > О существует элемент ае е А, для которого р (х„ае) (е! (х„А) + —, а для этого а,— 2 элемент а ч А такой, что Р(В,, ае) ( —. ОтсюДа Р (хе, а) Н. 2 е» е ( р (хе» ое) + р (ое» ае) ( р (хе ае) + — '. Тогда 2 е((х„А) ( р(х„а»,) (р(х„а,)+ — '( е((х„А) + — +— = «((х, А) + е. Так как е произвольно, той (х„А) (~ о( (х„А).
199. Неверно. Например, если на йрямой взять х, = 2 и А = [О, Ц («(2 ), то е( (х„А) = О, в то время как е! (х„А') = 1, поскольку А' = ]О, 1[. 200. Вообще для любой числовой ограниченной снизу функции «, определенной на произведеяии А х В любых двух множеств А н В, имеет место: !и( ~(х, у) = !и!(!п!(«(х, у)) = !и!(!и!г(х, у)). (1) кЕА. УЕВ кЕА УЕВ УЕВ кЕА Действительно, так как, очевидно, !п! 7(х, у) (!п!у (х, у) для УНА УЕВ УЕВ каждого хЕ А, то !п! ~(х, у)(!и!) !пЦ(х, у)), кЕА, УЕВ кЕА УЕВ С другой стороны, для каждого е > О существует пара (х,, у,) такая, что ((х, у «( !п1 у(х, у)+ а. кЕА. УЕВ Так как !п( (!п(»у (х» У)) ( !и! 1 (хе» у) ()» (хе» уе)» кЕА УЕВ УЕВ !п!(!пЦ(х, у)) (ш! «(х, у)+ а. кЕА УЕВ кЕА, ИВ И9 Это неравенство верно для каждого е > О, поэтому )п1()п1~(х, у))(!пав(х, у).
«!А »!В «!Л, у;-В Следовательно, !п1 ~(х, у) = !п1(1п1)'(х, у)). Совершенно так же «!л, мв «!л гнв доказываем второе из равенств (1). Взяв в (1) множества А и В из метрического пространства (Х, р) и положив ! = р, получим требуемые соотношения. 20!. В силу задач 198 и 200, имеем: с((А, В) = 1п1 д (х, В) =1п1»! (х, В) =д (А, В). «!А «;А Аналогично доказываются остальные равенства. 202. Недля всех.
П р и м е р. Возьмем на прямой А =(О, 1"! () () (2), В = (2) ц (3, 41; тогда А'=10, 1!", В' =!3, 4! и в' (А; В') = 2, в то время как с( (А, В) — О. 203. Для каждой точки х Е Р, положим е„= — сМ (х, Р,). 1 з 1 Аналогично для каждой точки у Е Р, положим е = — »1(у, Р!). з Докажем, что множества 6! = () У(х а ) и 6« = () У(У аз) «!»'» «!и» обладают требуемыми свойствами. Ясно, что они открыты, причем 6, ~ Р, и 6 ~ Р,. Предположим, что существует точка г 8 6, П П 6,.
Тогда найдутся точки х Е Р„у Е Р, такие, что г Е У (х, а„), г Е У (у, е,). Для них будем иметь: р(х, у) (р(х, г)+ р(г, у) < — д(х, Р,)+ — »1(у, Р,) ( ! ! 2 ( — р(х, у)+ — р(х, у) = — р(х, у), 3 3 3 2 т е. р (х, у) < — р (х, у); ио этого не может быть, поскольку 3 р (х, у) > О. Следовательно, 6, П 6, = !2!. 204.
Пусть А — множество типа 6, т. е, А =П Г„, где Ä— и открытые множества. Тогда СА = С (ПГ„) = ()СГ„, где СГ„замки Л путы. Итак, СА есть множество типа Р . Пусть  — множество типа Р,, т. е. В = () В„, где „— замкну- тые множества. Тогда СВ =С(()В„) = ПСВ„, где С — открыл и тые множества. Итак, СВ есть множество типа 6 . 205. Пусть Р— замкнутое множество.
Рассмотрим для каждого 11 натурального числа и открытое множество 6« = () У (х, — ). Оче- видно, что Р с: П 6„. С другой стороны, если у Е П 6„, то для «=! и ! ! каждого и найдется точка хи ч Р такая, что р (х„, у) < — . Следо- в 120 вательно, у — точка прикосновения для Р; а так как Р замкнуто, то у 6 Р. Таким образом, Р = Г) С,, т. е. Р— множество типа ба, л=! Справедливость второго утверждения задачи вытекает отсюда по двойственности (см.
задачу 204). 206. В силу результата задачи 204, достаточно доказать, что СŠ— множество типа Р,. Но СЕ есть объединение счетного числа прямых х = г (й = 1, 2, ...) и у = гд (/г = Г, 2, ...), где г!, г„...— множество рациональных чисел, занумерованное произвольным образом. Так как каждая прямая является замкнутым множеством на плоскости, то СŠ— множество типа Р,. 207. Доказательство вытекает непосредственно из определения нижнего предела. 208. Выберем в каждом Е, по точке х. Последовательность (х„) обладает тем свойством, что каждое Е„содержит все члены этой последовательности, начиная с х„. Поэтому р(х, х„)( !Г)ап! Е!, и, значит, р(х, х„)- О при т, и-~со. Следовательно, (х„)— фундаментальная последовательность.
Так как пространство полно, тосуществуетх =Ив х„. Покажем,чтохестьточка прикосновения для каждого Е . Действительно, произвольная окрестность )' (х, е) точки х содержит все члены последовательности, начиная с некоторого У; при этом все члены с номерами и )~ так (пг, й!) входят в Е . В силу замкнутости каждого Е, точка х всем им принадлежит, т. е П Е„, Ф Ы.
209. Нет. П р и м е р. Пусть (а!) — строго убывающая числовая последовательность, сходящаяся к 1, и Х вЂ” счетное множество точек х„х„..., в котором метрика введена формулами: р (хь х,) = а .,„„, при !' Ф /, р(хпх,) =О. Так как каждая фундаментальная последовательность в Х стационарна, то Х полно.
Замкнутые шары В(х,, а!) = (хпх,.+,, х!,, ... ) образуют убывающую последовательность, имеющую пустое пересечение. 210. Нет. Например, в Я! последовательность интервалов 1.~— 1! О, — !(и = 1, 2, ...) имеет пустое пересечение. 211. Выберем по точке х„в каждом Е„.
Как и в задаче 208, убедимся в том, что существует точка х, общая для всех Е„. В силу условия б) задачи, она будет принадлежать и всем Е„. 212. Пусть Š— непустое открытое множество на прямой, х, бЕ. Обозначим через а нижнюю грань левых концов интервалов, содержащих х, и включающихся, в Е, а через р верхнюю грань правых концов таких интервалов (не исключено, что !х = — ао или р = +со). Тогда 3а, рГ 6 Е, гхТЕ, р е Е (если бы, например, было р с Е, то, в силу открытости Е, некоторый интервал 3)) — е, !г! () + е(также включался бы в Е; но тогда интервал]а, р + е(включался бы в Е, что противоречит выбору р). Итак, каждая точка х, 6 Е входит в некоторый интервал, включающийся в Е, концы которого не принадлежат Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
