Ю.С. Очан - Сборник задач по математическому анализу (1134952), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Следовательно, х,, е П Од — — Е, т. е. любая точка множества А является элементом множества Е. Так как, подоказаиному, А имеет мощность континуума, то мощность множества Е ие меньше мощности континуума. 252. Построим на отрезке [О, Ц последовательностьсовершенных множеств А„Ам А„... следующим образом. В качестве А, возьмем канторово множество О. Для построения А„при л ) 1 разобьем [О, Ц на и равных отрезков и на каждом из них построим нигде не плотное совершенное множество тем же процессом, каким строилось О на [О, Ц; объединение этих и множеств примем за А„. Положим теперь А = [) А„, В = [О, Ц '~ А. Каждый интервал л За, ))[ ~ [О, Ц содержит отрезок вида ~ —, — ~ с достаточно боль.
ГГ ~+ 11 Гл л ~+ 1 шим а. По построенпо А„[)[ —, — 1 есть совершенное множел л ство, подобное канторову, и потому имеет мощность континуума. А так как [О, Ц ~ А Д асс, ))[ ~ А„ Д ~ †', ' ~, то и А () 3а, Г)[ Гл л имеет мощность континуума. Докажем теперь, что В [) )а, р[ имеет мощность континуума. Возьмем произвольный отрезок [у, 6) с: )а, ()[ Имеем: В П [у 6) = П ([у 6] ~ А.
) Но [у, 63 — замкнутое и потому полное подпространство числовой прямой (наделенной обычной метрикой), а [у, 61 ~, А„— открытые в нем лшожества (см. задачу 193). Так как они всюду плотны в [у, 6), то, в силу результата задачи 251, В П [у, 63 имеет мощность, не меньшую мощности континуума. А так как [О, Ц:» В П П 3а, р [:з В П [у, 63, то В П асс, р[ имеет мощность кончинуума. 252. Это непосредственно вытекает из задачи 251, если учесть, что совершенное множество Е само является полным пространством без изолированных точек и что Е = П Е„, где Е„= Е при п = л = 1, 2, ..., так что каждое Е„открыто и плотно в Е. 254. Пусть „„..., В„, ... — плотные множества типа б в Х и  — их пересечение.
Тогда лля любого л Вл — — [) 6„о где с бм — открытые множества. Так как бм:з В, то все Вм также плотны в Х. Следовательно, В = — П(П 6„,) =Г) бы есть пересече- Л Г"' ХС $34 ние конечной или счетной совокупности плотных открытых множеств бьг Но тогда В является множеством типа ба, плотным в Х (см. задачу 249). 255.
В качестве множеств Е„можно взять множества б„из решения задачи 250. 256. Как известно, множество всех простых чисел бесконечно и, значит, счетно. Перенумеруем их: р, =- 2, р, = 3, р, = 5, р, =7, р, = 11, ... и обозначим через Еь множество всех чисел вида г + ~'р„, где г пробегает все рациональные числа, а рь фиксировано.
Тогда каждое Е, счетно и всюду плотно на прямой (оно получается из множества всел рациональных чисел сдвигом на р р„). Докажем, что множества Е, попарно не пересекаются. Пусть й Ф ! и, следовательно, р„чь рг Возьмем произвольный элемент $ = г, + Ф~р. из множества Е„и произвольный элемент т! = г, + г' р, из множества Е, н докажем, что $ ~ т!. Допустим что $ = т1; тогда г„+ ~' р =- гз + 1~р,, откуда (г, — г,)' = Х Р+Ра (0 01.
ведомо неверный результат (квадратный корень из произведения двух различных простых чисел оказался рациональным числом). Следовательно, наше допущение, что 4 = ть неверно; значит, Е, () Е„=.= 0 при любых различных ! и й. 257. Множество Е всех рациональных чисел, как всякое счетное множество, есть объединение счетной совокупности одноточечных и, значит, замкнутых множеств.
Следовательно, Š— множество типа Р . С другой стороны, Е всюду плотно на прямой. Если бы оно было множеством типа бм то множество Е,, полученное из Е сдвигом на ) '2 (т. е. множество всех чисел вида г + ) 2, где г е Е), также было бы всюду плотным множеством типа 6 . Но в этом случае и их пересечение было бы всюду плотным множеством (см.
задачу 254), тогда как на самом деле Е, П Е = И. Следовательно, допущение, что Е является множеством типа 6, неверно. 258. Для доказательства надо использовать результаты задач 204 и 257. 259. См, решение задачи 257. У к а з а н и е. Сдвиг надо производить на число а, выбранное так, чтобы множество точек вида х + а (где х е Е) не пересекалось с Е (это возможно в силу счет- ности Е, см.
задачу 7!). Требуемый результат можно получить и другим способом— как следствие задачи 251. 260. См. задачу 259. 261. Если бы множество (О, 1(()1, где 1 — множество всех иррациональных чисел, имело тип Р„то любое множество вида (й, й + 1 (() 7, где й — целое, также имело бы тип Р„так как оно 135 конгруэнтно данному. Но тогда объединение () ([й, й + 1 [П !), где й пробегает все целые числа, также было бы множеством типа Р„что невозможно, так как оно совпадает со всем множеством ! (см. задачу 258). Доказательство того, что [а, р[П ! при любых а и р, где а ( 13, не есть множество типа Р, проводится аналогично; только сдвиги производятся не на целые числа, а на целые кратные какого-либо фиксированного рационального чисда г ч "10, (1 — а).
Чтобы доказать, что [а, р [ П Е, где Š— множество всех рациональных чисел, не есть множество типа О, достаточно заметить, что его дополнение [а, р [Д 1 до полуинтервала [а, 11[ не есть множество типа Р„. 262. Например, множество М, составленное из всех отрицательных рациональных и всех положительных иррациональных чисел.
Если бы М имело тнп бм то его часть, попавшая в промежуток [ — 1, О[, также имела бы тип бм что неверно (см. задачу 261); если бы М имело тип Р,, то его часть, попавшая в промежуток [1, 2[, также имела бы тип Р„что тоже неверно. 263. Пусть А нигде не плотно, У вЂ” какой-либо шар, а У,— открытый шар, содержащийся в У, свободный от точек множества А. Тогда У, не содержит также точек множества А, и тем самым А нигде не плотно. 264. Прямое утверждение доказывается без труда.
Обратное утверждение неверно. П р и м е р. Множество рациональных чисел всюду плотно на прямой, но н его дополнение всюду плотно. 266. Пусть 5 — любой открытый шар. Согласно задаче 248, 5 П Е содержит вместе с замыканием некоторый шар 5„очевидно свободный от точек СЕ. Значит, СЕ нигде не плотно. и 266. Пусть Е = Ц Ео где Е„Е„..., Е, — нигде не плотные Г=! множества и 5 — произвольный шар. Так как Е, нигде неплотно, то найдется шар 5, в 5, свободный от точек Е,. Далее, так лак Е, нигде не плотно, то в 5, найдется шар 5„свободный от точек Е,; а так как 5, ~ 5„то 5, не содержит также точек множества Е,.
Продолжая этот процесс, мы получим, после п шагов, шар 5„, свободный от точек множеств Е„Е„..., Е„и, значит, свободный от точек множества Е, причем 5„~ 5. Следовательно, Е нигде не плотно. Для объединения счетной совокупности множеств это утверждение опровергается примером множества рациональных точек на прямой, которое всюду плотно, но является объединением счетной совокупности одноточечных и, значит, нигде не плотных множеств. 267. Пусть Х = () Ео где Е, нигде не плотны в Х.
Пусть 1 У(х,, е,) — шар, свободный от точек множества Е,; У (х„е,)— шар, свободный от точек множества Е„включающийся вместе со 136 своим замыканием в У (х„в,) и такой, что ез < —; У (хм ез)— шар, свободный от точек множества Ем включающийся вместе 1 с замыканием в У (х„е,) и такой, что ез ( —, и т. д.
Последоваз' тельность х„х„х„... фундаментальна и, следовательно, в силу полноты пространства, имеет предел: Ь = Ию х„(Ь 6 Х). Так как ь 6 У (х;+„е,+,) для всех ~, а У (х,+„е,+,) с: У (х„в,), то Ь 6 Е, для всех ~. Значит Ь ч () Ео что противоречит тому, что 4 Х (~Е,.
Итак, Х вЂ” множество второй категории. 268. Множество Е всех рациональных точек на прямой, наделенное обычным расстоянием, есть неполное метрическое пространство, являющееся объединением счетной совокупности нигде не плотных (а именно одноточечных) множеств; следовательно, Е— множество первой категории. 269. Противоречия нет. Канторово множество Р нигде не плотно как подмножество пространства Я', но не является таковым в самом себе, где оно, наоборот, всюду плотно. 270. Пусть х, — изолированная точка метрического пространства Х.
Одноточечное множество (х,) открыто в Х. Если Е— какое-либо нигде не плотное множество в Х„то существует непустое открытое множество (1 с: (х ) такое, что (1 () Е = 8'. Но единственное непустое подмножество в (х,) есть оно само. Поэтому (1 (х,) и х, ч Е для каждого нигде не плотного множества Е. Значит, Х не представимо в виде объединения любого, в том числе н счетного, семейства нигде не плотных множеств.
271. Пусть Х вЂ” числовая прямая с выколотой точкой, например, Х = Я' ', (О); р — обычное расстояние на Х. Тогда (Х, р)— неполное метрическое пространство без изолированных точек. Любое множество Е, нигде не плотное в Х, нигде не плотно и в Я'. Действительно, для любой точки х 6 12' и любой ее окрестности У (х) найдется интервал 1 с: У (х), не содержащий точки 0 и, значит, входящий в Х. ТаЪ как Е нигде не плотно в Х, то в 1 содержится интервал 1„не пересекающийся с Е.
Но 1, с У (х) ~ У. А это и доказывает, что Е нигде не плотно в Я'. Если теперь предположить, что Х = () Е„, где-все Е„нигде не плотны в Х, то Я' представится в виде объединения счетного числа нигде не плотных множеств: Я'=() Ев О (О) л Но это невозможно, поскольку Я' — полное пространство (см. задачу 267). Следовательно, Х вЂ” множество второй категории. 272. Пусть Х вЂ” полное метрическое пространство и Е— множество первой категории в Х, так что Е = () Е„, где все Е„ и нигде не плотны в Х. Предположим, что СŠ— множество первой 137 категории, т. е. СЕ = () 3„, где Б„— нигде не плотные множества а в Х. Тогда Х = (() Е„) () (() 5„), что противоречит теореме Бэра. ю к Значит, СŠ— множество второй категории.
273. Множество СŠ— первой категории, так как оно является объединением прямых х = г, (й = 1, 2, ...) и у = гь (й = 1, 2, ...), где гь пробегает все рациональные числа (каждая прямая — нигде не плотное множество на плоскости). Следовательно, Š— множество второй категории (см. задачу 272). 274. Пусть х е !7а. В любой окрестности У (х) найдется точка х, е !7а.
Возьмем окрестность У (х,) с: У (х). Так как У (х,) П Е— множество второй категории, то и У (х) () Š— множество второй категории, т. е. х е 0е. Следовательно, 77а замкнуто. Пусть теперь х, Е 0а. Так как для любой окрестности У (х,) множество У(х,) Д Е второй категории, и, следовательно, бесконечно, то У (х,) содержит бесконечное число точек из Е. Значит, х, еЕ'. 275. Пусть Е нигде не плотно и ! — произвольный интервал на прямой. Интервал ! „полученный из ! сдвигом на — а, содержит подинтервал у, свободный от точек множества Е. Но тогда интервал 7„который получится из ! сдвигом на а, включается в ! и не содержит ни одной точки из Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
