Ю.С. Очан - Сборник задач по математическому анализу (1134952), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Следовательно, Е, нигде не плотно. Если же Е всюду плотно и ! — произвольный интервал, то 7, содержит точку х, е Е; а тогда х, + а е 7Д Е, и, следовзтельно, Е, всюду плотно. 276. Пусть Е» — множество всех точек вида а — х, где х пробегает Е. Как легко проверить, Е' — открытое всюду плотное множество на прямой. Поэтому из задачи 249 следует, что Е () Е:М Ф 8. Пусть х, Е Е Д Е', тогда х, е Е и х, = а — х„где х, е Е. Следовательно, а = х, + х„где х„х, е Е.
277. Если множество Е всюду плотно на прямой, то любой интервал )я, 1)Г содержит бесконечно много точек из Е, так как в противном случае на 3п, ()1" нашелся бы интервал, полностью свободный от точек множества Е. Если теперь из Е исключить конечное подмножество А, то на произвольном интервале )а, ()~ все же останется бесконечно много точек из Е ", А. Значит, Е ' А всюду плотно на прямой.
278. В задаче 256 была построена последовательность Е„ Е„ ... попарно не пересекающихся всюду плотных счетных множеств на прямой. Обозначим дополнение к объединению этих множеств через ! (его пересечение с любым интервалом несчетно) и рассмотрим счетную совокупность множеств: Ех () (! () )й — 1,1~)(й =1,2, ...). Ясно, что эти множества попарно не пересекаются, а каждое из них всюду плотно на прямой и несчетно. ~зв 279.
Пусть (х, у ) — произвольная точка пространства Х х У н У ((х„у,), е) — произвольная ее окрестность. Так как Е нигде не плотно в Х, то окрестность У (х„=~ содержит шар У (г„й) У2 / е радиуса 6 ( =, свободный от точек множества Е. Но тогда шар У2 У ((г,, у,), 6) содержится в У ((х,, у,), е) и свободен от точен мно- жества Е х Р.
280. Согласно задаче 196, множество Е х Р замкнуто. Предпо- ложим теперь, что оно имеет изолированную точку (х„у,), т. е. существует е ) 0 такое, что У((х,, у,), е) не содержит ни одной точки из Е х Р, отличной от (х„у„). Но тогда У (х„е) не содер- жит ни одной точки из Е, отличной от х, (если бы йашлась точка х ~ х, такая, что х ч 1'(х„е) () Е, то мы имели бы (х, у,) е с У((х„у,), е) () (Е х Р) и (х, у,) Ф (х„у,)). Аналогично У (у„е) не содержит ни одной точки из Р. Йо это противоречит тому, что Е или Р— совершенное множество. 281. Пусть (х„у,) — произвольная точка из Х к У и 1' ((х„у„), е) — произвольная ее окрестность. Существуют х нз Е такое, чтор (х,х) < ~, и у из Ртакое, чтор (у,у)< ~ . Но х ч Уз тогда (х, у) ч 1'((х„у„), е) () (Е х Р).
Тем самым Е х Р плотно вХ мУ. 282. Луч 10, +с 1. Действительно, любой интервал ~а, Щ, где р2 0 < я < р, содержит число вида — (это число легко найти: Ч' сначала найдем рациональное число —, заключенное между ф' а и Р ч 'У )), а затем возведем его в квадрат). 283. Луч (1, +оьС. 284. Отрезок !"О, Ц. 285. Для каждого натурального числа й существует такое це- лое число п„что пь <яь < и„+ 1; положим хь = — и, + lг~; ясно, что 0 < хл <!. Покажем теперь, что произвольный интер- вал и содержит число вида и + п~ с целыми и и и.
Пусть 1 — на! туральное число такое, что — <! и ~, гдв ! и! — длина интервала и. Тогда среди чисел х„х„..., х,~, найдется по меньшей мере два 1 таких, расстояние между которыми меньше, чем —: ! )х,— х (< —, или, считая, что, например, х ) х„; 1 0 <х — х < —. ц й, Положим 6 = хь — хх и разобьем прямую точками, кратными 6: ..., — 36, — 26, — 6, О, 6, 26, 36, ... 139 Так как О ( б ( ! и), то по крайней мере одна из этих точек, скажем рб, где р — целое число, попадет в интервал и.
Но рб.= р(х„— х ) = р(( — п +йД) — ( — п +й ь)) — т+пГ, где и = рп„— рп и п = ра, — рог, — целые. Таким образом, 1 любой наугад выбранный интервал и содержит по меньшей мере одну точку вида т + п~, т. е. множество этих точек всюду плотно на прямой. 286. Да. Это следует из результата предыдущей задачи. Действительно, пусть |а, ()( — произвольный интервал. Так как ~ —, — ~ та РГ )2 2~ содержит число вида и + пЬ (где т и п — целые), то 1а, р( содержит число 2т + 2пь.
287. Допустии, что существует дуга Л, с:. Г, свободная от точек множества М. Обозначим через Л„дугу, которая получается в результате поворота дуги Л, на й радиан по часовой стрелке. Ясно, что Л при любом целомй ~ )Отакжесвободна отточекизМ. Дуги Л,, Л,, ..., Л,, ..., имеющие одинаковую длину и расположенные на окружности Г конечной длины, не могут все попарно не пересекаться.
Пусть, например, Л,. П Л,. + ~ Ы. При этом Л, ть Л... поскольку угол т не может быть кратным углу 2п в силу иррациональности числа и. Из того, что Л, () Л,. ~ 13, вытекает, что при повороте любого Лс по часовой стрелке на угол и мы получим дугу Лс+, пересекающуюся с Л„по непустому множеству. В частности, по непустому множеству пересекаются любые две соседние дуги из последовательности Л,, Л, Л,., Но тогда эти дуги покрывают всю окружность Г, что невозможно, поскольку ни одно Лс не содержит точек из М (рис. 22).
Итак, на окружности Г не существует дуги, свободной от точек множества М, т. е. М плотно на Г. Уо ~/у Ус г у Е а У2 Рис. 22 Рис. 23 140 288. е-окрестность произвольной точки М (х„у4) плоскости Оху содержит рациональную точку Р (г', г ), где 4 4 4 х — =<г <х +=, у — =<г" < у +— о р'2 о ~Г2' о Р"2 о ~/2 (рис. 23). 289.
См. решение задачи 224. 290. Это множество строится следующим образом: делим отрезок на десять равных частей и выбрасываем интервал»0,4, 0,6». Затем каждый из оставшихся отрезков первого ранга: »О, 0,1», ..., [0,3, 0,4», »0,6, 0,7», ..., [0,9, 1» делим на десять равных частей н выбрасываем в каждом из них два средних интервала вместе с разделяющей их точкой, т. е.
из отрезка [О, 0,1»вЂ” интервал»0,04, 0,06[, из отрезка»0,1, 0,2» — интервал»0„14, 0,16[ и т. д. Затем каждый из оставшихся отрезков второго ранга делим на десять равных частей и выбрасываем два средних интервала вместе с разделяющей их точкой и т. д. Доказательство того, что Е нигде не плотно и совершенно, проводится так же, как для канторова множества. 29$.
Это множество не замкнуто. Его замыкание состоит из всех (в том числе и рациональных) точек отрезка [О, 1», обладающих десятичным разложением, не содержащим цифры 5. Как само заданное множество, так и его замыкание не содержат изолированных точек. Как заданное множество, так и его замыкание нигде не плотны на прямой.
292. Такое множество образуют концы смежных интервалов к Р. Его плотность в Р легко следует из описания арифметической структуры точек первого и второго рода множества Р (см. решение аадачи 226). 293. См. решение задачи 239. 294. Пусть ~р — произвольный элемент пространства С [О, 1». Согласно определению расстояния в С »О, 1», окрестность Р (~р, е) состоит из всехфункций )1 6 С»0, 1» таких, что ~р (х) — е < у (х) < < ~р (х) + е для всех к 6 [О, 1». Но согласно аппроксимационной теореме Вейерштрасса, существует такой многочлен Р, что <р (х)— — е < Р (х) < ~р (х) + е для всех х 6 [О, 1»; таким образом, множество всех многочленов плотно в С [О, !».
295. Пусть з — произвольное положительное число. Для любой функции ~р 6 С»0, 1» существует такой многочлен Р, что р (гр, Р) < — (теорема Вейерштрасса). Пусть Р (х) = а, + а,х + 2 + ... + а„х". Заменим все а1 рациональными числами Ь, такими, что ) а, — Ь,( <, и обозначим через Я получившийся много- 2(л+!) член с рациональными коэффициентами Ь,: Я (~) ЬО+ Ьгх+,, + Ь х 141 Тогда для всех х Е [О, Ц, ) Р (х) — Я (х)) = ) (ао — Ьо) + (а, — Ь|)х + ... + + (а„— Ь„)х" ! < ! а, — Ьо) + ) а, — Ь,) + ...
+ ) а„— Ьо! < < е ° (п+ 1)= —, о 2(и+)) 2 т, е. р(Р, О) < —. Но тогда 2 р(7, Э <р(р, Р) +Р(Р, ),)) < — + — = е. Итак, множество многочлеиов с рациональными коэффициентами плотно в С [О, Ц. 296. Пусть )' ( — х) = — ) (х) для всех х Е [ — 1, Ц. По теореме Вейерштрасса, для любого е ) 0 найдется многочлен Я (х) такой, что ))" (х) — Я (х) ) < е для всех х е [ — 1, Ц. (1) Так как вместе с х также — х Е [ — 1, Ц, то и ) Г ( — х) — Я ( — х) | < < е для всех х е [ — 1, Ц. Но ) ~ ( — х) — Я ( — х) ) = ) — 1 (х) — Я ( — х) ) = ) ~ (х) — ( — Я ( — х)) (.
Следовательно, ))' (х) — ( — Я ( — х))) < е для всех х Е [ — 1, Ц. (2) Из неравенств (1) и (2) получаем: О (х) — я ( — х) 7(х) ~ < е. 2 Многочлен Р (х) = являатся искомым. Действитель- 2 но, пусть я (х) = ао + аох + аех' + аохе + ... + а„х". Тогда — )е ( — х) = — ао + а,х — аех' + азхо — ... + ( — 1)"+'а„х" и Р (х) содержит лишь нечетные степени х, Для случая, когда 1 (х) — четная функция, рассуждение ана- логично. 297.
Для любого натурального числа Ь найдем многочлеи Р, такой, что ! Р, (х) — ~ (х)/ < — для всех х Е [ — Ь, Ц. Последова) 2о тельность (Р„) будет искомой. 298. Пусть (Р,) — данная последовательность многочленов, сходящаяся к г равномерно на Ох. Тогда существует номер М та- кой, что для всех ги, и ) )о' и всех вещественных х выполняется неравенство ! Р (х) — Р„ (х)) < 1. )О2 Зафиксируем номер и, > )О'. Многочлены Р (х) — Рл, (х) ограничены на всей прямой, что возможно, лишь когда Р (х) — Р,„(х) = = а, где а — постоянные. Отсюда ~(х) — Р,„(х) =11ша т + дЛя ВСЕХ Х, таК ЧтО Г (Х) — Рл, (Х) = С, ГдЕ С вЂ” ПОСтОявиая.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
