Ю.С. Очан - Сборник задач по математическому анализу (1134952), страница 37
Текст из файла (страница 37)
ности с номерами й ) п принадлежат А„ а А„ замкнуто, то и $ = !пп х„„ Е А„ для всех п, т.,е. 5 е К. А так как, с другой сторо- 146 ны, х„» Е У (К, е), то р (х„, $) > е для всех й. Это противоречит тому, что х„„- $. 319. Это непосредственно следует из результата предыдущей задачи. 320. Так как Е!+! с: Е, с: Ео то () Еыт с: () Е;» () Ее Край- ! ! 4 ние члены последних включений непусты (теорема Кантора) и совпадают. Следовательно, () Е, = () Е, Ф к!. Недостаточность ! ! условия б') для справедливости утверждения задачи видна на при! ! ! мере последовательности интервалов )О, 11,. ~0, — ~, 30, — ~, ..., )0, '~,... 321. Обозначим К„= б ~, 6„.
Ясно, что К вЂ” компакты, причем !') К„= Гг б и Гг 6„» К„. Так как (К„) — убывающая пон следовательность компактов, то, в силу результата задачи 318, для каждого е > 0 найдется такой номер !Ч, что К„» У (Гг О, е) при п > !т'; но тогда и Гг 6„» 1'(Гг О, е). 322. Пусть 1„(х) =, а ń— множество всех функций ! !+ лк~ ) е С1 — 1, Ц, удовлетворяющих неравенству 0 () (х) (1„(х) для всех х е 1 — 1, Ц и условию 1 (О) = 1. Множества Е„замкнуты, ограничены (р (1, я) ( 1 для всех 1, д е Е„) и Е„„» Е„. Однако () Е„= яУ. и Другой пример см. в решении задачи 209. 323. Положим А„= Е, !') ... () Е„(п = 1, 2, ...).
Множества А„непусты по условию, компактны (см. задачу 313) и А!:э А,:» :э А, ~ ..., а потому, в силу теоремы Кантора, П Е„= () А„чье. и л 324. Нет (см, задачу 322). 325. Н е о б х од и мое т ь. Пусть Š— относительное компактное множество и е — произвольное положительное число. Обозначим через х, произвольный элемент из Е.
Если все точки из Е отстоят от х, меньше чем на е, то искомая е-сеть построена (она состоит из одного х,). Если же это не так, то найдется хз е Е такое, что р (хо х,У > е. Если точки х„х, в свою очередь не образуют е-сети, то найдется х, с Е такое, что р (х„х,) )~ е, р (х„х,) >,е. Если и точки х„хм х, не образуют е-сети, то найдется х, е Е такое, что р (х!, х4) > е прн ! = 1, 2, 3. Этот процесс обязательно оборвется на некотором номере л„так как если бы он продолжался неограниченно, то из последовательности (х„) нельзя было бы выделить сходящейся подпоследовательности (любая ее подпоследовательность не фундаментальна).
Итак, множество х„..., х„, образует искомую е-сеть, а значит, Е вполне ограничено. Д о с т а т о ч н ос т ь. Пусть Š— вполне ограниченное множество в полном метрическом пространстве Х и (х„) — последо!4т вательность точек из Е. Докажем, что у нее существует сходящаяся подпоследовательность. Возьмем какую-нибудь конечную сеть для е, = ! и около каждого ее элемента опишем шар радиуса !. Хотя бы один из этих шаров — обозначим его $'! — включает бесконечное число членов последовательности (х„) (под этим мы подразумеваем, что имеется бесконечно много номеров таких, что члены последовательности с этими номерами содержатся в рассматриваемом шаре). Пусть х„— один из этих членов.
~\ 1 Далее, возьмем конечную сеть для ез = — и около каждого 1 2 ее элемента опишем шар радиуса-. Хотя бы один из этих шаров— 2 назовем его Рз — включает бесконечно много элементов последовательности (х„) из числа тех, которые попали в Р,. Обозначим через х,„какой-либо из них, с единственным условием, что и, > и,. Вообще, пусть уже построены элементы х„,, ..., х„, гда 1 и, « ... пь, х„. 6 $', 1! = 1, ..., 2) и $', — шар радиуса е, = —, ! включающий бесконечно много членов последовательности (х„) нз числа содержащихся в шаре У,, Тогда строим конечную сеть для 1 еьы — — — и около каждого ее элемента описываем шар ра- 2+1 1 диуса †.
Тот шар, который включает бесконечно много членов 2+1' последовательности (х„) из числа входящих в Р, обозначим и примем за х„какой-либо из этих членов, с единственным ль,~ условием, чтобы было пьм > и . Неограниченно продолжая этот процесс, мы получим подпоследовательность (х„) последовательности (х„). Она фундаментальна, так как при ! > 2, !' > й 2 имеем: х„, е )'„, х„~ Е )г и, значит, р (х„., х„) ~ (—. В силу полноты пространства Х, она сходится.
Значит, Š— относительно компактное множество. 326. См. доказательство необходимости в решении предыдущей задачи. 327. Это непосредственно следует из теоремы Хаусдорфа (задача 325) и результата задачи 304. 328. Пусть е — произвольное положительное число, А — отное а сительно компактная — сеть для Е, а  — конечная — ' -сеть г 2 для относительно компактного множества А (существующая в силу теоремы Хаусдорфа). Множество В является конечной е-сетью для Е; следовательно, Е относительно компактно.
Если Х неполно, то утверждение задачи становится неверным. П р и м е р. Х вЂ” множество всех рациональных чисел с обычной метрикой, Š— множество рациональных чисел х из!О, Ц. Множество Е не является относительно компактным, хотя для него при любом 1ча е > 0 существует относительно компактная (даже конечная) е-сеть. 329.
Так как Е ограничено, то оно включается в некоторый паРаллелепипед [аь Ьг1 Х [а„Ьг) Х ... Х [а„, Ь„1. Зададим пРоизвольное е > 0 и разобьем каждый отрезок [ан Ьь1, точками а; = = х)п < х)г> « ... хф — н < хВВ=Ь, так, чтобы расстояние между е любыми двумя соседними точками было меньше =. Тогда мноУл ' жество всех точек из (г" вида (х)"1, .ф>, ..., х~„' > ), где зь зг, ..., з„ принимают, независимо друг от друга, значения з, = 1, 2, ..., рн зг = 1, 2, ' рг "., з„= 1, 2, ..., р„, является конечной е-сетью для Е в пространстве )х"..
Следовательно, Е вполне ограничено, а значит, в силу полноты 1г" и первой теоремы Хаусдорфа, относительно компактно. ЗЗО. Это следует из задач 329 н 304. 331. Пусть Š— относительно компактное множество в 1г. Если бы оно не было нигде не плотным, то его замыкание Е включало бы некоторый шар У с: 1г. Пусть а = (ан ам ...) — центр этого шара. Построим последовательность (Ь,) (Ь, 6 1г) следующим обраб / б зом: Ь, = (а, + —, аг, аг. ") Ьг = (аь аг + —, аг, ...~, Ь, б = ~ао ам а, + —, ...), ..., где б — радиус шара У. Все Ь; содержатся в У, а значит, и в Е. Но так как р (Ьн Ьз) = ~~ ~ — ) + ( — ) б ~2) (,2) = = при 1 ,—ь ), то никакая подпоследовательность последоваУ2 тельности (Ь„) не фундаментальная и, следовательно, не сходится, что противоречит компактности Е (см.
задачу 306). 332. Доказательство аналогично приведенному в решении предыдущей задачи. Если центр фигурирующего там шара У радиуса б есть функция 1„то за Ь, можно принять функции)о + )о где),— функции из решения задачи 309, в которых А заменено на б, а отрезок [О, Ц линейно преобразован в отрезок [а, Ь). 333. Если множество Е компактно, то оно обладает свойством Н, так как любое замкнутое подмножество компакта есть компакт (см. задачу 305). Пусть теперь множество Е обладает свойством Н. Докажем, что оно замкнуто. Пусть х, 6 Е„ так что х, = 1пп х„, где (х„)— о некоторая последовательность точек из Е.
Пусть, далее, У (хо) н В (хо) — открытый и замкнутый шары одинакового радиуса с центром в х,. Так как, начиная с некоторого номера, х„6 Е () У (х,) ~ с: Е П В (хо). а Е П В (хо) замкнуто, то хо с Е П В (хо) и, значит, х, е Е. Следовательно, Е замкнуто. 334. Утверждение следует из результата задачи 330. С другой стороны, пространство С [О, Ц полно (задача 130), а замкнутый единичный шар в нем не обладает свойством Н, так как он не- компактен в С [О, Ц (см. задачу 309). 335. Пусть У вЂ” произвольный открытый шар в С (а, 51. Тогда У () Е компактно в С 1а, 51 и, значит, нигде не плотно (см. задачу 332). Следовательно, найдется шар У, с: У, свободный от точек множества У () Е, а значит, и от точек множества Е.
336. Н е о б х о д и м о с т ь. Пусть Е бикомпактно. Рассмотрим произвольную последовательность (х„) точек из Е. Допустим, что ни одна ее подпоследовательнвсть не сходится к точке из Е. Тогда каждая точка г е Е обладает окрестностью У (г), содержащей лишь конечное (быть может, пустое) число членов последовательности. Эти окрестности У(г) образуют открытое покрытие множества Е. Так как Е бикомпактно, то существует конечное число точек гь ..., ах 5 Е такое, что Е ~ У (г,) () ... () У (г„). Но это невозможно, поскольку множество, стоящее справа, содержит конечное число членов последовательности, тогда как Е содержит все ее члены.
Полученное противоречие показывает, что каждая последовательность точек из Е обладает подпоследовательностью, сходящейся к точке из Е, т. е. Е компактно. Д о с т а т о ч н о с т ь. Пусть Е компактно. Допустим, что существует открытое покрытие (6 ) множества Е, из которого нельзя выделить конечного покрытн'я. Зададим убывающую последовательность чисел (е„), стремящуюся к О.
Построим конечную е,-сеть для Е (задача 325) и около каждой ее точки опишем шар радиуса е,. Замыкание каждого из этих шаров имеет с Е компактное пересечение (см. задачу 305) с диаметром не больше чем 2е,; следовательно, Е представляется в виде объединения конечного числа компактов с диаметрами не больше чем 2е,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
