Ю.С. Очан - Сборник задач по математическому анализу (1134952), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Если, как мы предположили, Е не может быть покрыто конечным числом множеств 6„, то по крайней мере один из этих компактов также не имеет такого конечного покрытия. Обозначим его Е,. Далее, построим конечную емсегь для Е, и, описав около каждой точки этой сети шар радиуса е„представим Е, как и в предыдущем случае, в виде объединения конечного числа компактов с диаметрами не больше чем 2ем Тот из них, который не покрывается конечным числом множеств 6„, обозначим Е,. Продолжая неограниченно этот процесс, получим убывающую последовательность компактов Е:з Е, ~ Е,:з ..., ни один из которых не может быть покрыт конечным числом множеств 6, причем г)1агп Е„-»- О.
Пусть 5 — их общая точка (задача 317). Так как $ е Е, то найдется множество 6„из нашего открытого покрытия такое, что $5 6„. Пусть У (~, 5) с 6„и 2е„( б. Тогда Е„с с 6„. Мы пришли к противоречию; с одной стороны, по построению, ни одно из Е„не может'врыть покрыто конечным числом множеств семейства (6„); с другой стороны, множество Е„включается в одно- из множеств этого семейства (в 6„). Полученное противоречие доказывает, что Е бикомпактно. ао 337. Пусть й, таково„что — „< в. Тогда точка О, в также ! 1 ! точки †, †„ ,, †,, ... покрыты интервалом ! — е, а~; остальные 11 — е !+в! же точки покрыты интервалами ~ —, — ~, где й = О, 1, 2, ..., 338.
Нельзя, поскольку каждая точка множества Е покрыта только одним интервалом нз данной системы. 339. Нельзя, поскольку Е не ограничено, а объединение любого конечного числа интервалов нз данной системы — ограниченное множество. 340. Допустим, что нз данного покрытия можно выделить конечное покрытие круга Е; пусть его образуют круги С„Св, ..., С„. Тогда () С,:» Е н, значит, ()С! = () С1:» Е (см. задачу 150).
с=! ' с=! Но это невозможно, так как каждый замкнутый круг С, содержит лишь одну точку окружности, ограннчнвающей круг Е, н, значит, и () С, не покрывает всего круга Е. ! =-1 341. Можно. Для этого достаточно нз всего покрытия выделить те круги, центры которых лежат в рациональных точках окружностн С (мы называем точку окружности рациональной точкой, если ее радиус-вектор составляет угол гп с фиксированным неподвижным радиусом, где и — рациональное число). Докажем, что Е покрывается этой счетной системой кругов. Рассмотрим произвольную точку Р Е Е (рнс. 24). Пусть она отстоит от О на расстоянии д (с( < !) н луч ОР пересекает С в точке 1! 21 Р, (прн этом 1 РРе~ = (с( — — ~ < — ).
Если Ре — рациональная з~ з)' точка, то круг с центром в Р, содержит Р. Если же Р, — нррацнональная точка, то, в силу плотности множества рациональных точек на С, найдется рациональная точка Р, Е С такая, что ~ Р,Р, ! < < — — ~!2 — — ~. Тогда круг с центром в з ~ з ' Р, содержит точку Р, так как Е Р(~ Р!) < Р(! Ро) +Р(' в Р!) < Ь Р "— ' Л-'-))1--.' 342.
Окружности радиуса — с центра- 3 мн в точках окружности С пересекают окружность радиуса 1 — е (с центром 0) в двух точках каждая, отсекая от нее дуги одной н той же длины. Пусть и — нату- Рис. 24 151 ральное число, превосходящее отношение длины всей окружности радиуса 1 — е к длине этих дуг. Если на С взять п равноотстоящих точек и принять их за центры открытых кругов радиуса 2 —, то мы и получим конечное покрытие, выделенное из заданного з' бесконечного. 343.
П р и м е р 1. Открытое множество )О, 11" покрыто интер- 1 11 валами! —, — [(л = 1, 2, „.). Если из этого покрытия выбро1л+2 и '1 сить хоть один интервал, то оставшаяся система не будет покрывать всего множества >О, 1>". Тем более из этой системы интервалов нельзя выделить конечного покрытия. П р и м е р 2. Интервалы ~ —, 1[ (и =1, 2, 3, ...) образуют 11 открытое покрытие открытого множества >О, 11, не содержащее конечного покрытия. 344.
Нет. П р и м е р. Компактное множество >"О, Ц покрыто системой отрезков [ †, 1~, [ †, — ~, [ †, — ~, ..., [ †, †], ... и 1 — 1, 0), из которой нельзя выделить конечного покрытия (более того, из этой системы нельзя исключить ни одного отрезка, не оставив хотя бы одну точку отрезка 10, Ц непокрытой). 346. Счетное множество всех точек (хм ..., х„) с 1с" с рациональными координатами х„ ..., х„ плотно в 1с". 346. Счетное множество, плотное в С>а, Ь2, можно построить так.
Для каждого натурального числа л разобьем отрезок >а, Ь) на и отрезков точками х!>о а, хм> а+ х!"> = а+ 2- — ',, х!"> =- Ь л й и рассмотрим множество А„всех функций ф на 1"а, Ь), принимающих в точках х!"> (! = О, 1, ..., л) рациональные значения и линейных на отрезках >х',"">, х~!">) (! = 1, ..., л), т.
е. определенных условиями: х — х(м >р(х) = ф(х!"~) -1- ! ! (ф(х!л>) — >р (х!">,)) при х!">,(х(х$"> (!'=1,, л), где >р (х>,">), ..., >р (х'„"') — рациональные числа. Рассмотрим далее множество А = () А„. Мощность этого л=! множества функций счетна (доказать!), и все они принадлежат пространству С(а, Ь>.
Покажем, что А плотно в С >"а, Ь]. Пусть 1 ч С Га, Ь) и е > О. Так как Г равномерно непрерывна на 1"а, Ь~, то существует б > 0 такое, что )1(х') — ((х")~ ( — для любых точекх', х" с >а, Ь>, удов- 5 152 летворяющих неравенству ! х' — х" ! < б. Возьмем натуральное Ь-а число и, для которого — <б, и рассмотрим функцию ф Е Ал, принимающую в точках хь, х), ..., хл рациональные значения такие, (л) (л) (л) что ! (р (х)л)) — ~ (х(л)) ! < — (1 = О, 1, ..., п). Для всякой точки 5 х й (а, Ь) найдется ( такое, что х Е (х(л)„х(л]!. Тогда ! ф (х) — (р (х(л],) ! < ! (р (х(Л]) — (р (х(л],) ! < 4 ! (р (х(л)) — Пх(л]) ! + !.У (х( ]) 1 (хи) ) ! + +!~Ж ) фЖ )! <, +, +, и, следовательно, ф ( х ) ) ( х ) ! < ! ( р ( х ) ф ( х ( л ) ) ! + + ! (р (х("] ) — ( (х(л],) ! + ! ( (х(л],) — ( (х) ! < Зл е е < — + — + — = е.
5 5 5 Таким образом, р (ф, /) = шах !(р (х) — 1(х)! < е; значит, счетное л((а, ь] множество А плотно в С("а, Ь). 3 а м е ч а н и е. Другим примером счетного множества, плотного в С (а, Ь~, является множество всех многочленов с рациональными коэффициентами (см. задачу 295). 347. Счетным множеством, плотным в 1„будет, например, множество всех точек (х], х,, ...) й 1„у которых лишь конечное число координат хм х,, ... отлично от нуля, причем все эти координаты рациональны.
Доказательство счетности этого множества предоставляем читателю. Покажем, что оно плотно в 1,. Пусть а (а„ ам ...) Я, и е )О Найдем такое и, что для точки а'(а„..., ал, О, О, ...) будет р (а, и') < — (см. решение задачи 301). Пусть 2 х„..., х„— рациональные числа такие, что !а] — х;! < = при 2 г"и 1 =1, ..., и; обозначим через х точку из 1, с координатами (хм ..., х„, О, О, ...).
Тогда р(а, х)(р(а, а')+р(а', х) < — '+ 1/" .л е, 2 Г 4л что и доказывает наше утверждение. 348. Счетным множеством, плотным в этом пространстве, будет, например, множество всех пар функций из счетного множества, плотного в пространстве С("а, Ь] (например, из множества А, построенного в решении задачи 346). 349.
Н е о б х о д и м о с т ь очевидна: если Х сепарабельно, 153 то плотное в нем конечное или счетное множество является е-сетью для Х при любом з > О. Д о ст а то ч и о с т ь. Пусть для каждого ь > О существует не более чем счетная е-сеть М,. Тогда не более чем счетное множество Е = (] л(, плотно в Х. Значит, Х сепарабельно. л=[ 350.
Для компакта при любом е > О существует конечная е-сеть (задача 327); остается применить результат предыдущей задачи. 351. Покажем, чтоникакоесчетноемножествоЕ = (/м 1„[,, ...) ограниченных функций на [а, Ь] не плотно в М [а, Ь]. Отметим на отрезке [а, Ь] какое-нибудь счетное множество точек х,, х,, ха, ... и определим функцию 1 ч М [а, Ь] условиями: 1 (х) = О„если х не совпадает ни с одной из точек х„х,, х,, ..., и ( — 1, если )„(х„) > О, 1,если~ (х) <О (й = 1, 2, 3, ...). Тогда р ([', !,) = зпр ~ ['(х) — [„(х)~ > 1, а по«па.
м тому / не является точкой прикосновения множества Е. Следовательно, Е не плотно в М [а, Ь]. Итак, пространство М [а, Ь] несепарабельно. 352. Можно считать, что Х бесконечно, так как в случае конечного Х утверждение тривиально. Возьмем счетное множество В = (х„х,, х„...), плотное в Х, и последовательность положительных чисел е„е„е,, ..., стремяшуюся к нулю (иапример, е„= 1~ — Для каждой точки х, 6 В выберем в каждой из окрестно) отей У (хь е ), которые имеют непустое пересечение с Е, по точке хм с Е. Множество А всех таких точек х[ е У(хь е,) () Е не более чем счетно. Покажем, что А:з Е. Пусть х„с Е и е > О— произвольное число.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
