Ю.С. Очан - Сборник задач по математическому анализу (1134952), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Таким образом, множество Е в этом случае складывается из не более чем счетной совокупности не более чем счетных множеств, а потому само не более чем счетно. Следовательно, хотя бы одна точка несчетного множества Е должна быть его точкой конденсации (в частности, множество 5а непусто). 367. Замкнутость 5а доказывается легко (причем в любом метрическом пространстве Х, а не только в сепарабельном). Докажем отсутствие изолированных точек у множества 5а.
Пусть х,с 5а; тогда для произвольной окрестности У (х,, е) множество (Е ~ (х,)) () У (х„е) несчетно; значит, по теореме Линделефа, существует точка конденсации х, этого множества, принадлежащая ем у (и, значит, отличная от х ). Но тогда х, будет точкой конденсации и для Е. Итак, в произвольной окрестности точи! х, 6 5. нашлась точка из 5, отличная от х,. Значит, 5л не имеет изолированных точен. Приведем п р в м е р. Пусть Х = (а) () (() Е„), где ń— л=! попарно не пересекающиеся несчетные множества, а а — точка, не принадлежащая ни одному Е„.
Метрику в Х введем следующим образом: р (а, х) = — при х 6 Е„, р (х, у) = шах ~ —, — ~ при 1 !! 1! и я /и х б Е„, у 6 Е и х чь у. Полученное метрическое пространство иесепарабельно; все его точки, кроме а, изолированы. Если теперь взять Е = Х, то 5а есть одноточечное множество (а); оно замкнуто, но несовершенно. 368. Так как т!очки конденсации любого множества являются его точками прикосновения, а множество Е замкнуто, то 5 с: Р.
Поэтому Р == 5 () (Р" 5„). Согласно предыдущей задаче, 5„ совершенно. Остается показать, что Р" 5 конечно или счетно. Но это следует из теоремы Линделефа (задача 366), так как если бы Р ' 5 было несчетно, то одна из его точек была бы его точкой конденсации, а значит, и подавно точкой конденсации множества Р, т. е. принадлежала бы 5., что невозможно. 369. Пусть Р = Р ц д/ — какое-нибудь представление множества Р в виде объединения совершенного множества Р и не более чем счетного множества Д/ = Р" Р. Докажем: а) Р ~ 5 . Пусть х 6 Р и е — произвольное положительное число.
Множество У(х, — ! () Р не имеет изолированных точек. Действител: н>, лю- 2/ бая его изолированная точка, будучи внутренней для У (х,— ~1, 2/' являлась бы изолированной для Р; а это противоречит тому, что Р— совершенное множество. Поэтому У(х, — ~1 () Р также не 2/ имеет изолированных точек. Поскольку множество У(х, — ! () Р 2/ замкнуто, оно совершенно и, следовательно, несчетно (см.задачу 253).
Но У(х, е):э У~х, — ):з У/х, — 11 () Р. Таким образом, У (х, е) при любом е ) О содержит несчетное множество точек из Р, а значит, и из Р, т. е. х 6 5 . б) 5 ~ Р. Действительно, если х 6 Р, то некоторая окрестность У (х, е) точки х не пересекается с Р. Тогда У (х, а) () Р ~ й/, т. е.
У (х, е) содержит не более чем счетное множество точек из Р и потому х 6 5л. $59 Таким образом, Р = В„, а значит, й( = Р ~, В .. 370. Пусть Х вЂ” множество рациональных точек на прямой с обычной метрикой и Р = Х. Тогда множества Р = Р () 1"а, Ь) и Ж = Р ~ Р при произвольных а и Ь, а ( Ь дают разбиение Р на два множества, из которых Р совершенно, а Ж счетно. 371. По теореме Кантора — Бендиксона (задача 368) Р есть объединение совершенного множества Р и не более чем счетного множества й1. Если Р пусто, то Р не более чем счетно. Если же Р непусто, то, как следует из результатов задач 253 н 360, оно имеет мощность континуума. А так как )У не более чем счетно, то и множество Р = Р () Ф имеет в этом случае мощность континуума. 372.
Согласно результату задачи 352, Е, рассматриваемое как подпространство пространства Х, сепарабельно. Но единственным плотным множеством в пространстве, все точки которого изолированные, является само пространство. Следовательно, Е не более чем счетно. 373. Пусть Х вЂ” несчетное множество, наделенное метрикой, введенной в задаче 125, т. е.
впределенной следующим образом: ( О, если х = у, ( 1, если х ~ у. Если за Е принять само Х, то все его точки будут изолированы, хотя оно и несчетно. 374. Не может. Действительно, в противном случае несчетное множество Е '~ Е', не пересекающееся с Е', не содержало бы ни одной своей предельной точки, а значит, и ни одной своей точки конденсации.
Но, в силу сепарабельности плоскости (задача 345), это противоречит теореме Линделефа (задача 366). 375. Метод доказательства указан в условии задачи. 376. Если бы точка х, 6 Е была изолированной, то Е было бы объединением двух разъединенных множеств (хД и Е ' (х,), что противоречит связности Е. 377. Равенство (А () В)() (А () В) = Я равносильно тому, что А () В = И и А () В = Я, т. е. что В не содержит точек прикосновения множества А и А не содержит точек прикосновения множества В.
378. а) Если А и В оба замкнуты, то (А () В) () (А () В) = = А () В = Я, так как А = А, В = В. 6) Если А и В оба открыты, то А () В = Я, так как все точки множества В внутренние, а потому не могут быть точками прикосновения множества А; точно так же А () В = З. 379.
Так как Е несвязно, то Е = А () В, где А и  — разъединенные множества; тогда, в частности, А () В = Я. Так как Е замкнуто, то А с: Е. Таким образом, А ~ Е ' ~ В = А, т. е. А замкнуто. Аналогично проверяется замкнутость В. 380. Так как Е несвязно, то Е = А () В, где А и  — разъеди- 160 пенные множества. Каждая точка к, 6 А обладает окрестностью У (х, е) ~ Е (поскольку Е открыто).
Так как х, не является точкой прикосновения для В, то найдется окрестность У (хм 6) ~ с: У (х„е), не содержащая точек из В; но У (х„а) с: Е; поэтому У (х„б) с:. Е ", В = А, т. е. к, 6 А'. Таким образом, А открыто. Аналогично доказывается, что В открыто. 381. Допустим; что Е несвязно. Тогда Е = А () В, где А и В— непересекающиеся непустые замкнутые множества (см.
задачу 379). При этом хотя бы одно из множеств А () Р, В () Р пусто (если бы они оба были непуеты, чо множество Е () Р =(А () Р) () () (В() Р) было бы несвязно). Пусть, например, А () Р = И. Тогда Е () Р =(А () В) () Р =А () (В () Р). причем А и В () Р замкнуты, непусты и не пересекаются (так как А () (В () Р) = (А () В) () (А () Р) = Я); но это противоречит связности Е () Р. Полученное противоречие доказывает связнт!сть множества Е. Аналогично проверяется связность Р. 382.
П р и м е р в пространстве 1ч!: Е =(0, Ц () !2, 3), Р =ь0, 2!. ЗЗЗ. Допустим, что Š— несвязное множество, так что Е = А () В, где А и  — непересекающиеся непустые замкнутые множества (см. задачу 379). Тогда множества Е () А и Е () В непусты (если бы, например, Е () А было пустым, то имело бы место включение Е с В с Е, где В замкнуто и отлично от Е; а это невозможно в силу результата задачи 168. Следовательно, множества Е () А и Е () В разъединены (поскольку разъединены А и В). Но это противоречит связности Е, так какЕ = (Е () А) () () (Е () В).
Итак, допустив, что Е несвязно, мы пришли к протиВоречию. Значит, Е связно. П р и м е р. Пусть Š— множество всех рациональных чисел на прямой. Тогда Е несвязно, а Е связно. 384. Это следует из результата задачи 383, если учесть, что Н является замыканием множества Е в пространстве Н (см. задачу 192) . 385. Если бы Е было несвязным, то его можно было бы представить в виде объединения двух разъединенных множеств А и В.
Пусть х е А, у е В. По условию задачи существует связное множество (( с: Е, содержащее точки х и у. Тогда Я =- Я () А) () () (Я () В), где Я () А, Я ()  — разъединенные множества; но это невозможно в силу связности множества Я. 386. Пусть Š— рассматриваемое множество. Обозначим 'через Е, множество точек из Е с-отрицательными абсциссамн, через Е,— с положительными. Тогда Е-= Е, () Ем причем (Е! () Е,) () () (Е, () Е,) = к, т. е.
множества Е, и Ез разъединены (см. задачу 377). 387. Пусть Х вЂ” прямая, плоскость или трехмерное евклидово пространство с обычной метрикой и пусть точки а и Ь принадлежат Х. Прямолинейный отрезок с концами а и Ь будем обозначать [а, Ьь Если а = Ь, то отрезок [а, Ь3 состоит из одной точки и потому связен. Пусть а Ф Ь и [а, Ь) = Р () Ф, где Р и Ф вЂ” непустые замкнутые множества. Докажем, что Р () Ф Ф О.
Для этого разделим отрезок [а, Ь3 пополам и обозначим через [ао Ь,3 какую- нибудь его половину, содержащую как точки из Р, так и точки из Ф; по крайней мере одна половина отрезка [а, Ь] обладает этим свойством (если, например; середина отрезка принадлежит множеству Р, то в качестве [аь Ь,) берем ту половину [а, Ь"ь которая содержит хотя бы одну точку множества Ф). Аналогично поступим с отрезком [ао ЬД: разделим его пополам и обозначим через [а„Ь,) какую-нибудь его половину, содержащую как точки из Р, так и точки из Ф.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
