Ю.С. Очан - Сборник задач по математическому анализу (1134952), страница 43
Текст из файла (страница 43)
множество всех точек вида х+ г», где г» фиксировано, а х С Е. Множества Е» конгруэнтны Е и потому все имеют меру р. Если бы они попарно не пересекались, то, положив Н = () Е, мы имели бы тН = тЕ, + + тЕз+ ... +тЕ„+ ... = р+ р+ ...
+ р+ ... = + ао, что невозможно, так как Н с: (а, 6 + Ц и, значит, тН ( Ь + !— — а. Итак, существуют такие два различных номера ! и 1, что Е, Д Еу Ы. Пусть ьсЕ»Д Е;. Тогда ~=х+г,.=у+ги где х„у Е Е, откуда )х — у ! = !г, — гз! ~ О, так что р (х, у) раци он альп о. 433. В силу результата задачи 417, Е содержит о г р а н и ч е ни о е подмножество Е„мера которого также положительна; остается применить к множеству Е, результат предыдущей задачи.
434. Š— нигде не плотное совершенное множество на отрезке 10, Ц (см., например, задачу 290). Мера дополнительного множества равна сумме длин смежных интервалов: ! 9 9» 9ь тСЕ = — + — + — + " + — + " !о !о» ю» "' ю Следовательно, тЕ = О. 435. Это множество является дополнительным (до отрезка !"О, Ц) к тому, которое рассмотрено в предыдущей задаче; поэтому оно всюду плотно на отрезке 10, Ц и открыто; его мера равна 1. 436. Часть этого множества, расположенная на отрезке ! и, и + Ц (и — целое), получается из множества Е задачи 434 сдвигом на и и потому имеет меру нуль.
Все множество Н представляет собой объединение этих частей: Н = 0 (Н П (и, + Ц), и потому также имеет меру нуль. 437. Обозначим через А» множество всех чисел отрезка [О, Ц, в бесконечном десятичном разложения которых фигурирует цифра л.
Множество А» можно получить, если к множеству точек, десятичное разложение которых невозможно без цифры й, добавить те точки, которыедопускают два различных способа разложения и в б е с к о н е ч н о м разложении которых имеется цифра 9. Таким образом, А» есть объединение открытого и счетного множеств; следовательно, А» — множество типа Р,. Указанное открытое множество, а с ними А„, плотно в!"О, Ц; тА = 1(см.
задачу 435). км Интересующее нас множество Е является пересечением всех А (й = 1, 2, ..., 9). Следовательно, Š— множество типа Е, . Чтобы найти меру Е, найдем сначала меру его дополнения относительно отрезка 10, 11: 9 9 СЕ = С( П А ) = () СА9; 9=! 9=! но тСА, =0 (л = 1, ..., 9); следовательно, тСЕ=О, так что тЕ=1. Отсюда, в частности, следует, что Е плотно на отрезке (О, 11.
438 Это — совершенное нигде не плотное множество. Оно содержится в множестве А, получающемся следующим образом: разделив отрезок (О, Ц на 1000 отрезков длины 0,001 и удалив из него интервал 10,222, 0,2231, получим множество А!, составленное из 999 отрезков; заменив каждый из них содержащимся в нем множеством, получающимся подобным сжатием множества А, в 1000 раз, получим множество А„составленное из 999' отрезков длины 0,001'1 заменив каждый из них содержащимся в нем множеством, получающимся подобным сжатием множества А, в 1000' раз, получим множество А„составленное из 999' отрезков длины 0,001', и т.
д.; за А принимаем пересечение А, П А, П А, Д ... всех этих множеств. Так как тА = 1 — (0,001+ 999 0,001' + + 999' 0,0019+ ...) = О, то и рассматриваемое множество тоже имеет меру нуль. 439. Объединение всех этих интервалов представляет собой открытое множество l ! 1! ЗВ Его мера равна 4. ( — + — ) = —. (!10 9, 45 440. Мера объединения всех интервалов и! и о! не превосходит суммы их длин; поэтому л1((Ци!) () (() о!)) (,'),' — ", " +,'? !' ! ! ! 1 ~~ = — ~,(Ь, — а,).
2 Но ~Р,(Ь! — а!) = тСЕ = 1 — О,б = 0,4. Итак, т((()и!) () (()о!))((0,2. ! ! Так как мера множества (()и!) () (()о!) меньше меры множества Е, то это множество не может покрыть всего Е. 172 441. Можно. Пусть 1у!) — какая-либо последовательность положительных чисел, такая, что ряд ~у,. сходится и его сумма мень(=! ше 1. Пусть, кроме того, (т)!) — какая угодно убывающая последовательность положительных чисел, стремящаяся к нулю. Впишем* в отрезок (О, [) нигде не плотное совершенное множество А, меры уь каждый смежный интервал которого имеет длину меньше чем т1,.
Далее, в каждый смежный интервал )!х, р[ множества А! впишем нигде не плотное совершенное множество меры ф — се )уг, каждый смежный интервал которого, расположенный на Эа, 1)[, имеет длину < т1з. Объединение всех этих совершенных множеств обозначим Аз', Ясно, что тАе = УзпзСА! < Уз (здесь и дальше дополнения берутся до всего отрезка (О, 11). В силу результата задачи 233, А, () А, — нигде не плотное совершенное множество и каждый его смежный интервал имеет длину меньше т1з; при этом 0 < т (А! [) А ) < у, + уз. Пусть уже построены нигде не плотные совершенные множества А„..., А„на [О, Ц с нигде яе плотным совершенным объединеэ нием [) Ап В каждый смежный интервал ]се, ))[ этого объединения з=! впишем нигде не плотное совершенное множество меры ()) — се) уз+„ каждый смежный интервал которого, расположенный на эа, (1[, имеет длину меньше чем т4„.
Объединение всех этих совершенных множеств обозначим А„~,; ясно, что Л тА„+т = у„+тт (С ([) А!)) < у,+ . (=! «+1 Тогда [) А! — нигде не плотное совершенное множество; его мера з=! «+1 меньше чем ~у,.; каждый его смежный интервал имеет длину мень- з=! ше т)„+,.
Покажем, что множества В = [) А, и А СВ удовлетворяют з=! требованиям задачи. Пусть Эа, Ь[ — произвольный интервал, вхо- Ь вЂ” а дящий в [О, Ц, и и таково, что т)„< —. Так как [) А, — нигде з Е=! не плотное совершенное множество и длины всех его смежных интервалов меньше чем т1„, то внутри 1а, 6[ найдется хотя бы один смежный интервал этого множества; обозначим егор. Тогда1Д Ат=Ы для ! =1,2,...,п; ' Внисзть в отрезок [а, Ь) или в интервал )а, Ь[ совершенное множество— это знзчнт построить совершенное множество, включзюшеесн в [а, ь) или в )а, ь[. 17Э т (1 П А„„) = !1!у„„, где 11! — длина интервала 1; далее, т (/ПА„„) (~l!у„+„т (1ПА„„,) Я/|у„„и т.
д, Так как В~ А„„ и !а, Ь1:э 1, то )а, Ь 1' П В:з ! П А„„; следовательно т (!а, Ь1 П В) ) т(1 П А„,) =(1) у„.„> О. Чтобы доказать теперь, что т Ца, Ь !" П СВ) > О, напомним, что множества А! попарно не пересекаются. Поэтому т(/ПВ) = ~ч, "т(1 П А!)(~1! у.+!+!1!у„+, + !=1 +! /~та+4+" (1112,"уг(1/! !=! Но т (1 П СВ) = 11! — т (1 П В). Следовательно, и (1 П СВ) >О. Л так как/ с !а, Ь1, то и подавно т()а, ЬГ П СВ) >О. 442. Может.
П р и м е р. Построим для каждого натурального числа л нигде не плотное совершенное множество Е„на 1а, Ь! 1 такое, что тЕ„= Ь вЂ” а — — (см. задачу 410), и положим Е = и 1 = () Е„. Так как Е„с Е с 1"а, Ь), то Ь вЂ” а — — = тЕ„( л=! л ( тЕ ( Ь вЂ” а для любого и и, следовательно, тЕ = Ь вЂ” а. 443, Да. Проведем соответствующее построение на отрезке (о, ц, Прежде всего построим на отрезке 10, Ц нигде не плотное со! вершенное множество Е, меры —.
Далее, в каждый смежный ин- 2 теРвал 3ац, ()ц1 множества Е, впишем нигде не плотное совеРшенное множество Ец, мера которого равна половине длины интерва1 ла )ац, (1ц1. Тогда т(()Ец) = —,. Множество Е, =Е, () 2! ' () (() Ец) совершенно и нигде не плотно (см. задачу 233). В каж! Дый его смежный интеРвал )ам, Рх!1 впишем нигДе не плотное совершенное.множество Еао мера которого равна половине длины 1 интервала 3а,1, рх!1".
Тогда т(()Е„) = —, а множество Е, = 2! =Е, () (ЦЕм) совершенно и нигде не плотно. Продолжая этот ! процесс неограниченно, мы получим счетную совокупность попарно не пересекающихся нигде не плотных совершенных множеств Е1 Ем, ..., Ец, ...; Е „..., Еец ...; ... ...;Е„„...,Ен, ..., ... 174 При этом 1 1 1 тЕ, = —, т(() Ем) = —, ..., т(()Ей!) = —, ! и потому т (Е! () (О Ем) 0 " () (() Ей!) () ") = 1 1 1 = — + — +...+ — +...=1. 2 2й 2й+! Таким образом, счетная совокупность множеств Е, и Е„(й =1, 2, ..., ! = 1, 2, ...) удовлетворяет всем условиям задачи. 444.
Существует; в качестве такого множества можно взять ГО, 11 ' Е, где Š— объединение всех множеств, построенных при решении предыдущей задачи. 445. Так как 1 — е ( тЕ„( тЕ ( 1, а е можно взять произвольно малым, то тЕ = 1. 446. По свойству аддитивности меры имеем: тЕ, + тЕ, =- тЕ, + и (Е, ' Е!) + и (Ей Й Е,) = = т (Ей () Ей) + т (Е Й Ей). 447.
Для совокупности из двух измеримых множеств Е, и Е, это соотношение доказано в предыдущей задаче, причем в этом случае имеет место равенство. Для любой конечной совокупности множеств (Е,) докажем неравенство по индукции. Пусть ~ч'~тЕ,( т(() Е)-1- '~" т(Е! Й Е,).
(1) !<!<1<й Тогда й-!. 1 й й ~;тЕ, = й,тЕ!+тЕй+й(т(() Е)+ ~чз„т(Е,ЙЕ)+тЕ,1,— й=! й=! 1<!<!<й й+1 й =т(0 Е!) +т(Щ Е!) Й Ей+!)+ ~чз~ т(ЕйЙЕ1)( (=! й=! !<й</<й й+1 (т(() Е,)+ ~~~~ т(Е!ЙЕй„)+ ~ т(Е,ЙЕ,) = !<й<й !<!<у<й й+1 = т(,() Е!)+ ~ч.", т(Е!Й Е,). !<ь<!<й+! Для счетной совокупности множеств требуемое неравенство получается предельным переходом в неравенстве (1) при й- со (при этом нада использовать свойство 13 из введения к даннон главе). л Л 448. Так как Й А, = С (()СА!), то ! 1 1=! !та Но л п т(П А!) = 1 — т(0 СА!) ! ! 1=! т(() СА,) < ~чз~ тСА, =;~~ (1 — тА,)= и — ~',тАс !=! е=! к=! !=! и л А так как по условию ~ч~тА! > и — 1, то и — ~ч~тА! < 1. 1=1 к=! Следовательно, т(() СА,) < 1.
(2) 1=! Сопоставляя (1) и (2), получим окончательно: т(П А,) > О. с=! 449. Выберем сначала замкнутое множество Р, с: Е, такое, что тР, > тЕ, — — (см. свойство 11 иа введения к этой главе). е 2 Дальнейшее построение ведем по индукции. Пусть для всех й < и построены замкнутые множества Р» такие, что Р» ~ Е, тР > > тń— и Р, ~ Р»:з ...:з Р„,. Выберем в качестве е (2» — 1) Р„замкнутое множество, удовлетворяющее условиям Рл ~ Ел П Ра-т и тР„> т (Е„п Рл,) — —. Так как т (Е„П Р„,) = тЕ„+ тР„, — т (Е„() Р„„) (см. задачу 446), то тогда тР„> тЕ„+ тР„! — т (Ел () Р„,) — —. 2л Учитывая теперь, что Е„() Р„, с Е„и потому т (Е„() Р„,) < тЕ„и что, по йндуктивному предположению, е (2л-! — 1) тЕ„, < тР„, +, получим окончательно: 2"-! тР„> т Е„+ тЄ— (тР„, -~- е (2»-! 1) ! е 2" — 1 тŠ— е °:.
Л 2л Итак, Рлс Е„, тР„> тń— е °:) тń— е, Р„с Р„,. Ис2л ксеия последовательность замкнутых множеств построена. 450. Если и = О, то йЕ = (О), и утверждение задачи очевидно. Пусть теперь Ф Ф О. Докажем сначала, что для любого множества А на прямой имеет место; т(йА) =)й) тА. !76 Действительно, любому покрытию множества А системой интервалов (1а) отвечает покрытие множества ЙА системой интервалов (И„) и, обратно, любое покрытие множества йА имеет вид (И„), где (1а) — некоторое покрытие множества А. Отсюда и из равенства р (И) = 1Ц )г1, справедливого для любого интервала 1, получаем: и (АА) =1п1 ~ р (И ) = 1п( ~ 1Ц р1а = а а =1Ц 1п1 ~~~ р1„= ~Ц тА.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
