Ю.С. Очан - Сборник задач по математическому анализу (1134952), страница 46
Текст из файла (страница 46)
В любой окрест- ности этой точки найдутся точки с иррациональной абсциссой и с ординатой —; значение функции в таких точках равно — —, Р~. 1 Ь % а потому колебание функции в любой окрестности точки ( —, — ~ /д ай 9 Ч~ ! больше или равно —. Значит, эта точка является точкой разрыва. % Исследование функции в остальных точках проводится ана- логично. 506.
Пусть 1 — функция, определенная и непрерывная на компактном множестве Е. Рассмотрим произвольную последова- тельность (у„) точек из 1(Е). Для каждого п существует точка х„ч Е такая, что 1(х„) =у„. В силу компактности Е, последо- вательность (х„) обладает подпоследовательностью (х,ь), сходя- щейся к некоторой точке а ч Е. Так как функция ) непрерывна в точке а и 1!шх„=а, то11ш)(х„) =) (а), т. е.
11 ш у„, = ~ (а) й ) (Е). пь Итак, всякая последовательность (у„) точек из 1 (Е) обла- дает подпоследовательностью, сходящейся к точке из ) (Е). Значит, 1(Е) — компакт. 506. П р и м е р ы. в) Пусть ) (х) = е"'; эта функция непрерыв- на на замкнутом множестве 1 — со, О! числовой прямой. Однако образом этого множества является незамкнутое множество 30,Ц. 1вэ б) Пусть 1(х) = агс1и х, Е =) — оо, +со[, 1(Е) = ~ — ~, — 1, 2 21 Множество Е замкнуто, тогда как г (Е) незамкнуто. 507. Пусть 1'(х) =з!п х, Е =)О, 2п[.
Тогда 1(Е) =[ — 1, Ц, а это множество не является открытым на числовой прямой. 508. Пусть х„х„... — последовательность точек из 7 ' (Р), сходящаяся к точке $ е Х. Функция 1 (х) непрерывна всюду на Х, и в частности в точке в; поэтому 7($) = Игп 7 (х„).
Так как 1(х„) ч Р, а множество Р замкнуто, то и 1($) ч Р, т. е. $ ч) ' (Р). Йтак, каждая сходящаяся ггоследовательность точек из 7' ' (Р) сходится к точке из 7' ' (Р); следовательно, множество 1 ' (Р) замкнуто. 509. Пусть х, ч ~ ' (6); тогда у, =1'(х,) ч 6: Пусть У(у„) = =)у, — е, у, + е[ — окрестность точки у„включающаяся в 6. В силу непрерывности функции в точке х„существует окрестность У (х„б) такая, что для всех х ч У (х„б) имеем: ~((х)— — у,( (е, т. е. 1(х) ч У(у,) ~ 6. Следовательно, У(х„б) с с: 1 ' (6), т. е. вместе с точкой х, ч 7" ' (6) в это множество входит и некоторая окрестность точки х,. Значит, 7 ' (6) — открытое множество.
Заметим, что этот результат можно получить также из результата предыдущей задачи переходом к дополнениям. 510. Может. П р и м е р ы: а) 1(х) =с; здесь прообразом компактного одноточечного множества (с) является вся числовая прямая; б) 1(х) = з!и х; здесь прообразом отрезка [ — 1,Ц является вся ось Ох. 511. Н е о б х о д н м о с т ь условия доказана в задаче 509. Докажем его д о от а т о ч н о с т ь. Возьмем произвольную точку х, числовой прямой и рассмотрим произвольную окрестность )уч е уо+ е[ точки у, =~(х,); прообразом этой окрестности является по условию некоторое открытое множество 6, причем х, ч 6.
Пусть )х, — б, х, + 5[ — окрестность точки х„входящая в 6. Тогда 1(х) ч )у, — е, у, + е[ для всех х ч )х, — 5, х, + 5[; но это и означает, что функцйя 7 (х) непрерывна в точке х,. Так как х, — произвольная точка числовой прямой, то функция 1(х) непрерывна на всей числовой прямой. 5!2. Пусть 1а, Ь[ — произвольный интервал на числовой прямой. Он является дополнением к множеству ) — со, а) [) [Ь, +со[, а прообраз этого множества замкнут, как объединение двух замкнутых множеств (см. задачу 476). Поэтому прообраз интервала 3а, Ь[ открыт (см.
задачу 477). Итак, прообразы всех интервалов открыты; но тогда, на основании результата предыдущей задачи, функция 1(х) непрерывна. 513. Пусть х, — точка непрерывности функции 7 (х), причем 7(х,) = и;, докажем, что существует окрестность этой точки, все точки которой являются точками непрерывности функции 1(х). Пусть К (х,) — такая окрестность точки х„что для всех х 6 У (х,) 1 1 выполняются неравенства 1 (х,) — — < 1 (х) < 1 (х,)+ —, т е по < 1(х) < "о + 1 ! Так как функция, по условию, принимает только целые значения, то это означает, что ! (х) = и, для всех х с )к (х,). Таким образом, функция постоянна на )к (х,), а значит, непрерывна во всех точках этой окрестности.
Нтак, если х, 6 Е, где Š— множество точек непрерывности функции 1(х), то некоторая окрестность Р (х,) этой точки также входит в Е; а это означает, что Š— открытое множество. Множество точек разрыва функции1(х) замкнуто, как дополнение к открытому множеству. 514. Множество 1(Е) компактно (см. задачу 505), а всякое компактное множество ограничено (см.
задачу ЗОЗ). 515. Непустое множество 1(Е) компактно и, следовательно, замкнуто (см. задачу 303). Но тогда оно содержит все свои точки прикосновения, и в частности точку А =1п!1(х) и точку В = к1Е = знр 1(х) (то, что, например, А есть точка прикосновения для ккЕ 1". (Е), следует из того, что в любом интервале )А — з, А + е[ найдется'котя бы одна точка из 1 (Е); в противном случае число А + е было бы одной из нижних границ функции 1 (х) на Е, а это противоречит тому, что А есть наибольшая из нижних границ).
516. Пусть Š— множество всех непрерывных функций х (1) ла [О, Ц таких, что х (0) = 1, 0 ( х (1) (! при 1 е [О, Ц. Множество Е ограничено и замкнуто в С [О, Ц, которое является полным пространством (см. задачу 130). Поставим в соответствие каждому 1 элементу х 6 Е число!(х) = . Функция 1(х) непрерывна 1 ) х(1) ж а на Е, но не ограничена на нем (непрерывность следует из того, что ! ) х (1)Ж непрерывно зависит от х в С [О, Ц и не обращается в нуль а 1 на Е; неограниченность следует из того, что (х (1)г(! может быти 5 сделан сколь угодно малым для надлежащим образом подобранных х (1) из Е.
517. В качестве Е можно взять то множество в С [О, Ц, которое было построено в предыдущей задаче, а в качестве 1 (х) — функ- 1 цию 1 (х) = ! х (1) Ш. Непрерывность и ограниченность !" (х) на Е 'о очевидны. Однако нет такой непрерывной функции а (1), принадлежащей Е, для которой !" (а) = 1п( 1(х), так как 1п( 1" (х) = О, к!Е к;Е 191 1 а для любой функции х (!) из Е имеет место !' (х) = ) х (!) Ж > О.
'о 518. Для любых х' е Х, х" 5 Х имеют место неравенства: р (х', у,) — р (х", у,) ( р (х', х"), р (х", уу) — р (х', у,) ( ( р (х', х"), откуда 1р (х', у,) — р (х", у,)1: р(х', х"), а зто оз- начает, что функция р (х, у,) равномерно непрерывна в Х (и, следовательно, непрерывна в Х). 519. Пусть у е Е.
Тогда для любых х' Е Х и х" Е Х имеем: д(х',Е) (р(х',у) (р(х',х")+ р(х",у), т. е р (х", у) ) 1( (х', Е) — р (х', х"). Перекодя в этом неравенстве к нижней грани по всем у е Е, получим: 11 (х", Е) = 1п! р (х", у) ) Н (х', Е) — р (х', х"), у'Е нли 1( (х', Е) — 1( (х', Е) ( р (х', х"). Меняя ролями х' и х", получим: 1( (х", Е) — г( (х', Е) ( ( р (х', х"), откуда ! 1( (х', Е) — 11 (х", Е) ! ( р (х', х"). Следовательно, функция г( (х, Е) равномерно непрерывна и, значит, непре ывна в Х.
20. Рассмотрим р (х„у) как функцию от у на компакте Е. В силу ее непрерывности (см. задачу 518), су1цествует точна у, Е Е такая, что р (х„у,) = !п1 р (х„у) (см. задачу 515), т. е. р (х„у,) = у;Е 11 (хо, Е). 521. Построим в пространстве Х замкнутый шар В = В (х„г) такой, что множество Е Д В непусто. В силу компактности этого множества, в нем найдется точка у, такая, что р (хо уу) = 1( (хо, Е П В) (см. предыдущую задачу). Тогда р (хо уо) = г( (хо, Е), так как для любого у 5 Е выполняется неравенство р (хм у) ) ) р (х„у,): для у е Е П В это следует из выбора точки у„а для у Е Е ~ (Е П В) — из того, что р (хв у) > у )~ р (хо уо).
522. Для любых х е Е, у е г имеем: р (х, у) ) Ы (у, Е) ) > 1п(д(у, Е), т. е. у1Е р(х,у) ) !пав(у, Е); уеу переходя в этом неравенстве к нижней грани по всем х е Е, у е Е, получим: 1п! р (х, у) ) !п1 д (у, Е), или же, уел усе В (Е, Е) ) 1п! г( (у, Е). уел С другой стороны, при фиксированном у е Е имеем: 1п! р (х, г) ( 1п1 р (х, у), т. е. Н (Е, Г) ( 1( (у, Е). у1Е,КЕ к1Е 192 Так как это неравенство справедливо при любом у Е Р, то оно сохранится и для нижней грани (по всем у 5 Р), т. е.
о((Е, Р) ~ ()п(11 (у, Е). (2) уя Сравнивая неравенства (1) и (2), получаем искомое равенство. 523. Согласно задаче 519, г((у, Е) есть непрерывная функция от у. Поэтому в компакте Р нацдется точка у, такая, что о( (у„Е) = = !п( о' (у, Е), т. е. о( (у„Е) = о( (Е, Р) (см. задачи 515 и 522). мл Так как Е обладает свойством Н, то, в силу результата задачи 521, существует точка хо 5 Е такая, что р (х„у,) д (Е, уо).
Следовательно, р (хо уо) = с( (Е, Р). 524, 525. Зто следует неиосредственно из задачи 523 (если учесть также результат задачи 334). 526. П р и м е р. Гипербола на плоскости и ее асимптота. 1 527. Пример. Кривая у = н прямая у — 1. 1+ ко 528. Пусть Е = Дь 1о, ...), где )„(и = 1, 2, ...) — непрерывная на [О, Ц функция, определенная следующим образом: 1 1 11 — + — прн х с )0,1 — — ~, 2 л+1 1 1 линейна на ~! — —, ) — — 1, л л+!) /„ (х) = 0 при хЕ11- — )1 1 л+1 ) Р (хо уо) — Р (хм уоП (~ Р(хо хо)+ +р(уо у)( ( У2 й ((хо у!), (х„уа)) г Ряс. 2а 193 (см. рис.
28). Множество Е ограничено и замкнуто в полном пространстве С [О, Ц (замкнутость Е следует из того, что р (7о„~„) )~ — прн по Ф л). 1 В качестве множества Р возьмем одноточечное множество, состоящее из функции у, (х), гож- !! дественно равной нулю на [О, Ц. Тогда р ()„, у,) = — + — ) —, 2 л+1 2' Л у го(х) о( = (Е, Р) = с((Е, уо) = о = (п(р((о, у,) = —, так что !а о о((Е, Р) ~р До, уо) ни для какого элемента г„множества Е. у=1,(к) 529. Зто следует из неравенств !ь ь р(к, 1) Ед р(к, !! Е!) ье! !ьь» р (к, Еь) + р (к, Ц Е!) + ' з р (к, Еь) + р (к, О Е;) + 'ь~.! ь'е 2 р(к, 0 Е!) ь+ ьь + "' + ' " р (к, Е„) + р (к, !.) Е!)' ьеп Легко видеть, что ) (х) = р„при х Е Ек (й = 1...„п).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
