Ю.С. Очан - Сборник задач по математическому анализу (1134952), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Неограниченно продолжая этот процесс, мы получим убывающую последовательность отрезков ([а„, Ь„)), длины (т. е. диаметры) которых стремятся к нулю, причем каждый из этих отрезков содержит как точки из Р, так и точки из Ф. Пусть С вЂ” общая точка всех этих отрезков (см. задачу 208). Каждая ее окрестность содержит [а„, Ь„) с достаточно большим номером и и, следовательно, точки и из Р, н из Ф. Поэтому С вЂ” точка прикосновения и для Р, и для Ф. Так кан оба эти множества замкнуты, то С с Р () Ф, т. е. Р [) Ф ~ О.
Применяя результат задаяи 379, заключаем, что отрезок [а, Ь) связен. Заметим, что для случая отрезка на прямой утверждение на стоящей задачи следует также из задачи 214. 388. Любые две точки замкнутого круга (шара) соединяются содержащимся в нем прямолинейным отрезком на плоскости (в трехмерном евклидовом пространстве). Утверждения задачи вытекают поэтому из результатов предыдущей задачи и задачи 385. 389.
Предположим, что Е несвязно, т. е. Е = А [) В, где А и  — разъединенные множества. Хотя бы одно из множеств Е„ Е, имеет непустое пересечение и с А, и с В (в самом деле, если, например, Е, () А = О, то В.:» Е, и Е,~ А; поэтому Е, [) В:» Е~ [) () Ег:ть О и Е, () А чЬ О). Пусть, скажем, Е, () А Ф О и Е, () ВФ О. Тогда Е~ = (Е~ () А) () (Е~ () В), и множества Е, () А и Е, () В разъединены, так как А и В разъединены.
Но это противоречит условию связности Е,. Итак, предположение, что Е несвязно, привело к противоречию; значит, Е связно. 399. Для любых двух точек к, у е Е имеем х с Е, ус Е тогда к с Е„, у е Е„, где п = гпах (пь пз), т. е, существует связное множество, включающееся в Е н содержащее х и у. Поэтому, согласно результату задачи 385, множество Е связно. 391. Из результата задачи 389 следует (после применения индукции), что для любого номера п множество Р„= () Е, связно. 1 А тогда (Р„), как возрастающая последовательность связных 162 множеств, имеет связное объединение (см. предыдущую задачу).
Но () Р„= 0 Е;, следовательно, () Е, также связно. л=!, !=1 392. Множества Н, = Е;0 Е!~ь! связны и удовлетворяют усло- вию Н, () Н,+, = (Е! () Е,+!) () (Е,+, 0 Е;+,) ~ Е!+, = йУ для каждого номера !. Согласно результату предыдущей задачи связно и их объединение () Н,= () (Е, () Е!~ь!) = () Е,. г=! с-! !=! 393.
Любые две точки данного множества можно соединить ломаной, входящей в это множество и состоящей не более чем из трех звеньев, параллельных осям координат; но ломаная есть связное множество (см. задачи 387 н 389). Значит, в силу результата задачи 385, рассматриваемое множество связно. 394. Пусть Š— связное множество на прямой и х„х, — любые две различные его точки.
Если бы какая-нибудь точка с, заключенная между х, и х„не принадлежала Е, то Е можно было бы представить в виде объединения двух разъединенных множеств А = = 1 — оо, с ~() Е и В = )с, +со~() Е", но это противоречит связности Е. Итак, если множество Е связно, то вместе с любыми двумя своими точками оио содержит и весь отрезок, соединяющий эти точки. Обратно, пусть множество Е на прямой таково, что каковы бы ни были точки х! с Е, х! с Е, где х, < х„отрезок ~х„х!) полностью входит в Е.
Тогда множество Е связно в силу результатов задач 385 и 387. 395. Связность каждого из этих множеств вытекает из результатов предыдущей задачи. Докажем, что этими множествами исчерпываются все связные множества на прямой. Пусть Š— связное непустое и неодноточечиое множество иа прямой, а = !п( Е, Ь = зцр Е. Рассмотрим сначала тот случай, когда а и Ь вЂ” конечные числа (а < Ь). Тогда любое число с, заключенное между а и Ь, входит в Е. Действительно, так как Ь = =зцр Е, то существует точка Ь, с Е такая, что с< Ь, < Ь.
Точно так же устанавливается, что существует а! е Е, где а < а, < с. Но тогда, в силу связности Е, иа основании результата предыдущей задачи заключаем, что ! а„Ь!1 с: Е и, значит, с с Е. Итак, интервал 3т, Ь( включается в Е, а точки, лежащие за пределами отрезка ~а, Ь), не принадлежат Е. Следовательно, Е является одним из следующих множеств: 1а, Ь~, 3а, Ь3, ~а, Ь~, ~а, Ь3. Если а = — оо, а Ь конечно, то Е равно) — оо, Ь~ или ) — со, Ь]; если а конечно, а Ь = +со, то Е равно 1а, +со~ или ~а, +со~; наконец, если а = — со, Ь = +со, то Е = ) — оо, +оо[, Во всех этих случаях доказательство проводится так же, как и в том случае, когда а н Ь конечны.
1бз 396. Доказательство проводится так а же, как при решении задач 387 и 368. Под отрезком в пространстве Ю", соединяющим точки а = (аь ..., а») и Ь = (Ь„..., Ь„), понимается совокупность точек ь с координатами с» = (1 — Л) а» + ЛЬ» (Ь=1,, п), где Л пробегает отрезок (О, 1) числовой прямой.
397. Если бы в Х было такое множестРис. 26 во Е, то его дополнение СЕ= Х ~ Е также было бы непустым множеством> одновременно открытым и замкнутым. Но тог. да все пространство Х было бы объединением двух непересекающихся непустых замкнутых множеств Е и СЕ, что, в силу результата задачи 378, противоречит связности Х. 398. Нельзя. В самом деле, допустим, что открытый круг Е можно представить в виде Е = О, () Ом где О, и Оз — открытые множества, отличные от всей плоскости и вместе составляющие всю плоскость.
Тогда мы имели бы (в силу закона двойственности): СЕ=СО, () СОм где СО, и СО, — непересекающиеся непустые замкнутые множества, т. е. множество СЕ было бы несвязным. На самом же деле СЕ связно. Действительно, любые две его точки а и Ь можно соединить ломаной, принадлежащей СЕ (рис. 26), а ломаная является связным множеством (см.
задачи 387 и 389); поэтому связность СЕ вытекает из результата задачи 385. 399. Необходимость. Пусть Е х Р связно. Так как по условию Е х Р непусто, то множества Е и Р также непусты, Докажем, что этн множества связны. Если бы одно из ннх, например Е, было несвязным, то его можно было бы представить в виде объединения Е = А () В, где А и  — разъединенные множества. Тогда, как легко видеть, множества А х Р и В х Р также разъединены (они непусты, твк как Р непусто). Но Е х Р = (А х Р) () () (В ~~ Р); поэтому Е х Р было бы несвязным, что противоречит условию.
Д о с та т о ч н ос т ь. Пусть множества Е и Р связны. Возьмем две любые точки (хю у,) и (хм у») из Е х Р; рассмотрим множества (х,) ~с Р и Е Х (у»). Пересечение этих множеств непусто: оно состоит нз точки (хь у»). Кроме того, каждое из этих множеств связно, так как (х,) х Р изометрично Р, Е х (у»! нзометрично Е, а множества Р и Е связны.
Значит, объединение ((х,) х Р) () Ц (Е х (у»)) связно (задача 389). Но это объединение содержит обе точки (хо у,) н (х„у»). Следовательно, в силу результата задачи 385, Е х Р связно. 3 ам е ч а н н е. Вместо метрики для Е с Р из задачи 146 можно взять метрику нз задачи 147 — важен лишь тот факт, что 164 подпространства (х) к Е и Е х (у) пространства Е х Е изометричны исходным пространствам Е и Е.
400. Пусть ха — произвольная точка из 6. Рассмотрим множество А всех точек множества 6, которые можно соединить с точкой х„лежащей в 6 ломаной, каждое звено которой параллельно одной из осей координат, Множество А непусто, так как оно содержит точку хэ. Покажем, что множества А н 6 ', А открыты. Пусть х ~ А. Так как 6 открыто, то существует круг У (х, а), лежащий в 6. Каждую его точку х' можно соединить с точкой х ломаной, лежащей в У (х, е) и состоящей не более чем из двух звеньев, каждое из которых параллельно одной из осей координат. Дополнив этими звеньями ломаную, соединяющую х с х,, мы получим в 6 ломаную, соединяющую точки х, и х', звенья которой параллельны осям координат.
Значит, х' е А, т. е. У (х, е) с: ~ А. Следовательно, А открыто. Пусть теперь х ~ 6', А. Так как х е 6, то существует круг У (х, е) с: 6. Если бы некоторая его точка х' принадлежала А, то мы получили бы, вопреки предположению, что и х й А (поскольку х можно соединить с х ломаной, лежащей в У (х, е), звенья которой параллельны осям координат). Таким образом, 1'(х, е) с: 6", А и 6'~ А открыто. Итак, множества А и 6 ~ А открыты, причем А непусто. Так как 6 связно, то 6 '~ А пусто (см. задачу 378).
Но это и означает, что утверждение задачи справедливо. 401. Докажем, что любые две точки х й Е и у е Е можно соединить связным множеством, включающимся в Е. В качестве такого множества можно взять А (х) () А (у), где А (х) и А (у)— какие-либо множества из семейства (А„), содержащие соответственно точки х и у. Так как А (х) и А (у) связны, а А (х) П А (у) ~ Ф И, то А (х) () А (у) связно (задача 389). Поэтому, в силу результата задачи 388, Е связно.
3 а м е ч а н и е. Из доказательства видно, что достаточно требовать, чтобы множества А„ (и ~ А) попарно пересекались, пересечение же всех этих множеств может быть и пустым. 402. Этой компонентой является объединение всех связных подмножеств множества Е, содержащих х, (оно непусто, так как, во всяком случае, включает множество (х6); связность объединения вытекает из результата задачи 401). Единственность компоненты легко доказывается. 403. Согласно результату задачи 383, А вместе с А связно. А так как А ~ А с Е, то, по определению компоненты, А = А, т. е.
А замкнуто. 404. Это вытекает из результатов задач 389 и 402, 400. Множество всех иррациональных точек на прямой; канторово совершенное множество; множество из задачи 191. 165 406. Такой компонентой является объединение всех связных подмножеств множества Е, содержащих какую-нибудь фиксированную точку ха Е Р. Единственность легко доказывается. Глава Ч!!. МЕРА МНОЖЕСТВ (В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ) 407. Ось.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
