Ю.С. Очан - Сборник задач по математическому анализу (1134952), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Ох имеет плоскую меру нуль. Следовательно, все подмножества оси Ох измеримы на плоскости Оху и их плоская мера равна нулю. 408. Канторово совершенное множество Р имеет линейную меру нуль. Следовательно, каждое его подмножество также имеет линейную меру нуль и поэтому измеримо. Но совокупность всех подмножеств канторова множества имеет мощность гиперконтинуума (2'), так как .Р = с. Значит, совокупность 13 всех измеримых множеств на числовой прямой имеет мощность большую или равную 2'.
(] ) 2'. С другой стороны, так как совокупность всех вообще множеств на прямой имеет мощность 2', то () ~ 2'. Следовательно, У = 2'. 400. В качестве примера можно взять совершенное множество, построенное в задаче 289, приняв Ха„= 0,1. Тогда сумма длин л выброшенных интервалов равна 0,1, а значит, мера оставшегося совершенного множества равна 1 — 0,1 = 0,9. 410. В задаче 289 взять ~а„ = 1 — а. л 411.
Нет. Дополнение СЕ к нигде не плотному совершенному множеству Е с: [О, 1] до всего отрезка [О, !] содержит интервалы и, значит, имеет положительную меру, так что тЕ = 1 — гл (СЕ) < 1. 412. Построение этого примера проводится примерно так же, как и построение совершенного множества в задаче 289. Зададим произвольный сходящийся ряд с положительными членами а, + а, + а, + ..., сумма которого равна 1 — а. Проведем теперь в основном квадрате [О, 1] х [О, !1 две вертикальные и две горизонтальные прямые так, чтобы площадь креста, вырезаемого этими прямыми, равнялась а, и чтобы четыре четырехугольника, оставшиеся после отбрасывания этого креста, были замкнутыми квадратами (рис.
27, а). Зтн замкнутые квадраты назовем квадратами первого ранга; их объединение обозначим Р, (Р, — замкнутое множество). Далее, в каждом из квадратов первого ранга проведем по две вертикальные и по две горизонтальные прямые так, чтобы каждый крест, вырезаемый этими прямыми, имел площадь аз — и чтобы после отбрасывания этого креста в каждом квадрате первого ранга осталось по четыре замкнутых квадрата; назовем последние квадратами второго ранга, их объединение обозначим Р;, число квадратов второго ранга равно 4' (рис. 27, б). Вообще, если построены квадраты Ьго ранга (их число равно 4"), то даль- 166 нейшее построение проводится так: в каждом из квадратов й-го ранга проводим по две вертикальные и по две горизонтальные прямые так, чтобы крест, вырезаемый этими прямыми, имел плошадь а"+' и чтобы оставшиеся четырехугольники были замкнутыми квадратами; назовем их квадратами (й + 1)-го ранга; обозначим их объединение Р„„(число всех квадратов (й + 1)-го ранга равно 4"+').
Если взять теперь пересечение всех Р„, то мы получим совершенное множество меры а. Последнее следует из того, что дополнением к этому множеству является объединение всех выброшенных крестов; а мера этого объединения равна 1 — се а + 4 ~ + 4' — '+ ... + 4» — ""'+ ... = =а,+а,+аз+ ... +аае + ... =! — а; Итак, дополнение к построенному совершенному множеству до квадрата [О,Ц ~ ("О, Ц имеет меру 1 — а, значит, само оно имеет меру а. ~ьг 4!3.
Мера дополнительного множества равна сумме плошадей выбрасываемых квадратов всех рангов, т. е. 1 тСА = — -!- — 8 + ... + — . 8" '+ ... = ! 1 1» «9 9 9«9» 8 1 —— 9 Следовательно, тА = О. 4!4. Мера дополнительного множества равна сумме площадей всех выбрасываемых «крестов», т. е. тСВ = — + — 4 + — 4'+ ... + — . 4 + ... = !. 5 5 5 «5 9 9' 9«9»»' Следовательно, тВ = О. 415. Мера дополнительного множества равна сумме площадей всех выбрасываемых прямоугольников, т. е.
тСЕ = — + — 2 + —. 2 + ... + — 2 + ... = !. 1 ! ! «1 з з з "' з»+ Следовательно, тЕ = О. 4!б. Пусть Е с: [а, Ь1. Рассмотрим функцию Г (х) на [а, Ь3, определенную формулой г" (х) = т ([а, х) Д Е). Очевидно, что г' (а) = О, г (Ь) = тЕ = р и г (х) монотонно возрастает (хотя не обязательно строго). Докажем, что функция Г (х) непрерывна.
Пусть х, х + й е [и, Ь"! и й > О. Тогда ! (х + й) — ! (х) = т ([а, х + й1 П Е) — т ([а, х) () П Е) = т (зх, х + Ц () Е) ~( т )х, х + Ц = й. Следовательно, ! (х-+ й) — г' (х)-».0 при й — -(-О, т. е. ( (х) непрерывна справа во всех точках х 5 [а, Ь[. Аналогично доказывается, что ( (х) непрерывна слева во всех точках х 5 !а, Ь). Итак, 7 (х) непрерывна на [а, Ь1.
Поэтому ее значения заполняют весь отрезок [Г" (а), Г" (ЬЦ. В частности, так как Г (а) (д < Г'(Ь), то найдется ь 5 !а, Ь[такое, что!' (ь) = а. Но!'(ь) = т ([а, Ц () Е). Следовательно, множество [а, Ц П Е, включающееся в Е, имеет меру, в точности равную д. 417. Случай, когда множество Е ограничено, рассмотрен в решении предыдущей задачи. Если же Š— неограниченное множество на прямой, то поступаем следующим образом.
Положим Е„=Е () [ — п,п3. Ясно, что Е, с Е«с: ... с: Е„с ..., причем () Е„= Е. Тогда » тЕ = !ип тЕ„, т. е. !пп тЕ„= р. Так как по условию д < р, л Л то существует такой номер п,, что тЕ„> а. Обозначим тЕ„= г. Множество Е ограничено и имеет меру г > д. Согласно предыду- !68 щей задаче, оно обладает измеримым подмножеством А, мера которого равна д, Остается заметить, что А ~ Е. 418. Пусть д' — какое-либо число, заключенное между р и а (с) < д' < р).
Согласно предыдущей задаче, существует ограниченное измеримое множество А с: Е такое, что тА = д'. Пусть А с: [а, Ь1. Так как тА > д, то существует замкнутое множество В ~ А такое, что тВ > д (см. свойство 11, с. 46). Наконец, так же, как это было сделано в решении задачи 416, устанавливаем, что на отрезке [а, Ь! имеется точка ~ такая, что т ([а, Ц П В) = д. Множество [а, Д Д В замкнуто, как пересечение двух замкнутых множеств. Обозначим его через С: С=[а,ь) П В,тС=д. Как всякое замкнутое множество на прямой, С разбивается на совершенное множество Р и не более чем счетное множество М (см. задачу 368).
Так как мера Ж равна нулю, то тР = тС = д, Остается заметить, что Р ~ Е. 419. Так как тЕ > О, то, в силу предыдущей задачи, Е обладает ограниченным совершенным подмножеством Р положительной меры. Поскольку Р непусто, его мощность не меньше мощности континуума (см.
задачу 253). Поэтому Е ) с. Но, с другой стороны, Š— подмножество числовой прямой, которая также имеет мощность континуума, и потому Е < с. Следовательно, Е=с. 420. Если Š— ограниченное плоское множество, то поступаем следующим образом, Пусть Е проектируется на ось Ох в отрезок [а, Ь!. Рассмотрим множество Е„тех точек из Е, абсциссы которых пе превосходят х, и определим на [а, Ь! функцию /, положив 1 (х) = тЕ„. Тогда 1 (а) = О, !" (Ь) = р. Легко доказать, что !"-— непрерывная функция на [а, Ь1. Так как 1(а) < д <1(Ь), то, следовательно, на [а, Ь! найдется точка ь такая, что / (ь) = д. Тогда М = Е и будет искомым множеством: М ~ Е, причем тМ =д.
Если Е не ограничено, мы поступаем так же, как в задаче 4!7. 421. Опираясь на результат задачи 420, поступаем так же, как в аналогичном случае при решении задачи 418. 422. Не может. Если множество Е содержит внутреннюю точку х„то в Е входит и некоторая окрестность У (х,) этой точки. Но тогда тЕ )~ тУ (х,) ) О. 423. Нельзя. Если бы мера замкнутого множества Е ~ [а, Ь), отличного от [а, Ь), равнялась Ь вЂ” а, то [а, Ь) ' Е содержало бы внутренние точки и имело бы меру нуль. А это невозможно (см. предыдущую задачу). 424. Все три возможности осуществимы. П р и м е р ы: а) если Е„= ~ — —, + со[, то Е = [О, +ос[, так что тЕ =+ со; 1 б) если Е„= ! — 1, 01 () !и, +со~, то Е = ! — 1, 01, так что тЕ=1; в) если Е„= (и, +во!", то Е = И, так что тЕ = О.
425. Обе воэможности осуществимы. П р и м е р ы: а) если Е„= [О, 1 — — ~, то Е = ! О, 11", так что п»Е < + со!' !! » ~ б) если Е„= 1О, и1, то Е = (О, + со!", так что тЕ = +оо. 426. Обозначим через Е, множество всех тех точек отрезка 1"О, 11, в разложении которых в бесконечную двоичную дробь на втором месте стоит нуль; через Е, — множество всех тех точек, в разложении которых на втором и четвертом местах стоят нули; через Е, — множество всех тех точек, в разложении которых на втором, четвертом и шестом местах стоят нули и т. д. Ясно, что ! Е,:з Е»:» Е, ~ ...
и что тЕ» = — при любом й (каждое мно- 2» жество Е есть объединение 2» попарно не пересекающихся полу!» а открытых промежутков длины — ~. Так как Е = П Е», то 4» »=1 тЕ = 1пп тЕ» = Игп —, = О. =»» 2» То, что Е нигде не плотно, доказывается так же, как для канторова множества (задача 224). ! г 427. Может; например, множество Е = () ~й, /г + — ~ не 2»( ограничено, а его мера равна единице. 428. Пусть 1 — произвольный интервал на прямой. Он не может содержаться в Е, так как в противном случае тЕ ) т1 ) О. Таким образом, 1 П СЕ Ф 8. Так как Е замкнуто, то СЕ открыто. Следовательно, 1 П СŠ— непустое открытое множество; но тогда существует интервал, включающийся в 1 и свободный от точек множества Е.
Тем самым Š— нигде не плотное множество на прямой. Доказательство для плоскости и трехмерного пространства аналогично. 429. Нет. П р и м е р. Пусть Š— множество всех рациональных чисел на отрезке [О, 1]. Тогда глЕ = О, а тЕ = 1. 430. Нет. П р и м е р. Пусть Р— нигде не плотное совершенное множество положительной меры на отрезке (О, Ц (см., например, задачу 410), а Š— множество его точек первого рода (т. е. множество концов всех смежных интервалов). Тогда Š— нигде не плотное счетное множество, а всякое счетное множество есть множество меры нуль. В то же время Е = Р и, следовательно, тЕ=тР >О.
431. Так как Š— множество положительной меры, то оно имеет мощность континуума (задача 419). Пусть х» — произволь- ная точка из Е. Тогда множество всевозможных чисел вида р (х„х), где х ~ Е, имеет мощность континуума; следовательно, не все эти числа могут быть рациональными. Иначе говоря, найдется такая точка х е Е, что р (х„х) иррационально. 432. Занумеруем все рациональные числа интервала !О, 11: гог2$" Ъ" и для каждого натурального числа й обозначим через Е» множество, получившееся из Е сдвигом на г„, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
