Ю.С. Очан - Сборник задач по математическому анализу (1134952), страница 44
Текст из файла (страница 44)
а Поэтому если Е и иЕ оба измеримы, то и(йЕ) =т(АЕ) =!Ц тЕ !Ц ° тЕ. Осталось доказать, что из измеримости Е следует измеримость АЕ. Пусть А — произвольное множество на прямой. Так как Е 1 измеримо, то для множества — А имеем: а и ( — А) = т ~( — А) П Е) + т (~ — А) П СЕ) = т (( — А) П вЂ” „(йЕ) ) + т (( — А) П вЂ” С (йЕ)) = т(-„' (АП АЕ))+ т Ь(АПС(АЕ))) = — — ° (т(А П лЕ)+т(АПС(АЕ))), 1л) откуда ! Ц и ~- А) = т (А П АЕ)+ т (А П С (АЕ)).
А так как ~ й ~ т ~ — А) = и (й * — А) = иА, то тА= и(АПАЕ)+и(АПС(АЕ)). Но это и означает, в силу произвольности множества А, что йЕ измеримо. 451. Для каждого натурального числа и обозначим через Р„ совершенное множество такое, что Р„~ Е П(~ — —, — — ~ () ~ —, — ~), тР„>.— т(ЕП ц — —, — — ~ () ~ —., — ~)) (если и ~Е П ц — —, — — ~ () ~ —, — [)) > О, то существование такого множества Р„сиедует из результата задачи 418; если же т(ЕП~] — —, — — ~ () ~ —, — Я =О, то в качестве Р„мвж- тп но взять пустое множество).
Положим 9 = (() Е„) ()(0). Ясно, что л=! Я вЂ” совершенное множество. Кроме того, для любого 6)0 имеем: ()П) — 6, 6С= ~П~ —,,— '~=(() Е„)()(О), 1 где М вЂ натуральн число, такое, что — < 6. Поэтому У т(()ПЗ вЂ” 6, 6Г) >т(0Е„)- лсл = ~ч'„тЕ ) — т(ЕП 1 — —, — ~)).0.
~.=1 — „', — „— ',1() ~ ',,-'~ и возьмем такое измеримое множество А„~ 1„, что тА„= а например, можно взять А„= ~ — —, — — -)-а( — — — ' л л и и+1/ 1 /! 1 — + а( — — — 1~. Локажем, что множество Е = и А„ л+1 л и+1/~ л=! в точке 0 плотность, равную а. Рассмотрим произвольное положительное число 6 < 1; г 1 и — такое натуральное число, что (6 ( —. л-1-1 л 1 1! Тогда $'(О, — )!с: Р(0, 6) ~ $'(О, -), и потому .+1 л) т1„ имеет пусть а тЪ'(О, — ) а л л ( Г~ (+26) 452.
Все внутренние точки круга х'+ у~ ( ! являются точками плотности, а все точки его дополнения — точками разрежения. Плотность круга в точках границы х'+ у' = ! равна 2 454. В качестве такого множества можно взять круговой сектор с центром в точке М, и центральным углом 2иа. 455. Построим множество, имеющее в точке 0 плотность, равную а. Для каждого натурального числа п рассмотрим объединение двух промежутков (последнее неравенство следует из того, что — ( — < 26).
! 2 л л+! С другой стороны, ту(а, — ) у(о, — ') 2 = а (1 — — ) )а(1 — 6). и+! ! ! 2 (, а+1 т(ЕОУ(О, 6)) Из неравенств (1) и (2) получаем, что 1пп ' ) =а. з 9 ту(0, 6) Итак, множество Е имеет в точке О плотность, равную а. Если же х, Ф О, то в качестве искомого множества можно взять множество всех точек вида х, + у, где у с Е. 456. Для каждого натурального числа и положим '=Е "И -.='1" 1й4) и обозначим через Р„совершенное множество такое, что Р„~ Е„в лтР„)~(1 — — ) тЕ,. Пусть Р =(()Р„) () (О). Очевидно, Р— л л=! совершенное множество, содержащееся в Е. Возьмем произволь! ное 6 ) О.
Обозначая через Л' целую часть числа —, получим: 6' т(РОт (о, 6)) > ("" ( ' л !)) 26 2 ч ( ! М =(~~'„).— > ~ Я,— — л е,) °вЂ” ', сл+! / =И+! л=и+! =и!~ ЕП'г'(О, — )) (1 — — ).— = т~ЕО У(0, — )) Предел последнего выражения при 6 — ~ О равен 1. Следовательно, 1(ш ' ' ' " =1, т. е.
О является точкой плотности для Р. т(Р О г (О, 6)) а о 26 457. Представим Е в виде объединения двух множеств: Е = (99 =(Е П А) () (Е П СА). Множество Е П А измеримо (как часть множества А меры нуль). Если бы было измеримо и множество Е П СА, то было бы измеримо и их объединение Е, что противоречит условию.
Следовательно, Е () СА неизмеримо. 458. Если А и  — интервалы, то утверждение задачи очевидно. Если А и  — произвольные открытые множества, то А Х В также открыто; при этом А () Ао В = Ц Ви где Ао равно 1 как и Ви — попарно не пересекающиеся интервалы. Тогда А ХВ=() (А,хВ) ь! т,(А Х В) = ~'.,т (А, Х Вд) = ~с~~ (т,А, ° тдв») = ~~",тдА» ,'~ тдВ, = т,А т,В. l 459. Пусть е — произвольное положительное число и А„(п = = 1, 2, ...) — открытые множества на прямой, содержащие А и е такие, что тдА„< . Так как АХ В с: () (А Х ~ — и,и(), л ° 2лм л то т, (А х В) ( т, (() (А„х ) — п, и()) ( л=! е..~ч', т, (А„х ) — и, п()(~~~' ° 2п = е (см.
предыдущую задачу). Следовательно, т, (А х В) = О. 460. Если А н  — множества типа 6, то А = П А», В = П В, где А, ~ А,:э ..., В, ~ В, ~ ...— » / открытые множества на прямой. Тогда А х В = П (А, х В,), где (А, х В,) — убывающая последовательность открытых множеств на плоскости. Следовательно, А х В измеримо и т, (А х В) = = 1пп т (А, х В,) = Пи» т, А, ° т,в, = т„А ° т,В. » »- Если А и  — произвольные измеримые множества конечной меры, то существуют множества А и В типа Сд такие, что А ~ А, В ~ В и тд (А Х, А) = тд (В Х В) = О (см.
ниже, задачу 465). Так как А х В = (А х В) 0 ((А Х А) х В) Ц (А х (В ~, В)) () 0 ((А 'Х А) х (В ', В)), то, согласно результату предыдущей задачи, А х В отличается от измеримого множества А х В лишь на множество меры нуль. Следовательно, А х В измеримо и т, (А х В) = т, (А х В) = т,А т,В = = т»А т,В. 461. Положим А„= А П !" — и, и~, В„= В П г — и, и3. Тогда (А„х В,) — возрастающая последовательность измеримых множеств.
Применяя результат предыдущей задачи, будем иметь: т, (А х В) = т, (О (А„х В„)) = л = Иш и», (А„х В„) = Иш (т,А„° т,В„) = +оо. 462. В качестве такого множества М можно взять множество А х А, построенное в решении задачи 242, если выбирать а» удовлетворяющими дополнительному условию е» < —.
Тогда т»((О, Ц'Х А) (2~ в„< —, ! »=! ! ! и, значит, т,А> —. Следовательно, т,(АхА) = (т,А)'» — О. 2 463. Используя свойства внешней меры, получаем: тЕ(т(Е () Н) (тЕ+ тН =тЕ тЕ ( т ((Е '~, Н) () Н) ( т (Е ", Н) ( тЕ. Отсюда тЕ =и! (Е 0 Н) = т (Е '~ Н). 464. По определению внешней меры, существует покрытие (0„)множества Е открытыми параллелепипедами такое, что ~т0„< тЕ + е. Положив А = ()0„, получим: А открыто, и Л А:з Е, тЕ (тА, тА (~т0„< тЕ+ е; т. е.
л тА — е <тЕ ( тА. 465. Если тЕ = +оо, тополагаемВ =Х. Если же тЕ < +оо, то, в силу результата задачи 464, для каждого и существует от! крытое множество А„такое, что А„:з Е и тА„— — < тЕ ( и ( тА„. Положим В = П А„. Тогда В:» Е,  — множествотипа и=! О» и тЕ ( тВ ( тА, < тЕ+ — для каждого и, откуда тВ = и = тЕ. 1а! 466.
Согласно результату предыдущей задачи, существуют множества В и С типа бз такие, что В:з Е, С:з 1 ", Е, тВ = тЕ, тС = и (1 ', Е). (1) Не ограничивая общности, можно считать, что В с: 1, С с: 1 (если это не так, возьмем вместо В и С их пересечения с 1; это будут тоже множества типа бз, включающие соответственно Е и 1 ' Е, и для них также выполняются равенства (1)). Так как 1 = В () С, то, в силу результата задачи 446 и равенств (1), т (В () С) = тВ + тС вЂ” т (В () С) = тЕ + и (1 ' Е)— — т1 =О (мы воспользовались равенством т1 = тЕ + т (1 ", Е), данным по условию). Отсюда следует, что множество В ' Е измеримо (как подмножество множества В () С, имеющего нулевую меру).
Но тогда и Е измеримо, как разность измеримых множеств В и В " Е. 467. а) Покажем сначала, что из условия (1) следует условие (2) ."(1) =>-(2). Положим Е, = Е () б (( — и, ..., — п), (п...„п)); тогда Е = () Е„. Если Е измеримо, то все Е„измеримы. В силу ю=! результата задачи 464, при заданном е > О для каждого и существует открытое множество 6„~ Е„такое, что тб„< тЕ„+ —, 2п ' откуда и (б„", Е„) ( —. Тогда 6 = 0 6 — открытое мнозл' л=! жество, содержащее Е. Так как 6 ', Е с:.
() (б„' Е„), то, л=! т(6',Е) ( ~ и! (6„~,Е„) < '~' — „= е. л=! и=! б) (2)~(4). Пусть выполнено условие (2). Для каждого п 1 существует открытое множество 6„~ Е такое, что т (6, ", Е) < —. и Тогда для множества А = () б„типа бз будем иметь: А:з Е, л=! т (А",Е)(т (6„'~Е) < — при любом п, и, значит, т(А" Е) =О. л в) (4) ~(1). Если существует множество А типа бз такое, что А :з Е и и (А ' Е) = О, то Е измеримо, как разность измеримых множеств — множества А типа бз и множества А" Е меры нуль.
г) (1)=~(3). Пусть Е измеримо. Тогда измеримо и СЕ. Следовательно (в силу пункта а)), для каждого е > О существует открьпое множество 6 ~ СЕ такое, что и (6 ' СЕ) < е. Положив !ах Р = С6 (Р— замкнуто), получим: Р с: Е, Е" Р = СР ~ СЕ = = 6 ' СЕ; следовательно, т(Е' Р) =т(6" СЕ) <е.
д) (3)=~(1). Пусть для каждого е > О существует замкнутое множество Р с: Е такое, что т (Е " Р) < е. Тогда и т(СР„СЕ) < е, где СР:» СЕ и СР открыто. Следовательно(в силу пунктов б) и в)), множество СЕ измеримо; но тогда измеримо и Е.
е Эквивалентность условий (1) и (5) доказывается аналогично. 68. Эквивалентность измеримости множества Е выполнению любого из условий а) и б) непосредственно следует из результатов предыдущей задачи. 469. Н е о б х од и м о с т ь. Пусть Е измеримо, тЕ < +со. Для каждого е > О существует покрытие множества Е счетным семейством (О,) открытых параллелепипедов такое, что»'т0, < 2=! < тЕ + -. Так как ряд ~~ т0, сходится, то найдется номер й1 2 ~=1 такой, что Р,т0, < —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
