Ю.С. Очан - Сборник задач по математическому анализу (1134952), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Покажем, что эта функция определена и непрерывна на всей числовой прямой. Действительно, множество Ц Е, замкнуто, ье! как сумма конечного числа замкнутых множеств Е„Е„..., Е„; поэтому множества Е, и Ц Е, не имеют общих точек прикосновения се! и, следовательно, знаменатель первой дроби ни в одной точке не равен нулю; это же справедливо и для знаменателей всех остальных дробей. Но тогда из непрерывности функций р (х, Е ) и р (х, () Е,) (й = 1, ..., и) вытекает непрерывность функции )' (х).
'ье» 533. Искомую функцию можно задать следующим образом: р(к, 1) Ей ьей гьи Рк р (к, Еь) + р (к, 1) е;) ' ь=! ьек 534. Допустим, что такая функция 1 (х) существует. Пусть х, й Е, — точка прикосновения для О Ер Тогда в любой окресть,! ности У (х,) точки х, найдутся точки из Е,. со сколь угодно большими номерами ! (так как объединение конечного числа множеств Е, замкнуто); следовательно, в этой окрестности найдутся точки, в которых значении функции )" !х) сколь угодно близки к нулю (так как р, — О при ! — +со); но тогда в любой окрестности точки хз 194 (первое из них легко выводится из неравенства треугольника, втоь ьь р -ьь <М! »ты Ы ь для любых чисел а )~ О, Ь э О). 530.
р (х, у) — функция, непрерывная на компакте Е х Е (см. задачи 314 и 529). Следовательно, в силу результата задачи 515, найдется точка (х„у,) б Е Х Е, в иоторой эта функция достигает своей верхней грани, т. е. р (хю, уь) = зпр р (х, у) = Йат Е. »ьа, мл 531. Пусть р (хь, хк) = а. Рассмотрим окрестности У! = = У ~хь, — ), У, = У ~х„— ).
Искомая функция может быть зада- ' 3)' ' 3)' ьь'(», У,) на равенством ~ (х) = И(к, у,)+Д(к, У.)' 532. В качестве искомой функции можно взять, например, следующую: колебание функции 1 (х) больше или равно 11(х,)~ = (р,1, а это означает, что функция ) (х) разрывна в точке хэ. 535.
Пусть 1(х) — функция, непрерывная на связном множе- стве Е. Допустим, что 1 (Е) несвязно. Тогда )'(Е) = А () В, где А и  — разъединенные множества. Рассмотрим множества А, = = 1' ' (А) и В, = 1 ~ (В). Они непусты, их объединение равно Е, и ни одно из них не содержит точек прикосновения другого: если бы, например, а с А, была точкой прикосновения для В,, то не- которая последовательность (х„) точек из В, сходилась бы к щ но тогда, в силу непрерывности функции 1 (х), последовательность () (х„)) точек из В сходилась бы к1 (а) ч А, что противоречит разь- единенности множеств А и В. Итак, А~ и В, — разъединенные множества, объединение которых равно Е.
Но это противоречит связности Е. 536. Согласно результату предыдущей задачи, ) (Е) — связное множество на прямой. Поэтому вместе с точками А и В множество 1' (Е) содержит и весь соединяющий их отрезок (см. задачу 394). Следовательно, С 51(Е), т. е. существует точка с 5 Е такая, что 1' (с) = С. 537. В силу результатов задач 505 и 535, 1(Е) — непустое компактное связное множество на прямой.
Но такими являются только отрезки и одноточечные множества (см. задачи 303 и 395). 538. Нет, не является. Например, функция 1 яп — при хФО, )(х) х 0 при х=О обладает свойством Дарбу на отрезке [ — 1, Ц, но разрывна в точке х, = О. (Однако можно легко доказать, что функция, обладающая свойством Дарбу, не может иметь точек разрыва первого рода.) 1 539. 1) Функция 51п — не является равномерно непрерывной х на интервале ]О, 1[, так как для всякого 6 > 0 колебание этой 1 функции на интервале <О, — ппп (6, 1)~, длина которого меньше чем 6, равно 2.
! 2) Функция х 51п — равномерно непрерывна на )О, +со[. Дох кажем это. Доопределим данную функцию в точке О, положив 1 ха!п — при х~ О, 1(х) = 0 при х О. Полученная функция 1(х) непрерывна на луче[0, +оо[. Зададим произвольное в > О. Так как 1(х) -~ 1 при х -+ +со, то найдется х, такое, что 11'(х) — 11 < — для любого х ) х,. На 195 отрезке [О, х») функция ) (х) равномерно непрерывна как функция, непрерывная на отрезке. Значит, найдется такое 6 > О, что для всех х', х" е [О, х»), для которых ! х' — х'! < 6, будет ! 1 (х') — ) (х") ! < —. Тогдадля всехточекх', х" с 30, +со[, х' < х" таких, чтох" — х' < < 6, имеем: ! 1' (х') — 1 (х") ! < е; если х', х" с )О, х»), то ! ((х')— — ) (х")! « — е; если л', х" балх» +со[, то !1(х') — 1(х")! ( 2 ( (!1 (х') — 1!+ !1 — ~(х")! < — + — < в; наконец, если х' с )О, х»), х" ~ ')х», +со[, то !) (х') — Р (х")! ~(! Г (х') — Г (хо)!+ + ! 7 (хо) — 1! + ! 1 — 1' (х )! < — ' + — ', +.— ' = е.
Итак, функ- ция 1 (х), а значит, и совпадающая с ней на луче 30, +со[ функция х з!п — равномерно непрерывны на этом луче. 1 3) Функция Зх равномерно непрерывна на числовой прямой. Действительно, поставив в соответствие каждому е > 0 число 6 = = ~, получим, что из ! х' — х"! < 6 следует: !Зх' — Зх" ! < е. 3' 4) Функция х' не равномерно непрерывна на всей числовой прямой. япх 5) Функция — равномерно непрерывна на луче )О, +со[. х 540. Допустим, что функция 1 (х) не является равномерно не- прерывной на Е.
Тогда существует такое е, ) О, что для любого 6 > 0 найдутся точки х' и х" из Е, расстояние между которыми меньше чем 6, тогда как !1 (х') — 1 (х")! ) е,. В частности, для 6 = — (и = 1, 2, ...) найдутся точки х„, х, е Е такие, что 1 я р(х„, х„) < —, !1(х») — »»(х»)!)~ во 1 а Рассмотрим последовательность (х,',). В силу компактности Е, из нее можно выбрать подпоследовательность (х„' ), сходящуюся к некоторой тачке х,Е Е. Тогда х, является пределом также для подпоследовательности (х„ ). Действительно, р(х„', х,) ( 1 ! (~ р(х, х'„)+р(х„', х,) < — + р(х„', х,) и — + р(х„', х,)-~О при й- оо; поэтому р(х„', х»)-»-О нри й-+се.
В точке х, функция г непрерывна относительно Е. Но тогда Вш 1(х„' ) = 7 (х ) и Вш 7(х„' ) = ) (х ). Следовательно, »» » »» 1пп ! 7 (х„'.) — ~(х„) ! =- О. л»» А это противоречит тому, что !1 (х„' ) — 1 (х„" ) ! ) е, для любого 196 номера пе. Полученное противоречие доказывает, что функция г' равномерно непрерывна на Е. 541. Пусть функция 1(х) равномерно непрерывна на Е.
Найдем такое число 6 > О, что ~~ (х') — 1 (х")( < 1 для любых х' е Е, х" Е Е таких, что р (х', х") < 6. В силу задачи 325, существует конечная 6-сеть х„..., х„для множества Е, содержащаяся в самом Е. Пусть А — наибольшее, а  — наименьшее из чисел 1 (х~), ..., г (х„). Тогда для любого х е Е получим: А — 1(~(х) <В+1. 542. Да. Это следует из неравенства 1(г (х') + д (х')) — (г (х") + д (х")) ~ ~ К (х') — ) (х")1 + (д (х')— — 5 (х")(. 543. Не всегда. Например, функции 7 (х) = х и д (х) = х равномерно непрерывны на всей числовой прямой, однако нх произведение 1'(х) д (х) = хе не является равномерно непрерывной функцией на ) — оо, +со[.
544. Да. Это следует из неравенств (1 (х') д (х') — 1 (х") 5(х")~ (~ |~ (х') и (х') — 1 (х')д (х")~ + + 1 ~ (х') д (х") — 1 (х") а (х"й = 1 ~ (х'И ( д (х') — д (х") 1 + + ( д (х")~ (7 (х') — ) (х")( ~ (А ~ а (х') — а (х"И + В !7 (х')— — Р (х")1, где А = епр ~ ) (х) (, В = зпр ! д (х) ! (ограниченность функций, рав- кЙ е:-в номерно непрерывной на относительно компактном множестве, была доказана в задаче 541). 545.
Зададим произвольное е > 0 и найдем такое У, что для е всех х > У имеет место ~~ (х) — Ь! < —, где Ь 1пп1(х). Тогда 4 е + для любых точек х, > У, х, > У справедливо неравенство У (х1) 1 (хе)( < 2 На отрезке [О, У] функция непрерывна:, следовательно, она равномерно непрерывна на нем. Найдем 6 > 0 такое, что для всех х' с [О, У), х" ч [О, У), !х' — х"! < 6 имеет место ~~(х')— — 1(х")! < —. окажем, что это число 6 «годится» для всего луча 2 [О, +оо[. Пусть хо хе Е [О, +оо[ и ~ х, — хе) < 6. Если х, 5 [0, У3 е и хе е [О, У"ь то ~~ (х~) — ) (хе)~ < — < е; если х1 > У, хе > У, г то Ц (х,) — 1 (хе)! « — е; наконец, если оДна из этих точек, г например хо принадлежит [О, У), а другая больше чем У, то (1(хт) — ~(хе) ~ (~ ~~(хД вЂ” ~(У)1+ (и (У) — ~(хе) ! < — '+ — ' = е.
Итак, из !х,— х»! < 6 всегда следует: !) (х,) — ) (х»)! < е. В силу произвольности числа е > О, это означает, что функция 7 (х) равномерно непрерывна на луче ГО, +ььГ. 546. Неверно. Например, функция з!их' непрерывна и ограничена на всей числовой прямой, однако она не равномерно непрерывна на ней. Действительно, каким бы малым ни взять положительное число 6 > О, всегда найдется интервал вида !)' йж, Р'(гхть[, а Р ~ ( * л интервалов стремятся к нулю при й -+ +со). Вместе с тем колебание функции з!п х' на этом интервале равно 1. Следовательно, для а = 1 не существует такого 6 > О, чтобы на всяком интервале длины, меньшей чем 6, колебание функции было бы меньше чем а. 547.
Не является (хотя, как следует из результата задачи 488, оиа непрерывна во всех точках множества Е). 548. Эта функция разрывна во всех точках первого рода множества 0 и непрерывна во всех точках множества С»7, а также во всех точках второго рода множества О. На множестве С0 функция не является равномерно непрерывной. 549. Пусть х ч Е. В силу равномерной непрерывности функции 7 на Е, для каждого е > О найдется такое 6 > О, что из х', х" ч Е, р (х', х") < 6 следует: (7 (х') — ) (х")! < е. В частности, если х', х' ч»'!х, — ) () Е, то !7(х) — )(х")! <а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
