Ю.С. Очан - Сборник задач по математическому анализу (1134952), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Для множества б на плоскости это следует из результата задачи 400, если учесть, что ломаная е конечным числом звеньев является носителем жордановой кривой. Для 6 с 1«« при любом и )~ 2 доказательство аналогично. 583. В силу взаимной однозначности отображения 7, обратное отображение существует; покажем на примерах, что оно ие обязано быть непрерывным. а) Занумеруем все рациональные числа на оси Оу. Эту нумерацию можно рассматривать как непрерывное взаимно однозначное отображение множества Е всех натуральных чисел оси Ох иа множество Е, всех рациональных чисел оси Оу. Однако обратное отображение разрывно в каждой точке множества Е,.
б) Пусть Š— промежуток (0,2п( оси Ох, Е, — окружность на плоскости Оху с центром в точке О. Поставим в соответствие каждой точке х е ("О, 2п( ту точку М окружности, радиус- вектор которой составляет с положительным направлением оси абсцисс угол х (рис. 32). Ясно, что это отображение непрерывно и взаимно однозначно. Однако обратное отображение терпит разрыв в той точке окружности М„которая соответствует точке х = О. 584. Согласно задаче 575, множество Е, компактно. Обозначим через «р функцию, обратную для функции ).
Докажем, что функция <р непрерывна в каждой точке у, 6 Е, относительно множества Е„ х т. е. что для всякой окрестности 0 Е р' (х,, е) точки х, = <р (у,) найдется такая окрестность «'(у«, 8) точки у, что для»«=«(х) всех точен у 6 'е' (у„б) ('! Е, ймеет место ~р (у) « '«' (х, е).
Для этого заметим, что множество Е ', Р (х„е) замкнуто, а потому компантио (см. задачу 305); следовательно, его непрерывный образ Е =!' (Е'~7(х„е)) является компактным (см. задачу Рис. 32 575У, а потому замкнутым (см. задачу 303) подмножеством множества Е,. При этом (в силу взаимной однозначности отображения 1) у, ч Р. Следовательно, точка у, обладает окрестностью У(у,, 6), не содержащей ни одной точки из Р. Но тогда ~р (У(у, 6) П Ег) не содержит ни одной точки из ~р (Е), т.
е. из Е ~, У (х„е). Значит, ср(У(у„б) П Е,) с: У(х, е), т. е. для всех у ч У(у„б) [) Е, имеет место Ч~ (у) с У (х„е). Так как у, — произвольная точка из Е„то ~р непрерывна на множестве Е,. 585. Допустим, что Е, имеет изолированную точку, например точку у,; пусть х, ч Š— прообраз точки у,. Обозначим через У(у„е) ту окрестность точки у„которая не содержит других точек из Е,. В силу непрерывности отображения г, найдется окрестность У(х„6) такая, что )'(У(хм 6) П Е) с: У(у„е). Но тогда, в силу взаимной однозначности отображения г", множество У (х„б) () Е состоит только из одной точки х,; поэтому х, является изолированной точкой множества Е.
Но это противоречит условиюзадачи. Итак, допущение„ что Е, имеет хотя бы одну изолированную точку, приводит нас к противоречию; значит, множество Е, не может иметь изолированных точек. Это утверждение теряет силу, если отображение Г не взаимно однозначно. Так, например, функция, определенная на отрезке Е =[О, Ц равенством Г" (х) = 3 для всех х ч Е, непрерывна на Е; при этом множество Е не имеет изолированных точек, а Е, содержит изолированную точку у = 3 (оно само состоит из одной только этой точки). 588.
Неверно. П р и м е р. Оуображение множества Е всех натуральных чисел оси Ох на множество Е, всвх рациональных чисел оси ()у (см. например, пункт а), приведенный в решении задачи 583); это отображение к тому же и взаимно однозначно. 587. В этом случае обратное отображение множества Е, на Е также непрерывно и взаимно однозначно (см. задачу 584).
Так как Е, не имеет изолированных точек, то, согласно результату задачи 585, их не имеет и Е. 588. Зто следует из задач 575 и 579, 589. Это вытекает из задачи 585. 590. П р и м е р, показывающий, что полнота пространства не является топологическим свойством: непрерывная функция с» отображает всю числовую ось Я' взаимно однозначно на промежуток 10, +со[ и имеет непрерывную обратную функцию 1п у; однако метрическое пространство Я' полно (см. введение к главе И), тогда как промежуток 10, +ос[ (рассматриваемый как подпространство пространства Я', т.
е. снабженный обычной метрикой) не является ~1~ полным, так как фундаментальная последовательность ~ — ~ в нем (я ) не сходится. 59!. Пусть т — некоторое топологическое свойство. Если множество Е не обладает свойством т и ~ — гомеоморфизм Е на Е„ 2оа то Е, также не обладает свойством т. Действительно, из определений гомеоморфизма видно, что отображение, обратное гомеоморфному, тоже будет гомеоморфным. Следовательно, отображение, обратное 7, является гомеоморфизмом Е, на Е.
Поэтому, если бы Ех обладало свойством т, то и Е обладало бы этим свойством. 592. Предположим, что существует взаимно однозначное непрерывное отображение 7 отрезка !"О, Ц на замкнутый квадрат Е, = = 'сО, Ц Х ГО, Ц. Тогда обратное отображение ~р также непрерывно (см. задачи 330 и 584). Пусть М, 5 Е, — образ точки — с ГО, Ц ! при отображении 7: ~( ). М,. Множество Е, ", (М,) связно, так как любые две его точки можно соединить ломаной, лежащей в Е„а ломаная является связным множеством (см. задачи 387 и 389). Но тогда множество ~р (Е, " ~, (М,)) =(О, Ц ' ! — ~ должно быть связным (см.
задачу 579), г1! а оно несвязно. Полученное противоречие показывает, что не существует непрерывного взаимно однозначного отображения отрезка иа квадрат. 593. Без ограничения общности можно считать, что а = = (О, О, ..., О,!). Гомеоморфное отображение множества 8" ' (а) на пространство )с'" осуществляется с помощью равенства (ю' = 1, ..., пг).
ха~+1 594. а) Если 1, не двоичио рациональна, или если 1, есть 0 или 1, то это очевидно. Если же 1, — двоично рациональная точка отрезка (О, Ц, отличная от 0 и 1, то ей соответствуют две различные последовательности отрезков, содержащих эту точку: бт .:» 6, -» ... и 6~ -» 6,:» ...; им отвечают две различные последовательности вложенных квадратов: 1', ~ У, ~ ... и У:» Уз-» ... Однако, начиная с того номера, когда эти последовательности становятся различными, 6„и б„будут соседними отрезками; а тогда, согласно построению, квадраты У„и У„имеют общую сторону н, стало быть, вместе образуют прямоугольник У„() У„=%'„.
Очевидно, Я7„:» Ф'„+, (начиная с того номера п, для которого 6„Ф 6„) и <Иащ Я7„= 5 — ~ О, а потому ())У„состоит из одной точки, ~/5 ~п т. е. () У„= П У = (() %'„). и л И б) Каждая точка квадрата !"О, Ц м !"О, Ц входит в некоторый квадрат первого ранга Ум в некоторый квадрат второго ранга У, (содержащийся в У,), в некоторый квадрат третьего ранга У, (содержащийся в У ) и т. д. и является единственной точкой пересечения этой убывающей последовательности квадратов.
В силу построения, эта последовательность соответствует убывающей по- следовательности отрезков 61:э 6 ~ 6и:э ..., единственная точка пересечения которых имеет своим образом взятую точку квадрата. в) Пусть 1, 510, Ц и (Я вЂ” произвольная последовательность точек отрезка 10, Ц, сходящаяся к 1и. Если 1и не двоично рациональна или если ги равна 0 или 1, то для всякого содержащего эту точку отрезка 6„(произвольного ранга) найдется такой номер Ф, что при й > М все 1, попадут в 6„; а значит, г (1и) 5 У„, ) (1с) 5 Е У„, где ӄ— квадрат и-го ранга, отвечающий 6„.
Если же 1,— двоично рациональна и отлична от 0 и 1, то 1с (при достаточно большом и) будет попадать не внутрь, а на границу отрезка б„и соседнего с ним отрезка 6„'; но тогда найдется такой номер М, что при й > 1и' все 1и попадут в 6„ Ц 6„, а значит, каждое Г"(1„) попадет либо в 1'„, либо в У„, тогда как 1 (1и) 5 У„' () 1'„(см. пункт а)). Таким образом, в обоих случаях при й > У будем иметь: р (2 (Ги),1 (1,)) ( Йаш У„; так как 11!аш У„= 1 2 — 0 при и-~ 2" +со, то отсюда слеДУет, что Иш1(1,) =1(1и).
Это и доказы- и +с вает непрерывность построенного в задаче отображения 1. г) То, что отображение г ие является взаимно однозначным, следует из задачи 592. В этом же можно убедиться и непосредственно. Действительно, прообраз всякой точки М„лежащей на обшей стороне двух квадратов некоторого ранга, занумерованных несоседними номерами, содержит по крайней мере две различные точки (эти точки лежат в двух несоседних отрезках, которые отвечают взятым квадратам); если точка М, лежит в общей вершине четырех квадратов некоторого ранга, то ее прообраз состоит даже из трех различных точек.
595. Если проектирование проводится под углом а к оси Ох, то для любых двух точек М, и М, множества Е имеет место соотношение р(м,,м,) и!и а где Р, и Р,— проекции точек М, и М, на ось Ох (рис. 33). Отсюда следует, что проектирование является не только непрерывным, но даже равномерно непрерывным отображением множества Е на ось Ох. 596. Да, проекция плоского открытого множества всегда открыта на прямой. 597. Если Š— ограниченное замкну2Ч1 с~с тое множеетво на плоскости, то его проекция на ось всегда ограничена и замкнута (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
