Ю.С. Очан - Сборник задач по математическому анализу (1134952), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Убедимся теперь в том, что ни в одной точке множества Е производная г'(х) не существуетт. Пусть х — какая-либо точка множества Е. Представим г (х) дд в виде суммы двух функций: г" (х) = + !х — хд,! ~~ !х — хд! Тем же способом, которым мы доказывали существование производной у функции !' (х) в точках х и Е, проверяется, что функция 2» (х — хд! )х — хд ! — имеет производную в точке х; функция же ЯФ6 не имеет производной в этой точке.
Следовательно, сумма этих функций, т. е. функция ! (х), не имеет производной в точке хд . 619. Да, функция [(ф([)) монотонна на отрезке [а, Ь]; при этом, если à — возрастающая функция, то и суперпозиция ! (гр ([)) возрастает, а если ~ — убывающая функция, то и суперпозиция убывает. 620. Нет. П р и м е р. Пусть ~р (1) определена на отрезке [О, 2] равенствами: при[ 6[0,1Г, (1 + 1 при ! 6 [1, 2]. Эта функция разрывна при ! = 1 и для нее [р (0) = О, ф (2) = 3. Определим теперь на отрезке [О, 3] оси Ох монотонно возрастаю. шую функцию (х при х Е ~0, 1], 1(х) =[ 1 при х 6 ]1, 2[, х — 1 прих ЕГ2,3]. Легко видеть, что суперпозиция ) (р (1)) тождественно равна при 0 < [ < 2; следовательно, она непрерывна всюду, и в частно- сти в точке ! = 1.
Заметим, однако, что если функция /(х) строго монотонна, а функция р (1) разрывна в точке 1ш то суперпозиция [ ([р ([)) обя- зательно терпит разрыв в точке (ш 621. Для определенности будем считать, что ! (х) строго воз- растает на [а, Ь]. Возьмем произвольное положительное е, не пре- восходящее Ь вЂ” и. В силу строгого возрастания функции, имеем: ['(Ь вЂ” е) < ['(Ь). Найдем такое У, что для всех л > Ь[ имеет ме- сто: [ (х„) > г (Ь вЂ” е); это можно сделать, так как 1[ш ['(х„) = а = ! (Ь). В силу строгого возрастания функции, из [ (х„) > !' (Ь вЂ” е) вытекает, что х„> Ь вЂ” е; следовательно, для всех и > )[[ имеем: Ь вЂ” е < х„< Ь, откуда )х„— Ь! < е.
Но это и означает, в силу произвольности числа е > О, что !! ш х„= Ь. л 622. Функции т (х) н М (х) определены на всем отрезке [а, Ь] (если счит'ать, что отрезок [а, х] при х = а есть одноточечное множество (а)). Какова бы ни была функция [ (х), функция М (х) = = зцр ) (г) возрастает на отрезке [а, Ь], так как если Ь > О, г;[а. г[ то [а, х] с: [а, х + й], и, следовательно, зпр [ (а) )~ зпр [ (а). г'[а, г.[-Ь! г;[а, г! Если функция [(х) непрерывна, то М (х) также непрерывна.
Для того чтобы доказать это, покажем сначала, что для любых чисел с, г[ В[а, Ь], с < г[ имеет место неравенство яц) Г (а) < зпр [(8) + О)[ (1) г; [а. а! г;. [а, а! [с, г[ Действительно, зцр [(з) равен наибольшему из чисел зир г" (х) и г;[а, г! г[!а М зцр [(з). Если наибольшим является зцр [(а), то ге[а, д[ г[[а, а! зрр [(а) = зпр 1(х) < зпр Г(а)+ 4, а[[а, а[ г [а, г! а[[а, г[ [с, г1 а[т так как е]1 ~ ~О. Если же наибольшим является зцр )(г), то [с, г] «[[с, х] знр 1(г) = знр )(г)+( знр 1(г) — зцр ](г)); г- [а, х] «[[а, с] гцс. г] ««[а, с] но я]р 1(г) )1(с) > !п! 1(г); поэтому гс [а, с] г[ [с, г] знр 1(г)< зцр 1(г)+( знр 1(г) — !п( 1(г)) ««[а, Х] «][а, с] «[[с, г] «х[с, 4] = знр 1(г)+ ы1.
г] [», с] [с, а] Таким образом, неравенство (1) доказано. Из него, в частности, следует, что при х е [а, Ь] и при 0 < й < Ь вЂ” х знр Р (г) < р 7 (г) + ы ]". «[ [а, к+й] г; [а, «] рь Ь]-й] Отскда, принимая во внимание, что М (х) — возрастающая йункция, получаем: 0 < М (х+ й) — М (х) < е] [х, к+И] При й — х-0 правая часть неравенства стремится к нулю, так как 1(г)непрерывна; но тогда и М (х+ Й)- М (х); значит, М (х) непрерывна с п р а в а в точке х. Для того чтобы доказать непрерывность М (х) в точке х с л ев а, применим неравенство (1) к точкам х — Й, х отрезка [а, Ь] (]] ) 0): знр )(г) < знр )(г)+ о ««[а, «] -;[а, к — Й] [к — й, «] откуда 0 < М (х'] — М (х — й) < ы [к-М х] Следовательно, М (х — й)- М (х) при !]-~ 0; значит, М (х) не- прерывна и с л е в а в точке х.
Итак, если функция ]' (х) непрерывна всюду на [а, Ь], то и М (х) непрерывна всюду на [а, Ь]. Аналогично доказываются монотонность и непрерывность функ- ции т (х). 623. Если 1 (х) — возрастающая функция на [а, ЬЗ, то зцр ~ (г) = ) (х), т. е. М (х) =] (х) для всех х ч [а, Ь1. Для функции М (х) == знр 1(г) аналогичное равенство не «[[а, х[ всегдаимеетместо. П р и м е р. Пусть|(х)=~ [х для х с[0,1[, ( х + 1 для х 6 [1, 23. Эта функция возрастает (и даже строго возрастает) на отрезке [О, 2]. Д е М() )х для хЕ~01), (х+ 1 для х Е )1,2~.
Как мы видим, 1 (к) чь М (х) в точке х = 1. 2]8 ~(х) прих 6Е, знр г (~) при х 6 [а, Ь) ' Е, х ) х„, с<к 1п([К) прихс(а,Ь3 ' Е,х(х;, сее <р (х) = где х, = [п( Е. Ясно, что [р (х) — монотонно возрастающая функция, определенная всюду на [а, Ь) н совпадающая с ~ (х) на множестве Е. 626. Нельзя. Если, например, [" (х) не ограничена сверху, то она не определена в точке Ь (иначе было бы ~ (х) (г (Ь) всюду на Е. Но тогда и доопределить ее в точке Ь с сохранением монотонности нельзя. Если же )'(х) не ограничена снизу, то ее нельзя доопределить с сохранением монотонности в точке а. 627.
Д о с т а т о ч н о с ть очевидна: если ((х) строго монотонна, то она взаимно однозначно отображает свою область определения [а, Ь) на свою область значений Е, = )' ([а, Ь)); а это есть необходимое и достаточное условие существования обратной функции, отображающей Е, на [а, Ь| и ставящей в соответствие каждой точке у 6 Е, ту единственную точку х 6 ["а, Ь[, для которой ((х) =у. Н е об х од и м ость. Пусть функция ['(х) непрерывна на [а, Ь1 и имеет обратную функцию, т. е. взаимно однозначно отображает ["а, Ь) на Е, = ~ ((а, Ь)). Тогда [ (а) Ф ~(Ь), так как равенство ~ (а) = ~ (Ь) противоречит взаимной однозначности этого отображения.
Положим для определенности, что ~ (а) < [ (Ь). Тогда в точке а функция достигает наименьшего значения на [а, Ь). Действительно, если бы в некоторой точке х, 6 )а, Ь[ было [' (х,) < [ (а), то, в силу теоремы о промежуточных значениях непрерывной функции, между точками ха и Ь нашлась бы точка [. такая, что ~ (~) = Ца) (так как ~ (х,) <) (а) < [". (Ь), см.
рис. 36); но это противоречит тому, что [" (х) взаимно однозначно отображает отрезок [а, Ь] на множество Е,. 219 Обобщая этот пример, можно построить такую монотонную функцию [" (х), для которой равенство ~ (х) = М (х) не выполняется на счетном множестве точек. 624. Пусть, для определенности, ~(х) возрастает на отрезке ["а, Ь) Тогда 1п(»".
(х) = ~ (а), эпр Г' (х) = ) (Ь). Допустим, к [а, Ь] «,[а, 1» что эта функция разрывна в точке с, где а ( с ( Ь; тогда по крайней мере на одном из интервалов )1' (с — [)), ~ (сК, 7 (с), Р (с+ [))Г оси Оу нет значений функции. Но это значит, что функция ) (х) принимает в качестве своих значений не все числа отрезка У (а), 1" (Ь)]. Следовательно, если функция возрастает на [а, Ь1 и принимает на этом отрезке в качестве своик значений в с е числа из [[ (а), ~ (Ь)3, то она непрерывна на (а, Ь~. Случай убывающей функции аналогичен. 625.
Можно; достаточно положить Ряс. 36 Рис. 37 Докажем теперь, что функция 7" (х) строго возрастает на [а, Ь]. Допустим, что это не так; тогда найдется хотя бы одна пара точек х„х, 5 [а, Ь], х, < х, такая, что 7'(х,) )~ 7 (х,). Равенство здесь исключено нз-за взаимной однозначности отображения )'; значит, 1 (х,) )1 (х,). но тогда на участке [а, х,] найдется точка 11 такая, что1 (г1) = 1' (х,) (так как ) (а) < ) (х,) < 7 (хт)) (см. рис.
37). А это также противоречит взаимной однозначности отображения 1. Значит, для любых точек х, < х„лежащих на отрезке [а, Ь], имеет место неравенство ~(х,) <7(х,), т. е. функция 7(х) строго возрастает на [а, Ь]. 628. Если обе функции возрастают или обе убывают, то их сумма монотонна. Однако если одна из этих функций возрастает, а другая убывает, то сумма может оказаться немоиотонной. Например, обе функции са (х) = х, ф (х) = — х' монотонны на [О, Ц, однако их сумма ) (х) = х + ( — х') не монотонна на [О, Ц. Произведение двух н е от р и ц а тел ь н ы х возрастаюших функций монотонно. В общем случае это ие так.
Например, обе функпин ~р (х) = х, ф (х) = х — 1 возрастают на [О, Ц, однако их произведение ) (х) = х (х — 1) не монотонно на этом отрезке. 629. Сначала докажем, что для любого натурального п множе- 1 ство Е„тех точек, где колебание функции больше или равно —, и не более чем счетно. Для этого опишем около каждой точки х 5]а, Ь[ окрестность ]х — 6, х+ 6[ (6 зависит от х) такую, что колебание функции на ]х — 6, х[ и на ]х, х+ 6[ м е н ь ш е чем —. Далее, 1 и из покрытия интервала ]а, Ь[ интервалами ]х — 6, х + 6[ выберем не более чем счетное покрытие ]х, — 6„ х, + 6,[, ..., ]х, — 6„ х, + 6,[, ... (см. задачи 345, 355 и 355).
Ясно, что ни в одной точке $ интервала ]а, Ь[, отличной от точек х,, ..., х„ ..., колебание 1 не может превзойти числа —, так как любая такая точка $ являет- и ся внутренней либо для некоторого интервала ]х, — 6,, х[, либо для некоторого интервала ]х1 х,. + 6[. Следовательно, Е„с: с: (х„..., х„...), и, значит, Е„не более чем счетно. Но тогда и множество всех точек разрыва Е = () Е, не более чем счетно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
