Ю.С. Очан - Сборник задач по математическому анализу (1134952), страница 56
Текст из файла (страница 56)
е. является функцией ограниченной вариации на 1а, Ц, и что ~„-+- ~ в смысле метрики этого пространства. Зададим произвольное е > О. Пусть У, — такое число, что при и > У„а > Ут будет: р (~, ~„) < —. Рассмотрим произвольное 4 разбиение а =х, <х, «... х,, <х, =Ь отрезка1а, Ь). Пусть а > У, столь велико, что (г„(х,.) — г (х,.)1 <— для всех 1 = О, 1, ..., з.
Тогда для произвольного т > У, будем иметь: ~ (Д (х,) — ~„(х,)) — (~ (х,,) — г (х,,)) ~ < (~~(х;) — ~„(х,)~+~(1„(х,) — ~ (х;)) — Д„(х,,)— — (х,,))1+ (~„(х,,) — ~(х,,) ~ < < — + ~(~„(х,) — Г (х;)) — (~„(х,,) — ~„(х, „)) ~+ —. Значит, Х ~д(х~) — 1 (х)) — Ч(х~-) — 1 (х-))~< 1 в ь е в е е Зе < — + ч В. — и+ — < — + -+ — = —. 4 ~ 4 4 4 4 4 Так как это верно для всех разбиений отрезка 1"а, Ь), то функция — при т > У, есть функция ограниченной вариации на Ь зв Га, Ь3, для которой У () — ( ) < —.
Так как~ = (1 — ~„) + (, а а Е Р(а, Ь), то и ~ — функция ограниченной вариации на ~а, Ь3 (см. задачу 658), т. е. Г Е Р (а, Ь). Пусть теперь У, таково, что при т > У, будет: (Г (а)— Г,„(а)! < —. Тогда при и >У, где У= щах(У„У,), будем 237 иметь ь з Р (1, 1„) = ) ~(а) — )' (а)! + Ч (1 — 1" ) ( — + в силу произвольности е ) О, это означает, что Иш ) =) в смыс- /И ле метрики пространства У (а, Ь). Итак, каждая фундаментальная последовательность пространства У(а, Ь) сходится в этом пространстве, т.
е. У(а, Ь) полно. 665. Доказательство можно провести аналогично тому, которое дано в решении предыдущей задачи. Можно также выбрать из каждого класса 7 по одному элементу )', удовлетворяющему условию ) (а) =О. Тем самым мы отобразим пространство У(а, Ь) на некоторое подпространство У, (а, Ь) метрического пространства У(а, Ь) из предыдущей задачи.
При этом значение функции р, для любых двух элементов ), д пространства У (а, Ь) будет равно расстоянию между их образами в У, (а, Ь). Следовательно, У(а, Ь) — метрическое пространство с метрикой р„изометричное У, (а, Ь). Так как У, (а, Ь) замкнуто в У (а, Ь) и, значит, полно, то и У (а, Ь) — полное пространство. 666. Функция 1(х) = соз' х представима в виде разности возрастающих функций следующим образом: к 1(х) = Ъ'г' — ~р(х), о к где ф(х).= У ~ — Г(х).
Здесь о 1 — созз х при х Е ~0 — "~ 21 ~ 1 + соз' х при х Е ] —, и 1, и, значит, 1 — 2соз'х при х Е ~0, — "1, 2) ~р(х) = 1 при хЕ~ —, п~ (см. рис. 41). 667. з(п х = ~р (х) — ф (х), где Ч(х) = Рис. 41 238 з)их при хЕ ~0, — "1, 2) чи 3 2 — з(их при х Е~ —, — п~, ~2 2 тзл 4+э(пх при хс ~ —, йп~, 0 при хЕ~О,— ""1, 1л 3 2 — 2ейпх при х Е~ —, — п1, ~ 2 2 13 4 прн х Е~ — и, 2п~ )2 (рнс. 42). 668. ! (х) = 6> (х) — ф (х), где (х' при х Е [О, 1[, р(х) =~2 при х =1, 3 при х 6)1,2), ф (х) =(2х' при х Е [О, 1[, (2 при х 6[1,2) Рис.
42 и у игх1 Гь ь ч (П «< ч1. а а 671. Нет. П р и м е р. Пусть ( — 1 при х иррациональном„ 1 при х рациональном. Тогда (!'(х)( = 1 для всех х; следовательно, (1 (х) ( имеет ограниченную вариацию на любом отрезке [а, Ь), тогда как 1 (х) — функция неограниченной вариации на том же отрезке.
672. Справедливо. Действительно, возьмем произвольное разбиение а =хо < х, « ... х„, < х„= Ь отрезка [а, ЬЗ и обозначим через о сумму модулей приращений функции ~ (х) для этого 239 (рис. 43). г ! г 669. Ъ'7' =7; Ъ'~ =5; Ч1 =2. Функ- г о о цию 7 (х) можно представить следующим образом в виде разности монотонных: г (х) = !р (х) — ф (х), где х' при х 6[0,1[, !р (х) = 5 при х = 1, х+5 при х 6)1,2), ф ( ) )О при х 6 [О, 13, Рис.
43 )2 при х 6 )1, 21. 670. Это следует из того, что (а — 5( ) ((а( — ((1(( для любых чисел со и р. Поэтому при любом разбиении а = х, < х, « ... < х„, < х„=Ь отрезка [а, Ь) имеет место ,.~~ ( (! (хь) ( ( ! (хь-1) ( ( «< ~',~ ( ! (хь) ! (хь-!) ( < !' ! и=! и=! а Следовательно, функция (1 (х)( имеет ограниченную вариацию на [а, Ь"1, причем разбиения. Если на каком-либо участке (х „хД этого разбиения функция р (х) не меняет знака, то на этом участке приращение функции равно по абсолютной величине приращению модуля функции.
Если же на участке (х» „х»|функция ~ (х) меняет знак, то в силу непрерывности она обращается в нуль в некоторой точке ь», х», < < (» < х»(см. задачу 536). Так как на участках ьх» и ьД и ьь», хД приращение функции равно по абсолютной величине приращению ее модуля, то ()(х») — 7(х„,)(( ~~(х») — 7(ь») (+ (р(ь»)— — р(х»,) / = / / р(х») / — ! ) (ь») ! / + ~ / 1 (ь ) ! — ( р(х»,) Ц. Итак, сумма о модулей приращений функции ) (х) для заданного разбиения ие превосходит суммы а* модулей приращений функции ()(х)~ для некоторого разбиения отрезка Ьа, Ь) (а именно для того разбиения, которое получится, если к точкам х» добавить точки ь», выбранные выше). Но о* не больше вариации функции ~~ (х)~ (йо условию ~~ (х)~ — функция ограниченной вариации).
Поэтому ь о ( а* (Ч ~Д. Итак, для любого разбиения отрезка ~а, Ь] сумма а ь о не превосходит числа Ч~Д; следовательно, ) (х) — функция ог- О раниченной вариации, причем Ч~ ( Ч~й. О а ь 3 а м е ч а н и е. Из решения задачи 670 вытекает, что Ч (Д ( О ь ( Ч г. Сравнивая это неравенство с полученным выше, заключаем, О что для н е п р е р ы в н о й функции ) (х) имеет место равенство » ь Ч~ =Ч!П О О 673. а) Н е о б х о д и м о с т ь. Пусть р (х) — функция ограх ниченной вариации на ьа, Ь3; функция»р (х) = Ч ~ является возра- О стающей на ~а, Ь1 функцией; очевидно, что она удовлетворяет заданному неравенству при любом Ь > О, так как О-~-» О-~-» К ~ ~(х+ й) — 1(х) ~ < Ч р = Ч 1 — Ч 1 —.— О а а = »р(х+й) — ч (х) (см. задачу 660).
б) Д о с т а т о ч н о с т ь. Пусть | (х) — функция, заданная на ~а, Ь1, и»р (х) — такая возрастающая на ~а, Ь~ функция, что для любого х 6 ьа, ЬД и любого й > 0 (при условии, что х + й 6 (а, ЬД) выполнено неравенство ~) (х + й) — 1 (х)1 ( »р (х + Й) — »р (х). 240 отрезок [а, Ь) точками а = ха < х, « ... х„т < х„= Ь сумму о модулей приращений функции Г(х): У(».) — 1(х.— Н < ~ (Ч (х.) — р(х.-)) = р(Ь) — Ч(п) Разобьем и оценим Итак, о не превосходит числа р (Ь) — щ (а) при любом разбиении отрезка [а, Ь); следовательно, ) (х) — функция ограниченной ва- риации, причем ь Ч 1 < ~р (Ь) — <р (а).
674. Спрямляемость этой кривой следует нз того, что функция х' з! п — при х ~ О, 1(») = 0 при х=О 241 имеет ограниченную вариацию на отрезке [О, Ц (последнее доказывается так же, как при решении задачи 644). 676. Неспрямляемость этой кривой вытекает из того, что функция, графиком которой она является, не имеет ограниченной вариации на отрезке [О, Ц (последнее доказывается таким же методом, как при решении задачи 645). 676. Покажем, например, что функция ф (г) имеет неограниченную вариацию на отрезке [О, Ц. Рассмотрим для произвольного и разбиение квадрата [О, Ц х [О,Ц на 4" замкнутых квадратов л-го ранга.
Пусть эти квадраты занумерованы по правилу, указанному в условии задачи 594, н точка М,(х„ у,) является центром квадрата п-го ранга с номером ( (! = ! 2, ..., 4"). Выберем для каждого ! на отрезке [О, Ц оси О! один из прообразов (, точки М, (при отображении, задающем кривую Пеано). Тогда (,является точкой 1-го отрезка и-го ранга, соответствующего 1-му квадрату а-го ранга, причем все г, попарно различны. Так как отрезки занумерованы слева направо, то отсюда следует, что 0 = (,< г, < т, < « ... Г4л < 1, т. е.
точки 1, задают некоторое разбиение отрезка [О, Ц. Оценим для этого разбиения сумму а„модулей приращений функции ~Г (!). Для этого возьмем разбиение квадрата [О, Ц х Х [О, Ц на замкнутые квадраты (л — 1)-го ранга и рассмотрим )чй квадрат (л — 1)-го ранга. В силу построения, составляющие его квадраты и-го ранга будут занумерованы числами 41 — 3, 4) — 2, 4! — 1, 41 н квадраты с соседними номерами имеют общую сторону. Ясно, что из них хотя бы два квадрата с соседними номерами имеют общую в е р т и к а л ь н у ю сторону. Пусть это будут, например, квадраты с номерами 47 — 1 н 4!'. Тогда (см.
рис. 44). Поэтомуна отрезке[1 сумма модулей приращений функции 1 ~р (1) не меньше —. Так как число таких от- Зи резков равно 4" ', то для суммы о„модулей приращений функций ~р (1) на всем отрезке [О, Ц получим: о„)~4' ' — = 2" *. и-4 зи !чу-1 хиуа ~ х47 Следовательно, о„-~- оо при л — ~ со, т. е. функция ~Г (1) имеет неограниченную вариацию иа [О, Ц. Рис. 44 Аналогично проверяется, что функция ф (() имеет неограниченную вариацию. 3 а м е ч а н и е. Из полученного результата и из теоремы 6 введения к этой главе следует, что крявая Пеано не спряма4 ляема.
677. Когда параметр 1 пробегает зна- чения от 1 до О, точка М (х, у) на плос- В4 кости, действительно, движется по отрезал ку, соединяющему точки (а, а) и (Ь, Ь). Но при этом точка М совершает колебательные движения по этому отрезку; таким Рис. 45 образом, кривой, заданной этими парамет- рическими уравнениями, является не указанный выше отрезок, а ломаная АВ,В,В, ... С с бесконечным числом звеньев, которые все лежат на этом отрезке (см. рис. 45).
Эта ломаная не спрямляема. 678. Функции сс (() и ф (1) имеют ограниченную вариацию на [О, Ц (см. задачу 648); следовательно, кривая х=ч (Г), у=ф (() (О ((( 1) спрямляема. Глава ХП. ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ, ИНТЕГРАЛЫ РИМАНА И ЛЕБЕГА 679. Пусть а — произвольное число. Легко видеть, что ЕЯ(х))и >а) =ЕД(х) >ь'а).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
