Ю.С. Очан - Сборник задач по математическому анализу (1134952), страница 59
Текст из файла (страница 59)
На С0 функция постоянна, поэтому (О) ) !(х)дх =2 тС0 =-2 1 =2, со Следовательно, 1 (Е) ) !(х)дх =(Е) о ~ ~(х) с(х + ~~)' (Е,) ~ ~(х) с!х. и=! а и Так как т0 = О, то первый интеграл равен нулю. Остальные интегралы вычисляются легко: на каждом интервале !а„Ь„Г функция ннтегрируема по Риману и поэтому ои и (Ц ~ )(х)дх = ()с) ) ~(х)дх. ил Интегралы Римана в данном случае равны площадям соответствующих треугольников (см. график функции, рнс. 49): у у 9 у Рис. 49 1 (() ~ ~ (х) с(х = О + 2 = 2.
о б) Для вычисления интеграла от функции задачи 489 разобьем область интегрирования на счетную совокупность попарно не пересекающихся множеств: ГО, Ц =0 () 3ао Ь,Е.() Дао, Ь,Е () ... () 1а,„, Ь„Е () ..., где 0 — канторово множество, а ]а„, Ь„! — его смежные интервалы, занумерованные в порядке убывания их длин, т. е, |а„Ь ( — ин! 1 тервал длины —,!а„Ьо! и!а„Ь~ — интервалыдлины —, !а, Ь Г, „, з' зз ' 4' 4 ' ! з' ..., 1ао, Ь,~ — интервалы длины — и т. д. При этом интервалы одинаковой длины нумеруем слева направо. Используя полную аддитивность интеграла Лебега, получим: 1 1 ь, с ь, с '' 3 ''з (Й) ) г (х) дх = —, (Й) ~ ~(х) с(х = 2 2 О~ О~ ! 1 ь, сь ь, сь 3 й '' 3 (Й) ) / (х) дх = —, (Й) ! г (х) ь(х = Я~ О 1 ! ь, с ь, с 33 с '' 3» (Й) ~ 1 (х) дх = —, (Й) ~ 1'(х) с(х = —, г ь~ Ю~ Суммируя, получим формулу, дающую искомый интеграл Лебега: ! (~) ~~()Д.= 1!сь-1-со -1-с'-1-с-'-1- - -1-с7-1-' — '+..) 2 ! 3 Зо Зо Зо Зо Зс о (так как функция 1(х) интегрнруема по Лебегу на отрезке 10, Ц, то ряд, стоящий в правой части равенства, сходится; впрочем, в этом можно убедиться и непосредственно, исходя из того, что по- следовательность (с„) сходится и потому ограничена).
В частности, для функции задачи 488 имеем: с„= 1 для всех и, поэтому здесь 1 1 (! 2 4 8 ! 1 1 (Е) ~ 1(х)с(х = — !! — + — + — + — + ... 1= 2 !3 Зь У Зь / / 2) 2 о 6 ~! —— 3 в) Функция 1(х) из задачи 495 эквивалентна функции — х'. Поэтому 1 ! (5) ~ 1(х) с(х = (Е) ~ ( — х') с(х = (Й) ~ ( — х') с(х = — —. 3' о о о г) Функция ! (х) из задачи 502 эквивалентна функции, тождест- венно равной нулю. Поэтому здесь 1 1 (5) ) ! (х) с(х = (Ц ~ 0 ь(х = О. о о 715.
Разобьем область интегрирования на попарно не пересе-. кающиеся множества О, А„А„..., А„..., где  — канторово множество, А„(й = 1, 2, ...) — объединение всех смежных интер- 1! валов й-го ранга ~т. е. интервалов длины — ). Используя полную 3)' аддитивность интеграла Лебега, получим: 1 (Е) ~ ) (х) ь(х = (Е) ~ ~ (х) ь(х + ч1„(5) ~ ) (х) с(х.
й„ 255 Так как тО = О, то (Е) ( 1(х) !(х = О. На каждом из остальных о множеств функция постоянна. Поэтому для каждого номера й имеем: (Е) ~1(х)дх = — л!Ах = — „° 2х ' ла Следовательно, (Е) ) г(х) !(х =- ~ —, = —. о ь=! 716. Интегрируема по Римацр на отрезке !'О, Ц, так как она ограничена на этом отрезке10, Ц и множество ее точек разрыва (множество 0) имеет меру нуль.
Интеграл Римана от этой функции равен вычисленному выше интегралу Лебега. Следовательно, (1с) ~ 1(х) !(х = —. 4 о 717. Эта функция не иитегрируема по Риману на отрезке [О, Ц (она разрывна на множестве положительной меры — ее точками разрыва являются все точки отрезка 10, Ц, кроме точки х = 1). По Лебегу эта функция ннтегрируема, так как она измерима и ограничена. Для вычисления интеграла Лебега от 1(х) заменим подынтегральную функцию эквивалентной ей функцией Ч! (х) =х', которая интегрируема по Риману на !"О, Ц.
Получим: ! ! (Е) ~ ! (х) дх = (Е) ~ !р (х) Ых о о ! ! = (Е) ~ х' !(х = (К) ~ х'Йх = —. 4 о о 7!8. Функция Х (х) измерима и ограничена; следовательно, она интегрируема по Лебегу. Для вычисления ее интеграла, разобьем !"а, Ь3 на два множества: Е и СЕ (где СЕ = 1п, Ь) ', Е). Тогда ь ,3 Хв (х) дх =-,( Ха(х) !(х + ) Хл (х) ((х = и!Е + 0 = тЕ. и Е се 719. Функция Г (х) не интегрируема по Риману (она разрывна на множестве Е положительной меры), но интегрируема по Лебегу.
Вычислим ее интеграл на 10, Ц: ! в„ (Е) ) 1(х) с(х = (Е) ~ Г (х) с(х + '~" (Е) ) 1(х) сКх. о Ь и=! а и На множестве Е функция постоянна (равна нулю); поэтому 256 (Е)~7'(х) !(х = 0 тЕ = О. На интервале )а„, ~„~ — функция интегрируема по Риману; поэтому ви а„ (Е) ) !'(Х)с(х =()с) ~ Г(х) с(х = ' " 1, г Итак, Но ~!((5„— а,) — эта сумма длин смежных интервалов; она равна л=! 1! мере множества СЕ (т. е. — ).
Следовательно, окончательно ' г) (Е) ( г (х) !(х = — —. 4 720. Разобьем Е на два множества: множество А тех точек, где Г (х) ) с, и множество В тех точек, где О ( Г (х) < с. Тогда (Е) ) ) (х) дх = (Е)А) Г (х) г(х + (Е) ~ Г (х) г(х ) (Ц ) Г" (х) г(х, так как (Е) ) Г (х) !(х)О (в силу неотрицательности подынтегральв ной функции). На множестве А имеет место 1 (х) ) с; мера А по условию равна а. Поэтому (Е) ) ! (х) !(х ) (Е) ) ~(д) !(х ) с тА — с ° а. 721.
Данная функция почти всюду на~О, Ц равна х'. Следовательно, интегралы Лебега от г (х) и от х' равны друг другу; поэтому 1 ! 1 (!) ~~(х) (х (!) ( з (.. ()() ~ з,(х 722. Обозначим смежные интервалы канторова множества Е!, расположенные в порядке убывания их длин, через |а„, ~„~. Тогда 1 а„ (Е) ~ 1(х) дх = (Е) ~~(х) !(х + ~~.", (Е) ~ ~(х)г(х. о о Я Интеграл по О равен нулю, так как тР = 0; интегралы же по промежуткам уа„, Р„[ могут быть вычислены как интегралы Римана; 257 следовательно, каждый нз них равен площади соответствующего полукруга. Поэтому ! (е) ) ! (") '( Х 8 о о=! 1 Но длЯ кантоРова множества имеехс (1! — со! = —, Ро — ао =()!в з' 1 1 — — — " =)1 — = — () —" = з" 3*' 1 — иго = — н т.
д. з' Поэтому ! я (1 2 2' 2! ! 1 я 1 я (Е) ~1(х) Дх = —.~-+ — +-+ ... + — + ...) = — -= —.. 8 1,3! 34 3! Зоо ~ 8 7 53 о 723. Разобьем отрезок ьО, Ц на два отрезка: [О, — ~ н ~ —, 1~ ' ' 3! !3' на первом ив них функция ) (х) эквивалентна функции х', на втором — фуннции х'1 поэтому ! ! з ! ~ ) (х) !)х = ~ хо !(х + ~ хо !(х —, + ~ — — )— о о ! з 11 11 724. Множество Е является объединением отрезков 13' 2~' [ —, — ~, [ —,— ~, ..., [, — ~, ..., а также множества меры нуль, состоящего из двух точек: 0 и 1. На каждом из этих отрезков функция интегрируема по Риману; поэтому ! ! ! о 4 Й ) Г'(х)о(х= )' Зх'!(х+ ) Зх'!(х + ...
+ ~ Зх'!!х+ ... = Е ! ! з о ъ+! 1 1 1 1 1 1 =- — — — + — — — + "+ —— +" 2 3 4 5о (2п) (2о + 1)о Этот ряд абсолютно сходится, и его сумма с точностью до 0,01 равна О,!О. 725. (Ь) ~ 1 (х) !(х = ~гйппхо)х+ ~созяхо(х = О. 8 о ! 2 2 4 Рис. 50 а два Ваа 726. Функция (1! (х) является характеристической функцией мно! ! жества Е, = ] —, 1], ро(х) — характеристической функцией мно- ~ 2 жества Е, = ] —, — ] () ] —, 1], ро(х) — характеристической функ- 2~ ~4 цией множества Е, = — ] —, — ] и ] —, — ] () ] —, — ] О ] —, 1] и т.
д. (см рис. 50). Лалее, произведение 6! (х) ~~ (х) являе'гся характеристической функцией множества ЕоП Е, (см. задачу 558); в частности, ((1, (х))о есть характеристическая функция множества Е„ т, е. (8!(х))о =(3!(х). Легко видеть, что все множества Е, имеют ме! ! ру —, а множества ЕоПЕ имеют меру — (при о4:1). Поэтому 2 4 ~ ()! (х) Ц(х) !(х = а (Е, П Е ) =— о прн 1 Ф!', ! ! ф!(х))одах ~ ~!(х)с(х = — тЕ! = —.
о о 2 727. Функции !2 (х) легко выражаются через функции Р» (х), рассмотренные в предыдущей задаче: !Р (х) = 2 Р» (х) — !. Поэтому ! ! ~ !ро(х) !р!(х)!(х = ~(2й!(х) — 1) (2$~(х) — 1)с(х= о о ! ! ! ! = 4' ~ ()!(х) (1,(х) !(х — 2 ) р!(х) с(х — 2 1 ~7(х) !(х+ ) с(х = 0 о о о о при !' Ф1. Аналогично получаем: ! ~ (!р, (х))' !(х = 1. о 732. Вычисляя аналогично предыдущему, найдем: (Ц ~ — »[х=+ о;(Е) ) — д-=+ г х .) х» 1о Ц 1о Ц Следовательно, обе эти функции не суммируемы на интервале )О, 1[.
733. Функция 1(х) эквивалентна функции <р (х), равной о 1 о'х на промежутке [О, Ц и нулю в точке х = 0; следовательно, (Е) )г 1 (х)»[х = (Е) )г»р (х) [[х [о, ц [о, ц 1 =(Е) ~ —, (х. 1о Ч Вычисляя последний интеграл как предел интеграла от срезки подынтегральиой функции, находим, что он равен —. Следова- 3 2 тельно, (Е) ~ 1 (х)»[х = —. 2 [о, и 734. Здесь 1(х) на промежутке )О, Ц эквивалентна функции =; 1 р'х следовательно, (Е) ~ 1(х) »(х = (Е) ~ — дх.
10,!1 1о, и Последний интеграл легко вычисляется (он равен 2) . Следова- тельно, (Е) ) 1 (х) [(х = 2 . [оз 1 735. Если 1 (х) ограничена и измерима на множестве Е, то (1 (х))" и ~1 (х) ~ также ограничены и измеримы на этом множестве 1 и, следовательно, интегрнруемы. Функция — может оказаться Р (х) и неограниченной, а неограниченная функция может быть неин- тегрируемой; например, функция 1 (х) = х' ограничена и измерима 1 на Е = [О, Ц, тогда как функция — не ограничена и не интегрирух» ема на этом отрезке (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
