Ю.С. Очан - Сборник задач по математическому анализу (1134952), страница 54
Текст из файла (страница 54)
о ь а 647. Решение этой задачи аналогично предыдущей. 648. Пусть (1' (х)~ (А всюду на [и, Ь2; тогда при любом разбиении отрезка [а, Ь| точками а = ьь < ь! «... ~„! < ь„= Ь имеем, в силу формулы Лагранжа: (1(~ь) — 1(~ь,м = (1 (ть) (~ь ~ь !)) (А. Кь (здесь т — некоторая точка, лежащая между Ьь, и Ьь). Поэтому п й Х ~в,) — К.,Н<Х А(~,— ~.—,~= и А,'>', [Ьь — Ь ! = А(Ь вЂ” а).
ь=! 225 Итак, при любом разбиении отрезка [а, Ь] сумма модулей приращений не превосходит числа А (Ь вЂ” а). Значит, функция г(х) имеет ограниченную вариацию на (а, Ь]. 649. Если Е имеет лишь конечное число граничных точек, то уа(х) имеет ограниченную вариацию на (а, Ь], — это утверждение тривиально. Если жа Е имеет бесконечное множество граничных точек, то т (х) имеет неограниченную вариацию на отрезке (а, Ь]. Докажем это. Зададим произвольное натуральное числоМ и из множества всех граничных точек, лежащих внутри ]а, Ь(, выберем М точек, расположив их в порядке возрастания: а<х, <х,<... <х <Ь.
Около этих точек построим попарно не пересекающиеся окрестности У (х,), У(х,), ..., г'(х„) и в каждой из этих окрестностей возьмем по две точки Ь, и ть такие, что ~, 5 Е, тй с Е. Тогда б и 1ГХ,> ~1Хл(П,) — Х,(~,) ~ = М Итак, вариация функции т (х) на отрезке (а, Ь] больше любого наперед заданного натурального числа М; следовательно, она равна бесконечности. 650. Не обязательно.
П р и м е р. Пусть — з(п/гп(х(Й+ 1) — 1) на отрезке ~ —, — (. ! Г1 1З ~«(х) = « 1 ~«+1 «1' О вне этого отрезка. Ряд ~ч'., ~«(х) равномерно сходится на отрезке [О, 1]; каждая из функций Г«(х) имеет ограниченную вариацию на этом отрезке, однако сумма ряда представляет собой функцию неограниченной вариации на (О, 1]. 651. Пусть 1Г(х) — Г (у)! < А 1х — у1 для всех х 5 (а, Ь], р 5(а, Ь]. Тогда для любого разбиения а = ь, < ~, < ... < < ~„, < ь„= Ь отрезка (а, Ь] имеет место Х ~ Р (ь«) — Р (Ц«,)! 4 Х А ! ь« — ~«-~ ~ = А (Ь вЂ” а). «-1 «са Следовательно, функция Г'(х) имеет ограниченную вариацию на (а, Ь].
652. Возьмем две произвольные точки Ь и Ч (Ь < т1) отрезка (а, Ь] и разделим отрезок[с, т1] наи равных частей, где и — произвольное натуральное число: ч — ь ~=х,<х,< х,« ...х„=т1, х,— х,,= л 22б Тогда а У(й) — т«) ! = <~(Х.) — 1(Ха) !(Х У(Х,) — Р(ХГ,) !( (ч~".,А(х,— х;,! ="„Р„А< — < =А<:< и= г !а ~ 1! г !а А ! 1! — ь /а Г=! Г=Г а < и а" — ' где А — константа Гельдера.
Неравенство ! Г' (и) — Г «) ! ( справедливо при любом натуральном числе п; Переходя к пределу при п-Г-+аа и учитывая, что а > ! (и потому а — ! > О), получим: ь а !Г'(Ч) — !'(Ь)<( !пп " ! = О, откуда ) (Ь) = Г (Ч). Итак, значения функции одинаковы для лю- бых двух точек отрезка Га, Ь], т.
е. функция ) (х) постоянна на этом отрезке. 653. Пусть ! Г' (х,) — Г' (х,) ! ( А ! хт — х !" для любых х1 Е Га, Ь3, х, Е Га, Ь3. Пусть р < а. Тогда )~(х)1(хэ))(А!хх(А!хх!Ь!хх!Ь( ( А (Ь вЂ” а) " !х, — х,!". Итак, для любых двух точек х„х, отрезка Га, Ь1 выполняется нера- венство )Г(х,) — Г(х,)! ( В !х,— х,)~, где В = А (Ь вЂ” а)" ь. Следовательно, функция Г (х) удовлетворяет условию Гельдера по- рядка (). 654. Пусть !7 (х,) — Г (х,)! ( А !х„— х,!" для любых х„, х, 5 с ьа, Ь!. Будем считать для определенности, что т > О.
Возьмем Га — и Ь вЂ” аГ два произвольных числа ~, т! е ~ —, — < и оценим разность т аГ Р (1) — В (Ч): ! Р (~) — Р (ч) = ! К ! У (т ~ + и) — У (т Ч + п) ! < (!К! А !т~ — ттГ!" = !К! Ат" 1~ — Ч!" Га — а Ь вЂ” а1 (заметим, что если ь и Г! принадлежат отрезку < —, — <, то т ь+и н т ~) + п принадлежат отрезку Га, Ь3; поэтому мы имели право применить неравенство Гельдера к разности Г (тЬ + и) — 1 (т + + п)).
Итак, Р (х) удовлетворяет условию Гельдера порядка а на соответствующем отрезке с константой !К! Ат" (если т < О, то с константой ! К ! . А ! т!"). 655. П р и м е р. Функция — — прн хе< О, — 1, О при х=О ггт непрерывна на отрезке [О, — ~ и строго возрастает на этом отрезке, 1 ~ '2) а следовательно, имеет на ием ограниченную вариацию. Докажем, что эта функция не удовлетворяет условию Гельдера ни при каком а > О. Пусть а — какое-либо число заключенное между нулем и единицей.
Покажем, что для любого А > 0 найдутсн две точки х„х, Е [О, — 1 такие, что 11 (х,) — 1 (х,)! ) А )хо — х,!". В качестве х, возьмем точку х, = 0; для того чтобы подобрать х, 11(х) — 1(О) ) проверим, что „-«- + ао при х — 0; действительно, ) х — О)а применяя правило Лопиталя, находим: 1 1)ю 11(х) — 1(0) . 1и х ° — х - -а а = 1пп а =1)п« =1йп ах = + ао.
хо 1х — 0) х-о х хо 1пх х-о Нотогдадля любого А ) О можно подобрать такое х„что) ' „)> )х, О)а > А, откуда 11 (хо) — ) (0)1 > А )х« — 01". Следовательно, 7 (х) не удовлетворяет условию Гельдера при 0 < а < 1, а значит, в силу результата задачи 653 и при любом а ) О. 666. Пусть а, + а, + ... + а„+ ... — произвольный сходящийся ряд с убывающими положительными членами; пусть его сумма равна з. Построим на (О, з) функцию ) (х) следующим образом: ~(х) =0 в точках х=О, ам а,+а„а,+а,+ао, ...', 1(х) = — в точках х = а,+ а, + ...
+а„,+" — "(а = 1, 2, 3, ...); а 1(з) = 0; ~(х) линейна на каждом отрезке вида [а, + „, + а„„а, + ... + +а„,+ — "] и на каждом отрезке вида [а,+ ... +а„, + — ',а,+ -1- ... +а„, + а„~ (в частности, на отрезках [О, — '1, ~ — ', а«111 схематический график этой функции см. на рисунке 38, Эта функция непрерывна на отрезке 10,81 и имеет на нем неограниченную вариацию, каков бы ни был исходный ряд а, + а, + ... +а„+ ... Чтобы убедиться в последнем, разобьем отрезок (О, з) точками —, ам ~«+ —, ~«+аз, а,+ах+ — ", .... ~.+~«+~о+...+~«, где й — произвольно взятое натуральное число; вычислим сумму о«модулей приращений функции для этого разбиения: о„= ~~( — ') — ~(0) ~+!1(а«) — 1( — ')~+~~(а,+ — ') — 1(а,)~+ ...
... + ~ 1 (а, + ... + а«) — 1 (а, + ... + а«+ — «) ~ + 228 +!1(з) — 1(а!+ ...+а„) ~ = 1+ у +1+ — + — + — + — +„. 1 2 2 3 3 1 1 1 1 ... -1- — + — = 2 ~1 -1- — + и й ~ 2 + —,'+ ... + —,'). Отсюда видно, что, выбрав достаточно большое й„можно сделать сумму ох сколь угодно большой.
Следовательно, 1Ь !! 1 = + со, О а,а;а, а;аа;а, ах о а;а! а, а, а, аз лага, Подберем теперь ряда!+а,+ + ... + а„-)- ... так, чтобы функРис. 38 ция 1 (х) удовлетворяла условию Гельдера заданного порядка а. Пусть М, (х„у!) и М, (х„Ух) — две точки гРафика фУнкции 1 (х), пРинадлежащие одному и тому же прямолинейному отрезку графика (см. рис. 38).
Если, например, ал +ал- + 2 то (у,— у„'= а, + ... -1- а„, ( х, < х, ( а, + ... 1 л 2 =К)х,— х!~, где К =— а„ ла„ 2 Следовательно, в этом случае ! — а 2!х! — х!( а х,— х!! ( лал 2 (у,— ух( = — )х,— х!( =- лал 2 1 — а < —" (х,— х,(" лал 2 И вЂ” 1х,— х!( . ла"„ То же самое верно и для случая, когда а,-1- ... +а„, + —" (х,( х,~а, + ...
+а„, 2 1 Возьмем в качестве (а„ ) последовательность ~ — ~; это можно а ! + 1 '%1 1 сделать, так как — > 1 и, следовательно, х — — сходящийся а а=! а 2 2 ряд с убывающими положительными членами, Тогда — =— а ! л л = 2; поэтому, согласно предыдущему, для любых двух точек х, и х, для которых соответствующие точки графика принадлежат одному н тому же прямолинейному отрезку графика, имеет место ~1(х,) — ) (х1)( ( 2! х, — х,!".
Пусть теперь хт и х, — два числа на отрезке ГО, з3, для которых соответствующие точки графика М, и М, не лежат на одном н том же прямолинейном отрезке, причем х, < х,. Тогда найдутся точки М~ (х1, ~(х1)) и Мз (хз, ((х,)), лежащие на одном прямолинейном отрезке графика, у которых ординаты совпадают с ординатами точек М, и М„а абсциссы удовлетворяют неравенствам: х, < х~ < х, ( х,, (1) Действительно, точки М, и М, расположены на боковых сторонах некоторых равнобедренных треугольников О, и О„каждый из которых образован двумя соседними прямолинейными отрезками графика и отрезком осн Ох (в частности, О, н О, могут совпадать). Если г(х,) ) ~ (х,), то в качестве М; и М' берем точки, расположенные на правой стороне треугольника О, и имеющие те же ординаты, что н точки Мм Мз соответственно (рис.
39, а). Если же ) (х,) < г (х,), то берем в качестве М', и М' точки, расположенные на левой стороне треугольника О, и имеющие те же ордннаты, что н точки М„ М, соответственно (рис. 39, б). Легко видеть, что в каждом из этих случаев абсциссы точек удовлетворяют неравенствам (!). Так как точки М; и М,' лежат на одном прямолинейном отрезке графика, то„ согласно предыдущему, )~(х,) — 1(х,) | <2! хз — х1!" (2) х,— х, ~ . Итак, неравенство 1~ (х,) — ~ (х,) < 2 (х, — х,!" выполняется для любых двух чисел х„х, отрезка (0, з~; значит, функция ~ (х) удовлетворяет на этом отрезке условию Гельдера порядка а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
