Ю.С. Очан - Сборник задач по математическому анализу (1134952), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Тогда $ является точкой разрв!ва для функций ~», ) ~„... и при й )! точкой непрерывности для функций Г„..„~д . При этом !о»' 1 559. Х,„(х) = Ха(х) Ха (х) ... Ха (х); Хи(х) = ~ Хв (х) — ~'.~ Ха (х) Ха (х) + с~ Ха (х) Хл (х) Ха (х)— — ... + ( — 1) "+' Ха (х) Х . (х) .. Хе (х). 566.
Если точка х, является граничной для множества Е, то в любой окрестности этой точки колебание характеристической функции равно 1, и, следовательно, функция разрывна в точке х,. Если же точка х, не является граничной, то она является внутренней либо для Е, либо для СЕ.
Значит, найдется окрестность точки х„в которой колебание функции Ха (х) равно нулю; следовательно, в этой точке функция непрерывна. 561. Непрерывность этих функций вытекает из тождеств ,„(. (х) ф(,)) ч()+9(1+~у() — 9(~1~ Ф 2 Ф ш1п(ср(х), ф(х)) — ~()+ "1) 2 и результата задачи 500. 562. Обозначим с~( ць 1'1(х), если1(х) (Ь, (Ь, если 1" (х) > Ь. Ясно, что (1(хЦ~ = ппп (1 (х), Ь), На основании результатов предыдущей задачи 11 (х)1 непрерывна на Е.
Далее, С7 (х)Ь = = шах (а, У (хЦ' ). Следовательно, и [1 (хЦ, непрерывна на В. 563. Н е об ход и м ость этого условия доказана в предыдущей задаче. Докажем его д о с т а т о ч н о с т ь. Допустим, что на прямой нашлась точка разрыва ха функции ) (х). Если колебание у функции 1 (х) в точка ха конечно, то функция У(хЦ' — ' ° при а> ~) (х,)~+ у совпадает с ~(х) в некоторой окрестности точки х .
Но тогда и функция 1'1 (хЦ' разрывна в точке х,. Если же в точке разрыва х, колебание функции 1 (х) равно +со, то в любой окрестности точки х, колебание функции Г1(хЦ' при а> 11(х,)) не меньше чем а — !1(х,)!. Следовательно, и в этом случае функция ~1 (хЦ', разрывна в точке х,. Итак, разрыв функции 1(х) в какой-либо точке х, влечет за собой разрыв функции (1(хЦ', в той же точке для достаточно больших а, что противоречит условию. 564. Разобьем отрезок 10, Ц на два непересекающихся множества: множество А типа Е, всюду плотное на 10, Ц, и множество В типа Оа, также всюду плотное на (О, Ц, причем каждое кз них имеет мощность континуума в любом интервале 1а, рь с:.10, Ц (пример такого разбиения см.
в решении вадачи 252). После этого построение искомой функции г (х) может быть проведено так же, как в задаче 557. 565. Зта функция разрывна во всех точках множества А и непрерывна во всех точках множества Е. Равномерно непрерывной на множестве Е функция 1(х, у) не является. Исследование этой функции аналогично исследованию функции в задаче 488. 566.
Эта функция непрерывна (а следовательно, и равномерно непрерывна) на замкнутом квадрате (О, Ц ~ ьО, Ц, а значит, и на Е. Исследование этой функции аналогично исследованию функции в задаче 489. 567. На множестве 0 < хх + уз ( 4 функция непрерывна, но не равномерно непрерывна. В кольце 1 < х' + у' < 4 эта функция равномерно непрерывна: действительно, она непрерывна, а следовательно, и равномерно непрерывна в замкнутом кольце 1 (.х' + у' ( 4. Значит, оиа равномерно непрерывна и на любом его подмножестве, в частности в открытом кольце 1 < х' + у' ( 4.
568. Так как функция 7'(х) по условию непрерывна в точке х, относительно множества Р, то х е Р. В качестве Г (х) можно взять, Например, функцию 569. Верно. Для доказательства достаточно воспользоваться определением непрерывности по Гейне. 570. Неверно. П р и м е р. Обозначим через о замкнутую область, ограниченную первым завитком архимедовой спирали р = а~р (О ( ~р ( 2п) и отрезком (О, 2па) на оси абсцисс (рис. 30) П эсть 1 (1 при х е о, (Опри хсо. Эта функция в точке (О, 0) непрерывна по любому лучу, исходящему из начала координат; однако она не является полностью непрерывной в точке (О, 0).
571. Нет. П р и м е р. Пусть Ь— винтовая линия, расположенная в трехмерном евклидовом пространстве: х = а соз 1, у = а з)п 1, г = Ы; пусть М, — точка с-координатами (а, О, 0). Определим функцию1(х, у, г) следующим образом: Рис. 30 0 всюду на Е, кроме точки М,; 1 в точке М„а также во 1 (х' у' ) = всех точках"пространства Я~, не принадлежащих г кривой Е. Эта функция непрерывна относительно любой плоскости, проходящей через точку М, но не является полностью непрерывной в этой точке. 572. Нет. Пример. 1 во всех точках плоскости с координатами (х, 0), ~ где х > 0; ~ 0 во всех остальных точках плоскости (включая и начало координат). Функция г' (х, у) непрерывна в точке (О, 0) относительно любой архимедовой спирали, однако она не является полностью непрерывной в этой точке.
Глава Х. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 573. Пусть у Ег(Е), т. е. у =1(х), где х Е Е. Так как Е, плотно в Е, то х =11ш х„, где (х„.) — некоторая последователь- и ность точек из Е,. Но тогда, в силу непрерывности отображения (, у =Вш у„, где у„=~(х„) Е~(Е,) для всех л. Следовательно, Г' (Е,) плотно в Т" (Е). 574. 1п (х' + 1) — непрерывная функция, определенная на Е = = Я', принимающая неотрицательные значения, равная 0 при х = 0 и стремящаяся к + и при х-~- оо. Поэтому множеством ее значений служит луч (О, +со(.
Так как множество Е, всех рациональных чисел всюду плотно в Е, то остается применить результат предыдущей задачи. 575. См. решение задача 505. 576. Не об х од и м о ст ь доказывается так же, как в задаче 508. Д о с т а т о ч н о с т ь. Если прообраз замкнутого множества Е с: У замкнут в Х, то прообраз его дополнения У " Е открыт в Х, так как г ' (У ~ Е) = г' ' (У) ', г ' (Е) = Х '~, Г' ' (Е). Но любое открытое множество в У является дополнением к некоторому замкнутому; следовательно, прообраз любого открытого множества в У есть открытое множество в Х; в частности, прообраз любой окрестности точки пространства У открыт. Докажем, что отображение Т непрерывно в любой точке х, Е Х.
Возьмем произвольную окрестность У (~(х ), а) точки ~ (х,). Ее прообраз ) ' (У (Г (х,), е)) открыт в Х. Значит, точка х Е Г' ' (У (~(х ), е)) является внутренней точкой этого прообраза, т. е. найдется такая ее окрестность У (х, Ь), что У (х„б) ~ с: ~ ' (У (Т' (х,), е)); тогда 1 (У (х„б)) с: У (г (х,), з).
Но это означает, что для всех точек х Е У(х„б) будет выполняться неравенство р (~(х), 1(х,)) (в. Таким образом, отображение Г непрерывно во всех точках пространства Х, т. е. на всем пространстве. 205 У 577. Необходимость 1 доказывается так же, как в задаче 509. Достаточность доказывается. повторением второй половины доказательства достаточности из решения предыдущей задачи.
и я 578. Доказывается повторением второй половины доказательства достаточности из решения задачи 576. 579. См. решение задачи 535. 580. Это следует из связности жордановой кривой (см. предыдущую задачу и задачу 387) и результата задачи 385. 581. Множество А на плоскости, являющееся объединением 1 графика функции з(п — на [ — 1, 0[ () ]О, 1] с отрезком, соединяю- х щим точки (О, — 1) и (О, 1) (см.
рис. 31). Так как А — ограниченное замкнутое множество на плоскости, то оно компактно. Докажем, что А связно. Обозначим через С множество всех 1~ точек вида (х, яп — ), где к 5]0, 1], а через 0 — множество всех х) 1~ точек вида ~х, з(п — ), где х Е [ — 1, О[. Множества С и 0 оба связны, так как они линейно связны. Значит, множества С и 77 также связны (задача 383).
Но их пересечение непусто (оно состоит из «предельного» отрезка, соединяющего точки (О, — 1) и (0,1). Поэтому множество А = С () В связно (см. задачу 389). Но вместе с тем множество А не является линейно связным. Действительно, рассмотрим произвольную плоскую жорданову кривую 7 (1) (( Е [а, Ь]), носитель которой включается в А и содержит точку (1, з(п 1). Не ограничивая общности, можно считать, что (1, з(п 1) = 1 (а).
Докажем, что носитель этой кривой не может содержать, например, точки (О, 0). Функция Г (1) непрерывна на компакте [а, Ь] и, значит, равномерно непрерывна на нем. Следовательно, для е = 1 найдется 6 ) 0 такое, что при 1Х' — г"1 <6 (Г', г" 5 [а, Ь]) имеем: Р (7 (г) 7 (1 )) < 1. Разобьем атрезок [а, Ь] на и частей точками 4, = а, (м Х„..., Г„= Ь так, чтобы было 1, — Е,, < 6 (с' = 1, ..., л).
Тогда Р, =~([1, м (Д) — связное подмножество множества А, причем 61аш Р, <!. Покажем, что каждое Р, (1 = 1, ..., л) включается в С. Действительно, если бы Р, не включалось в С, то ортогональная проекция Р", множества Р, на ось Ох содержала бы некоторую точку а < О. Но отображение проектирования на ось непрерывно (см. ниже, задачу 595); поэтому Е!" — связное множество на( — 1, Ц. Так как(1, ып 1) 8 Ем то 1 4 Еы но тогда !О, Ц с с(а, Ц с Г! (см. задачу 394).
Значит, Е» содержало бы все точки ! графика функции ып —, абсциссы ноторых принадлежат !О, Ц, т. е. бесконечное число «волн» этой «синусоиды». Но зто невозможно, поскольку б(ащ Е, ( 1, а амплитуда волны равна 2. Следовательно, Е, включается в С. Далее, Е«содержит хотя бы одну точку из С (а именно точку 7 (1,), принадлежащую Е, Д Г»).
Но тогда точно также убеждаемся, что Е» с С и т. д. Таким образом, множество 7((а, Ь!) =() Е, целиком включа- !=! ется в С и, значит, не может содержать точки (О, 0). Итак, точки (1, ып 1) и (О, 0) нельзя соединить никакой жордановой кривой, т. е. А не является линейно связным. 582.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
