Ю.С. Очан - Сборник задач по математическому анализу (1134952), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Тогда Н =0,() ... Ц0, будет искомым а=н-~-1 2 множеством: оно состоит из конечного числа параллелепипедов и т (Е Л Н) < — + — ' = е. 2 2 Д о с т а т о ч н о с т ь. Для произвольного е >О построим множество Н, составленное из конечного числа открытых парал- лелепипедов и такое, чтот (Е Л Н) < —, тогда подавно пг (Е',Н)< 3' е < — . Покроем множество Е ', Н семейством открытых парал- 3 ' лелепипедов (0„) так, чтобы .~', т0„< т (Е ' Н) + — < —, Множество 6 = Н () (() 0„) открыто, 6 ~ Е (так как Е с Н () (Е ' Н) с Н Ц (() 0„) = 6), и и т(6" Е) =гп((Н Ц (()О„)) ~;Е) ( л < пг ((Н" Е) () (()0„)) < пг (Н ~, Е) + лт(Ц0„) < — + — =е. Но тогда, в силу результата задачи 467, множество Е измеримо.
~вз ЧАСТЬ ВТОРАЯ ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ Глава У1! 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТОБРАЖЕНИЙ 470. Неверно. Прообраз множества 1(А) может включать точки, лежащие за пределами множества А; например, если 1(х) = =х', А =[0,2]~ Я', то 1(А) =[О 4], а 1'(1(А)) = = [ — 2, 2]. Здесь 1 ' (1 (А)) Ф А. Однако включение 1 ' (1 (А)):зА верно всегда. 471. Равенство 1 (1 ' (В)) = В справедливо для любого В из множества значений функции 1. 472. Равенство 1(А [) В) =1(А)[)1(В) справедливо для любых множеств А и В из области определения функции 1.
Равенство 1(А П В) =1(А) П 1(В) справедливо не всегда. Зл1 Г л Зл1 Так, например, если А = ~0, — ~, В= ~ —, — ~, 1(х) =з)их, то 1(А) =[О, 1], 1(В) =[ — 1, 1], 1(А П В) = 1Я вЂ”, — Ц = ~~ю, 1~ ~ 1(А) П 1(В) = [О, !]. Однако всегда верно включение 1(А П В) с: 1(А) П 1(В) 473. Первое справедливо для любого, а не только взаимно однозначного отображения 1.
Докажем второе. а) Пусть у, 6 1 (П Ах); тогда в множестве П А„найдется точка х, такая, что у, =1(х,); значит, х, 6 А„для всех й, откуда уч = = 1 (х,) 6 1 (А л) для всех й, т. е. у, 6 П 1 (Ах). Итак, 1 ( П Аа) с: с: П 1(АЯ). При доказательстве этого включения мы не пользовались тем, что отображение 1 взаимно однозначно; следовательно, это включение справедливо для любого отображения 1. б) Пусть у, Е П 1(АЯ). Тогда у, Е1(А,) для любого Й. Так как отображение 1 является, взаимно однозначным отображением )с на 1()с), то существует, и притом только одна, точка х, Е Р такая, что 1(х,) = у,.
Значит, эта точка х, принадлежит всем Аы т. е. х, 6 ПАа Поэтому у =1(х) ч1(ПАа), Итак, П1А) с=1(П Аз). Объединяя результаты, полученные в а) и б), получим нужное равенство. 474. Равенство (1) справедливо для любого отображения Равенство (2) перестает быть верным, если отображение 1 не является взаимно однозначным. 476. Равенство 1()с ~, А) = 1()с) ' Т(А) справедливо для взаимно однозначного отображения 1. Для произвольных отображений Т справедливо лишь включение 1'(1т ", А) ~ 1(й) ', 1 (А).
Так, например, если 1(х) = х', Й =') — оо, +ооГ, А = Г0 +ооГ то 1 ()х ~, А) =1(3 — оо, 01) = 10, +оо1", а Г ()с) ", 1(А) = О. 476. Верны. 477, Справедливо. 478. Верны. Глава!Х. НЕПРЕРЫВНЫЕ ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ В МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ 479. Обозначим через А„множество всех тех точек х простран. ства Х, в которых го (1, х) ': —. Покажем, что А„замкнуто. 1 о Пусть а — точка прикосновения множества А„. Во всякой окрестности У(а, е) найдется точка х Е А„; при этом некоторая окрестность У (х, б) точки х включается в У (а, е).
Колебание функции 1 в У (х, б), а значит, и в У (а, е) больше или равно а (Г, х) )~ 1 ': — . Устремляя е к нулю, найдем, что колебание в точке а также о 1 не меньше —, т. е. а Е А„. Итак, А„за1икнуто. а Далее, Е = А, () А, () ...; следовательно, Е является множеством типа Р, в Х. 480. Это следует из предыдущей задачи и из того, что дополнение к множеству типа Ео есть множество типа бо (задача 204).
481. Пусть Е = (г„г„г„...). Построим следующую функцию: — прих =г, гдей =1,2,3, ..., 1 Т(х) = ь 0 при х Е Е. Эта функция разрывна в каждой точке г; действительно, в любой окрестности У (г,) найдутся точки, не принадлежащие заданному счетному множеству Е; в этих точках функция равна нулю; поэтому в1 ) — для любой окрестности У (г„) точки г~; следова- 1 ь 1 тельно, колебание функции в гочке г также ) —.; значит, функ- а ция разрывиа в точке гы 185 — для точек х = —, где — ФΠ— несократимая дробь, ! Р Р 10ь 10" 1Оь 0 для точек х, не представимых в виде — , Р !ом 1 при х=О. 7(х) = Исследование этой функции проводится так же, как в задаче 48!. 488. Заданная функция непрерывна во всех точках смежных интервалов и разрывна во всех точках канторова множества. 489.
Если !1ш с„= О, то эта функция непрерывна во всех точках отрезка 10, Ц. Если 11ш с„существует и отличен от нуля, то зта функция разрывна во всех точках канторова множества и непрерывна во всех точках смежных интервалов. 490. В случае 1) функция 1 (х) разрывна в концах смежных интервалов канторова множества и непрерывна в остальных точках отрезка ~0, Ц. Пусть теперь х, ГЕ. Для каждого е ) 0 найдется окрестность ! точки х„не содержащая нн одной точки гл с номерами й <— (таких точек гз лишь конечное число). Для всех точек х, попавших в эту окрестность, имеет место неравенство !1(х)! < з, т. е. !) (х) — 7 (х,)! < е.
Следовательно, функция 1 непрерывна в точкь х . 482. Так как ряд ~'.,а р (х — х ) равномерно сходится иа всей й=! числовой прямой, то его сумма непрерывна в тех точках, в которых все функции аь = ~р (х — х ) непрерывны; следовательно, сумма ряда непрерывна во всех точках х, отличных от х„х„хз, ...В каждой же из точек х„х,, х, сумма ряда терпит разрыв. 483. Это следует из того, что множество всех точек разрыва любой функции, определенной на всей прямой, является множеством типа Р~ (задача 479). Множество же СЕ, дополнительное к счетному всюду плотному множеству Е, не может быть множеством типа Р, (см.
задачу 260!. 484. П р и м е р. 7 (х) = (х' — 1) т (х), где 7 (х) — функция Дирихле, т. е. ( х' — 1, если х рационально, '1 О, если х иррационально. 485. П р н м е р. 1(х) =7 (х) зйп пх, где у (х) — функция Дирихле. 486. Все точки, принадлежащие смежным интервалам канто- рова множества, являются точками непрерывности этой функции. Все точки канторова множества — ее точки разрыва (так как в любой окрестности каждой точки канторова множества имеются точки из смежных интервалов). Все эти точки являются точками разрыва второго рода. 487. Пример. В случаях 2) и 3) функция г (х) разрывна во всех точках канто.
рова множества Р и непрерывна на 1О, 1! ', Р. 491. Пример. — при х =- †, где — ~0 — несократимая дробь, ! и и ч ч 0 при х иррациональном, 1 при х = О. 1(х) = т — М () Д) — ~(т1) ~М вЂ” т, У($) — 1(г!)! < М вЂ” = 4 А т. е. откуда зцр )7 (3) - ~ (ч)! ( о4~. (1) ьжА А Для доказательства обратного неравенства возьмем произвольное е > 0 и найдем в множестве А такие две точки х, и к„ что ~ (х,) < т + е, ~ (х,) ) М вЂ” е. Тогда !Г'(х,) — 1 (х,)! )~ 1(х,) — ) (х,) > М вЂ” т — 2е, и, следовательно знр !г Я) — г (т1)! ) м — т — 2е. В силу прок чеА извольности е > О, вытекает, что знр!г'($) — г'(~)! ) М вЂ” т, т. е. ь тл зпр!~й) — Р(Ч)! ~ы~.
(2) 1 чбл А Сравнивая неравенства(1) и (2), получаем требуемое равенство. гат Исследование этой функции проводится так же, как в задаче 48!. 492. Не существует (см. задачу 483). 493. Такой будет, например, функция Р (х), равная произведению функции ) (х), построенной в задаче 489 (при с„-+ 0), на функцию Дирихле: Р (х) = г (х) у, (х). 494. Такой будет, например, функция, имеющая значение 1 в точках канторова множества, и 0 вне его. Другим примером может служить функция, построенная в задаче 488. 495. Данная функция разрывна во всех точках числовой прямой, кроме точки х = 0; в этой точке функция непрерывна.
496. Данная функция непрерывна во всех точках отрезка !О, Ц. 497. Если функция Г(х) не ограничена на А, то равенство очевидно: обе его части равны +со. Пусть теперь ) (х) ограничена на А и зпр г (х) = М, ! и! г (х) = т. Так как для любых $ с А и т! 6 А имеем: т ( Г'($) < М, М ': 7' (т1) ) т, то 498. В силу результата предыдущей задачи, для любых двух точек $, Ч е А имеем: Юа+аа)) — (Ич)+а(ч)и < Ы) — Гщ+ + !а (8) — а (ЧН < вР + ва. А Я Беря в левой части верхнюю грань по всем $, Ч ч А, получим: в У+а) < 4+ ва.
(1) » А А Пусть теперь хотя бы одно из чисел вГ, ва конечно; предполо- А А жим, что ва ( в1 (и, значит, ва < + оо). Так как ~ = (7' + а) + А А А + ( — а), то из неравенства (1), примененного к функциям 7'+ а и — а, следует; 4 < в 0 + а) + в ( — а) = в Ч + а) + ва. А А А А А Поскольку ва конечно, получаем: А в(~+а) > в1 — ва = (вà — ва(.
А А А А А 499. Так как ряд ~ч~7»(х) равномерно сходится, то для любого »=! (+ш е е >О существует такой номер й(, что ~ '~~~»(х) < — для всех хсХ. 4 Выберем такую окрестность )'(хо) точки х, что ~~< [~», х, Е(+— апу(»л 2М для й = 1, 2, ..., йГ. Тогда 1 +ао 7+оэ Х М в~~~'„~», хв Е~«(а ~~ч',~») «(~ в ~»+ »=! запо(» ! ~!»=! )» (апг(ов ( +оэ '! и е е + в ~ хо Р») («~в[(» хо Е.(+ + еп!'(о.! ~»=я+! )» ! 2 2 +ОЭ «( 'х',а [('», хо* Е1+ е. »=1 Так как е > О произвольно, то Г+ ' +О в ~~Г», хо Е~ «(у',а[7» хо Е). »=!» 1 500.
Так как для любых $ е Е и Ч е Е имеет место неравенство И~аи — ~Пч)П < Ы) — ~(чи, то, в силу результата задачи 497, в(д ( а( для любого множе- А л (88 ства А ~ Е. Отсюда вытекает, что в ! (1!, хД < е ! (, хД. А твк как функция ) непрерывна в точке х„то а !"Г', хД = О, й, значит, ы ! !)1, х,) = 0; но это означает, что функция (1! также непрерывна в точке х . 501. Пример. 1 для рациональных х с ГО, Ц, — 1 для иррациональных х с 1О, Ц. 602.
Эта функция непрерывна во всех иррациональиых точках и разрывна во всех рациональных точках; ее исследование прово- дится примерно так же, как исследование функции в задаче 481. 503. П р н м е р. ) (х, у) = О в тех точках (х, у), где у ирра- ционально (при любом х), 1(х, у) = 1 в тех точках (х, у), где у рационально (при любом х). 504. Функция 1(х, у) непрерывна во всех тех точках квадрата !О, Ц х !О, Ц, где обе координаты иррациональны; она непре- рывна также в точках, где одна из координат иррациональна, а другая равна О; кроме того, она непрерывна в точке (О, 0). Во всех остальных точках квадрата функция разрывна. Докажем, например, разрывность функции 1(х, у) в точке ( —, — ~, где — ) О, — ) Π— рациональные числа, записан- Р Р~'~ Р Р~ 9 Ь 9 Ч~ ные в виде несократимых дробей с положительными знаменателя- ми. В этой точке значение функции равно нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
