Ю.С. Очан - Сборник задач по математическому анализу (1134952), страница 51
Текст из файла (страница 51)
задачи 330, 595, 575 и 303). Если же Е— .ф м неограниченное замкнутое множество на чч ч" плоскости, то его проекция может оказа- е ться и незамкнутым множеством; так, йй' например, график функции 1д х является замкнутым множеством на плоскости, а его ортогональная проекция на ось абсцисс не замкнута. Риа ЗЗ 210 598. Допустим, что проекции некоторого плоского множества Е на обе оси являются счетными множествами. Проведем через каждую точку множества Е прямые, "1»1«» у»1 перпендикулярные первой оси, и прямые, перпендикулярные второй оси; таких прямых окажется лишь счетное множест- с "»е~ «де~ где~В~ " во; следовательно, и точек пересечения перпендикуляров на первую ось с перпендикулярами на вторую ось будет лишь счетное множество.
Но Е содержится в этом множестве точек пересечения; значит, и Š— счетное множество, что противоречит условию. 599. Непосредственно проверяется что каждая точка г, той косоугольной проекции, о которой идет речь в условии задачи, изображает сумму двух чисел: х, 6 Е и у» 6 Р, и, обратно, любая сумма указанного вида изображается некоторой точкой г, из этой косоугольной проекции (рис. 34).
600. Если Е и Р ограничены и замкнуты, то множество Е х Р очевидно, тоже ограничено и, согласно задаче 196, замкнуто. Чтобы получить Е (Э Р, надо (см. предыдущую задачу) спроектировать Е х Р на ось Ох под углом 135', следовательно, множество Е ® Р тоже ограничено и замкнуто (см. решение задачи 597). 601. Арифметическая сумма 0 Ю0 двух канторовых совершенных множеств совпадает с отрезком (О, 2].
Докажем это. Произведение 0 х 0 совпадает с «кладбищем Серпинского» (см. задачу 245). Проведем через произвольную точку г, отрезка 10, 2] оси Ох прямую, наклоненную к оси абсцисс под углом 135 . Ясно, что эта прямая пересечет по крайней мере один из квадратов первого ранга (рис. 35); обозначим этот квадрат через С,. Далее, та же прямая пересечет по меньшей мере один квадрат второго ранга из числа квадратов, входящих в С,; обозначим его С,. В ием найдется квадрат третьего ранга С„с которым эта прямая пересечется по непустому множеству, и т. д. Обозначим общую часть прямой и квадрата С„через и; множества ид замкнуты, ограничены, н каждое последующее вложено в предыдущее: и ь, с: и,.
Но тогда () ид непусто; оно состоит из одной.точки, так как б(аш ид- О. Эта точка принадлежит множеству 0 х О, и ее косоугольная проекция совпадает с точкой г„ а потому, в силу результата задачи 599, г, 6 0 Ю О. Итак, каждая точка г, 610, 2] принадлежит арифметической сумме 0 50. С другой стороны, непосредственно ясно, что ни одна точка, лежащая вне отрезка 10, 2], не может принадлежать этой арифметической сумме.
Следовательно, 0 630 =(О, 2]. 602. Пусть с — произвольная точка множества А ()) В; тогда с = а + Ь, где а 6 А, Ь 6 В. Так как А открыто, то существует окрестность У (а), целиком входящая в А. Но тогда множество всех точек вида х + Ь, где х 6 У (а), образует окрестность точки гы 1 7а а) 1 ва Рис.
35 с = а+ Ь; это множество входит в А9 В. Следовательно, для любой точки с ч А Я В существует ее окрестность, входящая в А Ю В. Значит, множество А (() В открыто. 603. Пусть зир Е, = а, зпр Е, = Ь; тогда если г ч Е,1В Е„ тог =х+ у, где х 6 Ео у Е Е;, следовательно, г =х+ у ~(а+ + Ь. С другой стороны, для всякого е > 0 найдутся такие х 6 Е„ у с Е„что х > а — —, у > Ь вЂ” —, а тогда х+ у с Е,()) Е, и 2 2 х+ у >а+ Ь вЂ” е. Это доказывает первое равенство;. второе равенство доказывается аналогично.
604. На основании результата задачи 599 множество Е(9 Р можно получить, проектируя множество Е х Р на ось Ох с углом проектирования, равным 135'. Но если множества Е и Р связны, то и множество Е х Р тоже связно (см. задачу 399); а так как проектирование является непрерывным отображением (см.
задачу 595), то оно переводит связное множество в связное (см. задачу 579). 41? 605. Отрезок (О, Ц. Доказательство проводится так же, как в задаче 601. 606.,Доказательство аналогично тому, которое проводилось при решении задачи 602. 607. ТеоремаЛагранжадаетдлялюбыхх',х" 6 1с!! 1 (х') — 1 (х") = 1' (с) (х' — х") (для некоторого с между х' и х"), откуда !1 (х') — ) (х")! ( К! х' — х" (. Так как К < 1, то выполняются условия теоремы Банаха (теорема 5 введения к настоящей главе), из которой и следует утверждение задачи.
608. У к а з а н и е. В силу теоремы Дарбу (см. ниже, теорему 3 введения к главе Х1), 1' (х) не меняет знака; следовательно, 1 (х) строго монотонна. Далее, в силу теоремы Лагранжа, !) (х)— — У(0)! 1Г (с)1.!х! )~ К !х1':!х1, откуда следует, что функция 1(х) принимает значения на всей числовой оси (так как она монотонна и пе ограничена нн снизу, нн сверху). Следовательно, для функции 1(х) существует обратная функция !р (у), определенная на всей числовой оси и такая, что (!р (у)~ = — ( — <1. ! ! ( 1'( )! к После этого пишется уравнение !р (у) = у, эквивалентное данному, и к нему применяется теорема Банаха . Ю 609.
Пусть х(х, х„...)ч1„т, е. ряд ~ хг! сходится. Пока!=1 жем, что тогда г(г„г„...) Е 1„где г, =.~~ с!дх„. Действительно, ь — 1 применение неравенства Коши †Буняковско (см. введение к гла- ве 1У) дает о '!$ л л х ю ;~', !сцх,! «(~ са!ь. ~ х~з «(."., сам.~ х~ь«(~ хам<+ оо, Ф=! ь-! ь=! ь=! ь=! ь=! а значит, ряд ~~.", сд„хь сходится (даже абсолютно) и ь=! гз! = ~~.'~ сзхз1 (.'У~ с~!ь °,'У~ х~ь.
Следовательно, !,ь=! / ь=! ь=! ~~.", г! «(~~ ~ с~!ь~ ~~'„', х~ь<+оо, ! ! т!-! А=! / ь=! т. е. гЕ 1,. Рассмотрим теперь точку у (у, у„...), где у, = г, + Ь, Так как г (г„гм ...) 6 1з и Ь (Ьт, Ь„...) Е 1„то и у 6 1, (см. решение задачи 13!). Таким образом, отображение, переводящее точки х (х„х„...) в точки у (уг, у„...), есть отображение пространства 1, в себя. г!з Покажем, что это отображение сжимающее. Пусть х' (х!, хг, ...) Е1 и х" (х,", х",, ...) 6 1„а у' (у,', у', ...), у" (у"„у", ...) — точки, получаемые в результате нашего отображения, т.
е. у! = ~ с!4хг + (!„у! = ~ с!„хг + йл 4=! 4=1 Имеем Р(У', У") = ~~~ (У; — У!)' = ~~'., ~! с!4(хг — хь) 1=1 !=! 1,4=! Если положить хь — хг = хг, ~~.", смхг — — г„то выражение, 4=1 стоящее под корнем в правой части, есть ~! г,'. Выше мы показа- !=1 ли, что ~г!((;.',~ с,',1 ~ х,'. Но ."., х,'=~(х,' — х",)в= 1=! !,!=!4=! / 4-! 4=! 4=! = р(х', х"). Поэтому последнее неравенство дает: р(у', у") ( ~ сиз р(х', х"). г, 4=! Так как по условию,",~~ 4( 1, то это означает, что наше ото- С, 4=! бражение сжимающее, а тогда, по теореме Банаха, для него существует одна и только одна неподвижная точка. Но это равносильно утверждению задачи. 610. Нет, так как область определения отображения есть Е = (1, +во~, а значения Т (х) выходят за пределы Е.
611. Пространство Е, в котором определена функция Т(х), является неполным (ось Ох за вычетом точки О); следовательно, к данному случаю теорема Банаха неприменима. Глава Х1, ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ (МОНОТОННОСТЬ, ОГРАНИЧЕННАЯ ВАРИАЦИЯ) В12. ~ х*яп- при х ~ О, г'(х) = Х! О при х=О. Здесь 2 х ° з(п — — — соз — при х ~ О, ! 2 ! (х) х! х х~ О при х = О.
г!4 613. Пусть Е с: [О, Ц вЂ” заданное непустое нигде не плотное замкнутое множество, )а„, р„[ — его смежные интервалы, содержащиеся в [О, Ц (и = 1, 2, 3 ...), Ц = 1п1 Е, а, = зцр Е. Искомую функцию определим условиями: 1(х) = (х — а„)'(р„— х)'ьйп (к ак) (Рк «) 0 при хсР, 0 при х < )3, и при х ) а,. при х ч ")а„, Функция ) (х) определена иа всей числовой оси и имеет производ- ную во всех точках числовой оси, в частности во всех точках от- резка [О, Ц, а именно: 2 (х — а„) О)„— х) (а, -)- р„— 2х) гйп 1 (» — а,)' (й, — )' 1 — соз при х~ )а„, (4„[, (к — а„) (р„— к) (к — а„) (р„— к)' 0 при хбЕ, 0 при х < ()о и при х ) а,.
)'(х) = 1' — 1 при х (О, [[ 1 О. 618. Например,функция~(х)=-~, '~, где х„х„...,х„, ...— 2к все возможные точки множества Е, занумерованные натуральными числами. Эта функция непрерывна, как сумма ряда непрерывных функций, равномерно сходящегося на любом отрезке. Найдем производную от 1 (х) при х Е Е. Производная г' (х) непрерывна всюду вне множества Е и разрывна во всех точках этого множества. 614. Построим на отрезке [О, Ц нигде не плотное совершенное множество положительной меры (см. задачу 410). Пусть 1а„р„[ (и = 1, 2, 3, ...) — смежные интервалы этого множества. Тогда функция, построенная в предыдущей задаче, будет удовлетворять всем предъявляемым требованиям. 615. Нет.
Точная производная )' (х) должна обладать свойством Дарбу, т. е. принимать все промежуточные значения. Этим свойством не обладает функция Дирихле. 616. Нет, так как точная производная может иметь точки разрыва только второго рода, тогда как разрывная монотонная функция имеет точки разрыва только первого рода. 617. Нет. П р и м е р. Функция (' (х) = !х~ имеет во всех точках как правую, так и левую производную; однако ни та, ни другая ие обладают свойством Дарбу. Например: Имеем: !(х+Ь) — Г'(х) 1 ~~ !' !х+Л вЂ” хд( )х — хд!) й Лд !(, 2» 2» (х+Л вЂ” хд! — (х — хд! кв" (х+Ь хд! — (х — хд! 2»Ь + ~~ 2»й где сумма Г распространена на те значения й, для которых.
)х — х») > )й(, а сумма Х" — на остальные значения й. В первой из этих сумм х+ й — хд и х — хд имеют одинаковый знак; по!х + Ь вЂ” х» ! — ! х — хд ! вяп (х — хд) 2»Ь 2» Если х Г Е, то при достаточно малом !Л) вторая из этих сумм становится сколь угодно малой по модулю, а первая — сколь угодно вап (х — хд) близкой к сумме ряда '~' "; в самом деле, для вся- 2» д=! кого натурального числа !Ч можно найти такое 6 ) О, чтобы в окрестность )х — 6, х + 6( не попали те хд, для которых й ( М; тогда при (й) < 6 ! ' ~чв~")х+Ь вЂ” хд! — !х — хд! ) в~~" )й) 2»Ь ) х'д 2» .
! Ь ! 1 1 1 и д>м — тг ч~в' вкп(х — хд) ~в вдп(х — хд)( ~в 1 1 2 хьд 2» ~ дЙ~ 2» 2»! ' д-! д>м Поэтому, переходя в равенстве (1) к пределу при й -> О, получим, что при х е Е ° ~~ впп (х — хд) д=! Итак, !" (х) существует во всех точках х е Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
