Ю.С. Очан - Сборник задач по математическому анализу (1134952), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Так как по условию Г'(х) — измеримая функция, то множество з-— Е (1 (х) > ~'а) измеримо; следовательно, множество Е ((Г" (х))'>а) также измеримо при любом а; значит, функция () (х))' измерима. 680. П р и м е р. Пусть 1 на каком-либо неизмеримом множестве А, '1 — 1 на СА. 242 (в этом мы убеждаемся так же, как и в задаче 683). Но тогда 1' (х) измерима и на всем отрезке 1а, Ь). 686. Если Ка (х) — характеристическая функция множества Е, то если а < 0 (здесь )с — все пространство), Е(Х (х)>а) = Е, если 0<а <1, И если а ) 1.
Отсюда видно, что если Š— измеримое множество, то функция Хс(х) измерима, а если Š— неизмеримое множество, то функция Хс (й) неизмерима. 687. Построим функцию 1 (х) следующим образом: пусть Е— измеримое множество на прямой, обладающее тем свойством, что для любого интервала 3а, 6~ мера множества Е Д 1а, р1' отлична от нуля и мера множества СЕ П 3а, р1" также отлична от нуля (пример такого множества можно получить, взяв арифметическую сумму множества В, построенного при решении задачи 441, с мно- жеством всех целых чисел).
В качестве искомой функции ) (х) возьмем характеристическую функцию Х, (х) множества Е; она разрывна в любой точке х, (так как колебание функции на любом интервале, содержащем эту точку, равно 1). Если изменить значе- ния этой функции на множестве меры нуль, то на каждом интерва- ле ее колебание может только увеличиться; следовательно, и после изменения значений этой функции на каком угодно множестве меры нуль она остается разрывной в любой точке. 688. Обозначим Г1 (хЦ", = <р (х). Ясно, что (Е при с <а, Е(ф(х)>с) =[ЕД(х) >с) при а<с< Ь, 8 при с>Ь. Так как 1(х) — измеримая функция, то множества Е (Ч~(х) > с) измеримы при любом с. Значит, функция щ (х) измерима.
689. Пусть ~ (х) — произвольная функпия; произведение Х (х) 1(х) почти всюду равно нулю. Следовательно, функция Х (х) 1 (х) эквивалентна функции, тождественно равной нулю, т. е. измеримой функции. Значит, сама функция Х (х) 1(х) измерима. 690. Очевидно, всякая монотонная функция измерима; а любая функция ограниченной вариации есть разность двух монотонных; следовательно, она также измерима. 691.
Пусть Е, — интервал 3а, ~Щ иа числовой прямой. Тогда )а, 6Г =1 — со, 6~ П ~сс, +со1". В силу измеримости функции1 (х)„ прообразы бесконечных интервалов 3 — оо, р1' и 1а, +со1 измеримы, а так как прообраз пересечения двух множеств равен пересечению их прообразов (см. задачу 476), то (-'(3а, 6П = 1-'() — -', К) П 1- (), +-~); следовательно, прообраз интервала — измеримое мнозкество.
244 Если Е, — произвольное открытое У множество на числовой прямой, то оно является объединением конечной или счетной совокупности интервалов (см. задачу. 212); чтобы доказать, что 7' ' (Е,) — измеримое множество, надо использовать тот факт, что прообраз объединения множеств равен объединению их прообразов (см.
задачу 478). Если Е, — замкнутое множество, то Е, = )с' ', Е,, а Е, — некоторое открытое множество; так как прообраз всей прямой — измеримое множество и прообраз открытого множества Е, также измерим, то измеримым является и прообраз их разности (см, задачу 477), 692. Прообраз измеримого множества не обязан быть измеримым. П р и м е р. Рассмотрим функцию Кантора т (х), построенную в задаче 632. Как мы знаем, она монотонна и непрерывна на от- резке Е = [О, Ц и отображает его н а Рис. 46 в е с ь отрезок Е, =[О, Ц оси Оу. При этом канторово множество 0 с: Е отображается иа множество всех чисел отрезка Е„а множество Со — на множество двоична рациональных чисел этого отрезка.
Построим теперь функцию Ф (х) = х + т (х), Она строго возрастает и непрерывна; она отображает отрезок[0, Ц оси Ох в з а и ми о о д н о з н а ч н о на отрезок [О, 2] оси Оу; при этом множество СО перейдет в множество меры 1 (так как каждый интервал из СО перейдет в интервал такой же длины) и, следовательно, множество Π— в такое замкнутое подмножество Е отрезка [О, 2] оси Оу, мера которого также равна 1 (схематический график функции Ф (х) см. на рисунке 46). Построим, наконец, функцию, обратную Ф (х); обозначим ее ф (у). Она непрерывна (следовательно, измерима) и отображает отрезок [О, 2] ~ Оу взаимно однозначно на отрезок [О, Ц с: Ох; при этом множество Е, мера которого равна 1, переходит в 0 (рис.
47). Множество Е (как и всякое множество положительной меры) содержит неизмеримое подмножество (см, свойство 16 из введения к главе Ч!1), которое мы обозначим через А. Образ ф (А) этого подмножества будет частью канторова множества 0 =ф (Е). Но всякое подмножество множества меры нуль измеримо. Следовательно, В = ф (А) измеримо. Итак, множество В измеримо, тогда как его прообраз А = ф '(В) неизмерим. 693. Из того, что функция 7'(х) измерима иа Е, и из того, что множество Е„ включенное в Е, измеримо, егце не следует измери- 245 ность множества 7 (Е ). П р ц м е р. Рассмотрим функцию Ф (х) = = х + т (х), где т (х) — канторова функция (см. решение предыдущей задачи).
Функция Ф (х) переводит (взаимно однозначно и непрерывно) отрезок 10, Ц оси Ох в отрезок 1"О, 2Д оси Оу, а канторово множество 0 с 1"О, Ц вЂ” в некоторое подмножество Р ~ [0,2), причем тр = 1. Пусть А — неизмеримое подмножество множества Е, а В = Ф вЂ” ' (А) — прообраз множества А. Тогда множество В измеримо (как часть канторова множества, которое имеет меру нуль).
Итак, В измеримо, а А = Ф (В) неизмеримо. Функция, с помощью которой осуществляется отображение, измерима (даже непрерывна). 694. Пусть а — произвольное число. Тогда множество тех х 6 Е„для которых выполнено неравенство 7'(х) ) а, есть прообраз открытого множества (а, +со1 числовой оси, а потому открыто в Е, (см. задачу 509), т. е. является пересечением множества Е, с некоторым открытым множеством Г числовой оси (см. задачу 193).
Поэтому условием (ф (1)) ) а равносильно условию ф (() 6 Е, П Г, т. е. условию ф (1) 6 Г (поскольку условие ф (1) 6 Е, выполняется для всех 16Е). Следовательно, множество всех тех 1 6 Е, для которых 7' (ф (1)) ) а, есть прообраз ф — Р (Г) множества Г. Но если ф— измеримая функция, а à — открытое множество, то множество ф — ' (Г) измеримо (см. задачу 691). Итак, для любого а множество всех тех 1, для которых 7 (ф (7)) ) а, измеримо. Значит, функция 7 (ф (1)) измерима.
695. Из того, что ф (1) непрерывна на Е =1сс, Я, а 7 (х) измерима на Е, = ф (Е), еще не следует, что суперпозипия 7 (ф (1)) измерима на Е. П р и м е р. Пусть ф (г) — функция, обратная к функции Ф (х) =х+ т(х), где т (х) канторова функция ф (1), рассмотренная в задаче 692.
При решении этой задачи было показано, что ф (1) взаимно однозначно и непрерывно отображает отрезок 10, 23 на отрезок 10, Ц и что на отрезке 10, Ц имеется измеримое множество В, прообраз которого А = ф ' (В) является неизмеримым множеством на отрезке 10, 2). 744 В качестве измеримой функции ) (х) примем теперь характеристическую функцию множества В.
Она измерима, так как измеримо множество В. Однако функция ) (р (1)) неизмерима. Для того чтобы в этом убедиться, достаточно доказать, что множество всех тех г, для которых ) (~э (()) > О, неизмеримо. Но неравенство 1(~р (г)) > О равносильно тому, что ~р (г) с В; а множество тех Г, для которых ~р (1) с В, есть мнпжество А, т. е. неизмеримое множество.
Итак, множество А тех точек 1, для которых ) (~р (Г)) > О, неизмеримо. Значит, эта функция неизмерима. 696. Для любого о > О справедливо соотношение Е(/()+а) — ()„+а„)! >о)с:Е! (Р— Ул!> ) () Е(!а — аи!> ). Действительно, если хСЕ(!à — Г'„! > — ) () Е((а — а„! > — ), то !Г" (х) — 1„(х)! < —, /а(х) — а„(х)! < — и (() (х) + а (х)) — ()„(х) + а„(х))! < (7 (х) — 7„(х)! + (а(х)— — а„(х) ! < ~ + — = о, т.
е. х Е Е ( ! (!'+ а) — (7„+ а„) ! > о). Из полученного включения следует: ВО+а — 'г.— а.! > )< е'(М вЂ” 1.! > — )+ +те! (а — а„(> — ) О при и-+. оо для любого фиксированного о >О. Следовательно, (1„+ а„) сходится по мере к функции) + а. Заметим далее, что тЕ (!<р! > Г) — О при Г- + оо для любой измеримой функции ч~ на множестве Е конечной меры (это следует из свойства !4 введения к главе Ч11). Поэтому для произвольного е > О найдется такое г > О, что тЕ(!)! >1) <з, лгЕ((а! >() <е, Из тождества ~а — ~.а.
=~ (а — а.)+а (~ — ~.) — ~-~.) (а — а.) следует неравенство (Га — Г.а.! ( !)! (а — а.! + !а! !1 — 1.! + (~ — ~.! !а — а.!. Отсюда получаем включение, справедливое при любом а > О: Е (!)й — у„я„! > о) с:/ Е ( (/) > !) () Е /) д — и„! > — !) () з!) () (Е(~а) ) !) () Е((/ — Л.() й))() (Е((/ — /и) > ~з) 0 0 Е(! а-а.(> )Г'з)) (проверяется аналогично предыдущему включению). Тогда имеем следующую оценку по мере: тЕ()/д — /„д„() о) <тЕ()д — д„(> ~) -(- тЕ((/ / () ч)+тЕ()д еп () ~l а) +тЕ ( '(! — /и ( > ~/ а ) + 2е Переходя к верхнему пределу при и -и со, получим: 1пп тЕ И ф — /,д„) > о) < 2е, и откуда, в силу произвольности е > О, Ит тЕ ((ф — /„д„) > о) = О. Следовательно, ((„д„) сходится к ф по мере.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
