Ю.С. Очан - Сборник задач по математическому анализу (1134952), страница 36
Текст из файла (страница 36)
СЛЕдО- вательно, г (х) = Р„, (х) + с, т. е. 1 (х) — многочлен. 299. Пусть Е, — множество всех многочленов с рациональными коэффициентами. Оно счетно (см. задачу 62 или 65). Расположим его как-нибудь в последовательность Е, = (пь д'О, ...) и положим Е„= (д„, д„ь„...) (и = 2, 3, ...). Из результата задачи 295 следует, что Е, плотно в С [О, Ц. Остальные множества плотны в С [О, Ц, так как отличаются от Е, только на конечные множества точек. Поскольку С [О, Ц полно (задача 130), никакая последовательность его плотных подмножеств с пустым пересечением не может состоять из одних открытых множеств (см.
задачу 249). 309. Докажем сначала, что Е замкнуто. Пусть Р, — ~, где РО 6 Е (й = 1, 2, ...), ! 6 С[0, Ц. Выберем в [О, Ц какие-нибудь !У + 1 попарно различных точек хь ..., х +,. Тогда для 1 =- 1, ..., У+ 1 будем иметги Р, (х,)-л-Г (х,), или Р„(х,) = [(х,.)+у,, ГДЕ У, — ~- 0 ПРИ й-л- +Ос. ОбОЗНаЧИМ Р, (Х) =- ~Ч"„а л Хл И РаЗРЕ- л=-О ШИМ (ПРИ фнКСИРОВаННОМ Л) СИСТЕМУ ЛИНЕЙНЫХ УРаВНЕНИй ~а лХО= л=О = ! (х,) + ум (! = 1, ..., йО+ !) относительно а „. Так как 1цп уΠ—— О, то, как легко видеть, а,„-л ал при й — л +со, где О+ (аь ..., аО,+,) — решение системы линейных уравнений ~" а„х", = 1 (х,) (! = 1,, Ж + 1).
Тогда 1нп Р, (х) = л=О О- х х = ВШ ~) ахлХО =- ~ алХл ДЛЯ ВСЕХ ХЕ[0, 1), + л О л=О т, е, ~(х) = ~) алхл и, значит 1 Е Е. Следовательно Е замк- л=О нуто, так что СЕ открыто. Но тогда, в силу результата задачи 265, нам достаточно для любого Р 6 Е и любого е > 0 найти элемент из С [О, Ц, входящий в г'(Р, е) и не принадлежащий Е. Таким элементом будет, например, функция ~р (х) = Р (х) + — х +'. Итак, Е нигде не 2 плотно в С [О, Ц. 301. Пусть ~ (аь аз, ...) — произвольная точка из 1,. Так как + ряд ~аО, сходится, то для каждого е > 0 существует Ж такое, что ~=1 из +ю ~ а~ < ев.
Обозначим чеРез г последовательность (ао ам ..., ач, /=М+! О, ...). Ясно, что г Е Е и р (Г, г) < в. Итак, Е плотно в (е. 302. Пусть (/ — произвольный шар в (е. Этот шар либо полностью свободен от точек множества Е, либо содержит точку ~ Е Е, ь = (го ..., г„, О, О, ...). В последнем случае возьмем е ) О такое, что У (Г, е) с: (/, и рассмотрим точку т1(г„ ..., г, †, О, ...). е / е1 Тогда для любой точки х Е Е имеем: р (х, т1) ) —, т. е.
У 1т(, — ~ с: с СЕ. Кроме того, У ~т1, — ) с У(~, е) с (/. Таким образом, 2/ в (/ всегда найдется шар, свободный от точек множества Е, т. е. Е нигде не плотно. Глава Ч!. КОМПАКТНОСТЬ, СЕПАРАБЕЛЬНОСТЬ, СВЯЗНОСТЬ 303. Если множествоЕ неограничена, т. е. ЕВат Е = зир р(х, у)= к, усЕ = +оо, то, какова бы ни была точка хеЕ Е, знр р (хе, х)= к/Е = +оо (так как если р (х„х) < М для всех х Е Е, то р (х, у) . < р (х, хе) + р (х„у) < 2М для всех х, у Е Е).
Поэтому, зафиксировав какую-нибудь точку х, Е Е, можно найти в Е последовательность точек (х,), для которой р (х„х„) +оо. Тогда р (х„х„,) — ~ — «-+ оо и для любой ее подпоследовательности (х„), а потому последняя не будет фундаментальной и, значит, сходящейся. Следовательно, Е не является относительно компактным. Точно так же, если Е не замкнуто, то найдется последовательность его точек, сходящаяся к точке прикосновения множества Е, не принадлежащей Е; но из такой последовательности нельзя выделить подпоследовательности, сходящейся к точке из Е, так что Е некомпактно. 304. Достаточность очевидна, так же как и относительная компактность любого Компактного множества.
Замкнутость компактного множества установлена в решении предыдущей задачи: 305. Вытекает из результата предыдущей задачи. 306. Пусть (х„) — последовательность точек из Е. Рассмотрим 1 последовательность (у„) точек из Е такую, что р (у„, х„) < —. Так как Е относительно компактно, то (у„) обладает подпоследовательностью (у„), сходящейся к точке с Е Х.
Тогда последовательность (х„) сходится к той же точке с, а так как Е замкнуто, то с Е Е, Итак, Е компактно. 144 307. У к а з а н и е. Построить конечную е-сеть. 308. См. указание к,првдыдущей задаче. 309. Последовательность функций (п(х) = Аз1п2лпх(п 1 2 ) где А ) О, удовлетворяет условию )Г„(х) ~ ( А для всех х С. (О, 1) и всех п. Вместе с тем не только сама эта последовательность, но и никакая ее подпоследовательиость не может сходиться в С (О, 1), так как расстояние между любыми двумя различными членами этой последовательности не меньше числа А.
Чтобы убедиться в этом, заметим, что функция 1! (х) = А з!и 2!пх равна А при х = = —, а функция )'„(х) = А з)п 24пх, где й ) !, равна 0 при том же значении х. Поэтому Р Й~ У = зцр ! )! (х) — Г4 (х) ~ >~ ~ Р! (2' ' ) 14 (2!."! ) ~ =А, Следовательно, никакая подпоследовательность данной последовательности не является фундаментальной и, значит, не сходится. 310. Рассмотрим счетное множество точек е, (1, О, О, О, ...), е, (О, 1, О, О, ...), ... из 1з (у е„единица стоит на и-м месте, а на остальных местах — нули).
Оно ограничено и замкнуто, но никакая подпоследовательность последовательности (е„) не фундаментальна и, значит, не сходится, поскольку р (еи е4) = )'2 при ! Ф Ь. 311. Относительно компактные множества А и В ограничены (задача 303). Выберем в каждом из них по точке а е А, Ь Е В. Тогда для любых точек х Е А, у е В будем иметь: р (х, у) ( ~~р(х,а)+р(а,Ь)+р(Ь, у)~(4((ашА+р(а, Ь)+!))ат В< ( + оо, 312. Пусть (х„) — произвольная последовательность точек из () А,. Так как число членов этой последовательности бесконечно, ь=! то хотя бы одно из множеств А„..., А„содержит ее бесконечную подпоследовательность (х„,).
Тогда (х,„) (а значит, и (х„)) содержит сходящуюся подпоследовательность, если множества А„..., Аз относительно компактны, и подпоследовательнрсть, сходящуюся к точке из () Аь если эти множества компактны. !=! 3!3. Очевидно, всякое подмножество относительно компактного множества относительно компактно. Поэтому пересечение любой совокупности относительно компактных множеств относительно компактно. Если же рассматриваемые множества компактны, то они замкнуты (задача 303) и потому замкнуто также их пересечение.
Так как это пересечение, кроме того, относительно компактно, то оно компактно (задача 304). 314. Н е о б х о д и м о с т ь. Пусть А х В компактна, а (х„)— 142 произвольная последовательность точек из А. Последовательность ((х„, у)), где у — какая-либо точка из В, обладает подпоследовательностью ((х„„, у)), сходящейся к некоторой точке (х, у') Е А Х В (так что х Е А). Так как р (х„„, х) ( Р ((х „, у) (х у )), то х„« -+ х. Значит,,4 компактно. Лналогично доказывается компактность В. Д о с т а т о ч н о с тъ.
Пусть А и В компактны, а ((х„, у„))— произвольная последовательность точек из А с В. Последовательность (х„) обладает подпоследовательностью (х„„), сходящейся к некоторой точке х Е А; далее, последовательность (у„ ) обладает подпоследовательностью (у„ ), сходящейся к некото«« рой точке х б В. Тогда подпоследовательность ((х„„, у„) ) последовательности ((х„, у„)) будет сходиться к точке (х, у) е ЕА хВ.
315. См. решение предыдущей задачи. 316. Пусть Š— компакт, (х„) — фундаментальная последовательность его точек. Она обладает подпоследовательностью (х„„), сходящейся к некоторой точке с Е Е. Тогда н х„— с, так как р (х„, с) ( р (х„, х„„) + р(х«м с) < — + — = е 2 2 при п > У, й ) Л/ (а значит, и л > «у), где М выбрано так, чтобы было р(х„,х)< — при лг>йг, л>М и р(х„„, с)< — при 2 «« й ) )Ч. 317. Выберем в каждом А„по точке а„. Так как все эти точки лежат в компактном множестве А„то последовательность (а„) обладает подпоследовательностью (а««), сходящейся к некоторой точке а Е А,.
Отбрасывая в (а«) первые й — 1 членов, получим последовательность а„, а„, а„..., сходящуюся к той же "Ыч' «««« точке а и состоящую из точек, содержащихся в А„„. Так как А„ «« замкнуто (см. задачу 303), то заключаем, что а Е А„для любого «« й и, значит а й () А„ = П А„. Следовательно, П А„ ~ 8'. «л Если б!ат А„-э О, то для всякой другой точки Ь Е П А„будем « иметь р (а, б) ( б!ап! А„при всех и, а потому р (а, Ь) = О, т. е. а = Ь. 318. Допустим, что это не так; тогда существует е > 0 такое, что для каждого и найдется точка х„Е А„, не содержащаяся в У (К, е). Так как все эти точки принадлежат компакту А„то последовательность (х„) обладает сходящейся подпоследовательностью (х,«); так как для любого п все члены атой последователь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
