Ю.С. Очан - Сборник задач по математическому анализу (1134952), страница 32

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 32)

Отсюда вытекает, что множество, оставшееся после исключения из 1"О, 1] всех смежных интервалов, состоит из тех и только тех чисел отрезка10, 13, которые могут быть * Слово «обязательно» надо понимать в том смысле, что если х допускает два различных разложения в троичную дробь — одно с единицей на первом месте, а 1т другое без единицы на первом месте ~например, х = — ), то мы х не включаем з! в интервал первого ранта; иными словамн, в интервал первого ранга войдут те н только те числа х, которые при любом разложении в троичную дробь имеют на первом месте после занятой единицу. 125 записаны в виде троичной дроби, не содержащей единицы в числе своих троичных знаков.

226. Точки первого рода канторова множества состоят из всех тех чисел, которые являются троично рациональными (т. е. могут быть представлены в виде конечной троичной дроби) и вместе с тем допускают троичное разложение, не содержащее единиц в числе своих троичных знаков. Точки второго рода — это те точки, в троичном разложении которых отсутствуют единицы и которые являются троично иррациональными (т. е. в их разложении имеется и бесконечно много нулей, и бесконечно много двоек). 227. Между десятичными дробями О, ! и 0,2 имеется бесконечное 1 множество точек первого рода; одна из них х = — (ее разложение 9 в троичную дробь таково: х = 0,0)00...; следовательно, эта точка троично рациональна; ее троичное разложение может быть записано без единиц: х = 0,00222...; следовательно, эта точка принадлежит канторову множеству).

228. Между этими числами имеется бесконечно много точек второго рода; например, одной из них является точка х, троичное разложение которой имеет вид: 0,00202020202... (так как х = — + 2 3' 2 2 1 1 11 + — + — + ... = —, то — < х < — ); х является точкой вто- 3~ 3' * 19 20 19~' рого рода канторова множества, так как ее троичное разложение содержит бесконечно много двоек, бесконечно много нулей и ие содержит единиц; притом она рациональна. 229. В качестве Н можно взять множество точек, разложение которых в троичную дробь состоит лишь из чисел 0 и 2, причем на местах с номерами вида За + ! стоят только нули, а на местах с номерами вида За + 2 — только двойки. Ясно, чтв Н содержится в Р, не содержит его точек первого рода, замкнуто и пе имеет изолированных точек.

230. Не существует. Докажем зто. Возьмем точку х, первого рода канторова множества Р и опишем около иее произвольную окрестность /. Так как Р не имеет изолированных точек, то l П Р также не имеет изолированных точек. Следовательно, / П Р— совершенное множество. Но непустое совершенное множество (а оно непусто, так как содержит точку х,) имеет мощность континуума (задача 253).

Тогда и / П Р имеет мощность континуума (оно отличается от своего замыкания не более чем на две крайние точки). Следовательно, / П Р не может состоять только из точек первого рода (их всего счетное множество), но должно содержать также точки второго рода. Таким образом, всякий интервал /, содержащий хотя бы одну точку первого рода множества Р, содержит бесконечно много точек второго рода.

Заметим, что это рассуждение верно не только для канторова множества, но и для любого совершенного множества на прямой. 116 231. Так как множество 0 несчетно, то различных расстояний от данной точки х ч 0 до точек у ч Р должно быть также несчетное множество (для каждого числа а > 0 множеству 1) принадлежит не больше двух точек у, и у„отстоящих от х на расстоянии а). Значит, среди всевозможных расстояний р (х, у) (у 6Ю) найдутся иррациональные (так как рациональных чисел имеется только счетное множество). 232.

Перенумеруем все точки множества Е: х„х„..., л„, ... Рассмотрим всевозможные расстояния р (хь х,) между точками хь ху множества Е. Их счетное множество. Опишем произвольным радиусом е„отличным от каждого р (хь уу) (такое число обязательно найдется, так как всего чисел на прямой несчетное множество), окрестность около х,; назовем ее 1,. Далее, среди точек хм х,, ..., х„, ...

найдем первую, не вошедшую в 1,; пусть это будет х„; она не совпадает ни с одним из концов интервала 1,, так как е, Ф р (х„х,) для любого хо Опишем около хмокрестность радиуса см отличного от каждого р (хь х,), не пересекающуюся с 1, и не имеющую с ним общих концов; обозначим ее 1,, Следующим шагом находим среди точек х, х„, ... первую, не входящую ни в 1,, ни в 1,; пусть это будет х„; она не совпадает ни с одним из концов как 1„так и 1,; поэтому около нее можно описать окрестность радиуса е,, отличного ог всех р (хь х ), не пересекающуюся ни с 1„ни с 1, и не имеющую с ними общих концов; обозначим ее 1,. Продолжая далее таким же образом, мы построим последовательность попарно не пересекающихся интервалов 1„1„....

Дополнение Р к объединению этих интервалов является искомым совершенным множеством. Действительно, Р замкнуто, как дополнение к открытому множеству (к объединению интервалов 1э). Оно не пусто, так как содержит, например, концы всех интервалов 1„. Оно не имеет изолированных точек, так как по построению его смежные интервалы 1„1„... не имеют общих концов. Следовательно, множество Р совершенно и непусто. 233.

Множество Р не имеет изолированных точек, так как ни одно из множеств Е, Е„Е„Е„... не имеет изолированных точек. Множество Р замкнуто, так как его дополнением является открытое множество () (]а, (), ['~Ег])( отсюда также следует, что 1 все интервалы, на которые распадаются множества ] аь (), [~,Е, (1 = 1, 2, ...), и только они, являются смежными интервалами к Р. Докажем, что Р нигде не плотно. Пусть ]а, Ь[ — произвольный интервал; в силу того что Е нигде не плотно, ]а, Ь[ содержит интервал 1, полностью свободный от точек множества Е; но тогда 1 с: с:.

]а„, р„[ для некоторого л,. Интервал 1 полностью свободен от точек множеств Е„Е„..., Е„„Е„+, ..., а так как ń— нигде не плотное множество, то в 1 найдется подинтервал 1„свободный также и от точек множества Е„,. Итак, цптервал 1, свобо- 127 ден от точек всех множеств Е, Е„Е„..., т. е. от точек множества Е. 234. Докажем, что если выполнены условия б) и в), то а) выполняться не может. Действительно, по предложению Е содержит две различные точки х, у; пусть, скажем, х < у. Так как Е замкнуто и нигде не плотно, то существует смежный к Е интервал ~а, р1" с: ~ )х, у(. Тогда а ч Е, (1 ч Е, но ни одна точка у, заключенная между а и р, не принадлежит Е, т.

е. условие а) не выполняется. Примером множества, для которого выполняются а) и б), может служить любой отрезок. В качестве примера, в котором выполняются а) и в), можно взять множество, получающееся из канторова множества Р выкидыванием концов смежных интервалов; оно содержит более одной точки, так как Р имеет мощность континуума, а концы смежных интервалов образуют счетное множество. Наконец, примером множества, удовлетворяющего условиям б) и в), служит Р. 235. Натуральный ряд (и вообще всякая неограниченная монотонная последовательность).

236. В любом отрезке с центром в начале координат имеется лишь конечное число членов данной последовательности (если бы их было бесконечно много, то, по теореме Больцано — Вейерштрасса, из них можно было бы выделить сходящуюся подпоследовательность).

Следовательно, для любого М > О существует такое У > О, что 1а„~ > М для всех номеров и > Ж, а это и означает, что Иш 1а„1 = +оо. 237. Примером может служить последовательность, составленная из всех рациональных чисел, занумерованных произвольным образом. 238. Пусть Š— предельное множество последовательности (а„) и 5 — точка прикосновения множества Е. Тогда существует последовательность (х„) точек из Е, сходящаяся к в.

Так как х,— предельная точка последовательности (а„), то найдется номер и, такой, что р (а, х,) < 1. Далее, так каки х, — предельная точка заданной последовательности, то существует номер л„больший, 1 чем и„и такой, что р (а„, х,) < —. Если теперь уже выбраны номерапмим...,п,такие,чтоп, <и, «... и,, ир(а„,, х,) < 1 < — для 1 = 1, 2, ..., й — 1, то в качестве и возьмем номер л~ > пя „для которого р (а ы хя) < —.

1 По индукции получим подпоследовательность а„, а„, ... исходной последовательности (а„), сходящуюся к $. Действительно, р (а„„, 9 (р(а„, хэ)+р(хэ, Ц, откуда следует, что а„э -ь $ при й -ь ео. Ноэтоозначает, что йеР. Итак, любая точка прикосновения $ множества Р принадлежит этому множеству; следовательно, оно замкнуто. 239. Случай Р = О рассмотрен в задаче 235. Если Р непусто и конечно, Р = (а„..., а„), то требуемым свойством будет обладать последовательность а„..., аэ, а„..., а, а„..., а„, ... Пусть теперь Р бесконечно. Тогда существуег счетное множество Е, замыкание которого равно Р.

А именно в качестве Е можно взять объединение следующих двух множеств: множества Е, всех концов смежных интервалов к Р и множества Е, всех рациональных точек, являющихся внутренними точками множества Р (конечно, Е, может оказаться и пустым; это будет в том случае, когда Р нигде не плотно). Легко видеть, что каждая точка х, множества Р является точкой прикосновения для Е: если х, — внутренняя точка множества Р, то в любой ее окрестности У (х,) найдутся точки из Е;, если же хэ — граничная точка множества Р, то в любой ее окрестности У (х,) найдутся точки из Е,. Таким образом, Р с: Е. С другой стороны, так как Е ~ Р и Р замкнуто, то Е ~ Р. Тем самым Р = Е. Расположим теперь точки множества Е произвольным образом в последовательность (а„).

Бели Е не имеет изолированных точек, то эта последовательность и будет искомой. Но в любом случае требуемым свойством будет обладать последовательность а,, а„ аг аь аг аэ ам ам аэ аг 240. Н е о б х о д и м о с т ь. Пусть (х„) — последовательность, сходящаяся к точке х. Очевидно, х — предельная точка для (х,). С другой стороны, пусть у — любая точка, отличная от х. Отделим х и у друг от друга непересекающимися окрестностями У (х) и У (у). В СУ (х), а значит, и в У (у) может находиться лишь конечное число членов из (х„), т. е.

у — не предельная точка для (х,). Д о с т а т о ч н в с т ь. Пусть (х„) — ограниченная последовательность с предельным множеством, образованным одной точкой х„и пусть У (х,) — произвольная окрестность точки хэ. Если бы в СУ (х,) находилось бесконечное число членов из (х„), то, в силу теоремы Больцано — Вейерштрасса, из них можно было бы выделить подпоследовательность (х„), сходящуюся к некоторой точке х. Так как х„~ б СУ (хэви СУ (х,) замкнуто, то х е СУ(хэ), т, е. х Ф хэ, следовательно, у (х„) существовали бы по крайней мере две предельные точки (х, и х), что противоречит условию. Итак, вне любой окрестности точки хэ лежит не более чем конечное множество точек из (х„), т. е. х, = 1пп х„.

Характеристики

Список файлов книги